利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種策略

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 劉健玲

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種策略

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 劉健玲

近年來，導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題在各地高考題中頻頻出現(xiàn)，這類問題往往難度較大，解題方法靈活多變，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.如何利用導(dǎo)數(shù)證明不等式？筆者通過平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勌幚聿坏仁阶C明的一些方法.

策略一、構(gòu)造函數(shù)求最值來證明

近幾年，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問題是高考中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，學(xué)生往往對(duì)其束手無策.我們可以從不等式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)研究，證明不等式.

例1 已知函數(shù)g（x）=lnx+ax2+bx，函數(shù)g（x）的圖像在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸.

（1）用a表示b；

（2）試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；

（3）證明：對(duì)任意n∈N*，都有成立.

解：（1）b=-2a-1（.2）略.

（3）分析：由于定義域的特殊性，可以將此不等式右端視為一個(gè)數(shù)列｛an｝（an≥0，n∈N*）的前n項(xiàng)和，若將左端也視為一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn，則只需證bn＞an（n∈N*），從而尋求出解題方向.

因?yàn)镾n=ln（n+1），所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=lnn，

當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=ln2滿足上式，

即證lnx＞-x2+3x-2，x＞1，

只需證lnx+x2-3x＞-2，x＞1.

由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以g（x）=lnx+x2-3x＞g（1）=-2，

所以lnx+x2-3x＞-2在x∈（1，+∞）上成立.

故問題得證.

證明：由（2）單調(diào)性的證明可知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以g（x）=lnx+x2-3x＞g（1）=-2，即lnx＞-x2+3x-2.

（1）若?x∈［1，+∞），（fx）≤m（x-1）恒成立，求m的取值范圍；

（2）分析：類似例1中不等式的證明思路，不妨將此不等式右端視為一個(gè)數(shù)列｛an｝（an≥0，n∈N*） 的前n項(xiàng)和，若將左端也視為一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn，那么要證這個(gè)復(fù)雜的不等式，就只需證bn＜a（nn∈N*），從而尋求出解題方向.

要證原不等式成立，

令k=1，2，3，…，n，得如下n個(gè)不等式：

（1）若（fx）無極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

解：（1）（2）略.

（3）分析：類似上兩個(gè)例題中不等式的證明思路，不妨將此不等式左端視為一個(gè)數(shù)列｛an｝（an≥0，n∈N*）的前n項(xiàng)和，若將右端也視為一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn，那么要證這個(gè)復(fù)雜的不等式，就只需證an＞b（nn∈N*），從而尋求出解題方向.

要證原不等式成立，

觀察（*）式，左邊含有2n與2n+1，考慮到

故結(jié)論成立.

構(gòu)造函數(shù)證明不等式，要構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的性質(zhì)，再利用性質(zhì)得出不等關(guān)系.

策略二、利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合恒成立的思想證明

（1）求a，b；

（2）證明：（fx）＞1.

解：（1）a=1，b=2（.過程略）

設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g（′x）=1+lnx，

故h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，從而h（x）在（0，+∞）的最大值為即（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）.

本題在證明（fx）＞1時(shí)，學(xué)生會(huì)想到直接求出（fx）的最小值，再證明（fx）min＞1，或構(gòu)造函數(shù)F（x）=（fx）-1，再證明F（x）min＞0.但這些解法都無法求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，進(jìn)而促進(jìn)我們思考是由于exlnx引起，故想到將其分離，轉(zhuǎn)化成然后再加強(qiáng)為（fx）min＞g（x）max進(jìn)行證明，從而得到上面的證法.

策略三、利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合放縮法證明不等式

有些題型，即使對(duì)函數(shù)變形后仍然很難找到解題的突破口，有時(shí)就有必要利用放縮法對(duì)原函數(shù)進(jìn)行放縮.

（1）求a，b的值；

解：（1）a=0，b=-1（.過程略）

（2）由基本不等式，當(dāng)x＞0時(shí)，

令g（x）=（x+6）3-216（x+1），則當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′（x）=3（x+6）2-216＜0，因此g（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù).

又由g（0）=0，得g（x）＜0，所以h（′x）＜0，

因此h（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù).

總之，導(dǎo)數(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，不等式也是高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，兩者結(jié)合起來可以使得問題的解決簡單便捷.因此在平時(shí)的教學(xué)中要多總結(jié)，多反思，長期以往，必將收到良好的利益.