例談不等式證明的幾種策略

☉安徽省寧國市津河中學 汪庭斌

例談不等式證明的幾種策略

☉安徽省寧國市津河中學 汪庭斌

不等式有很多證明方法，筆者通過平時的教學實踐，闡述證明不等式的幾種方法，以期給初學者有所幫助，不對之處，歡迎指正.

策略一：待定系數法

有的題目往往很難湊出所要證明的式子，我們可以采取待定系數法來解決.

例1已知a，b∈R+，求證：

分析：嘗試找到一個r，使得成立，故只需

依據已知條件可知原不等式等號成立時，a=b.

由上述分析可知：當a=1時，（fa）取得最小值0.

證明：

問題得證.

策略二：切線法

有的題目可以構造函數，通過求函數的切線解決不等式的證明.

例2 已知a，b∈R+，求證：

故可猜想y=Ax+B是（fx）在（1，（f1））處的切線方程.所以

策略三：割線法

例3 已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求證

分析：可知兩點的割線方程是，故只需證+1在（0，1）上恒成立即可.

策略四：定積分解法

有類數列求和形式的不等式問題，通常是不等式與函數、數列、導數的結合，是高考的熱點，對于此類不等式問題，常用的方法是數學歸納法和構造函數法，但是難度大，較難尋找解決問題的切入點.利用定積分的幾何意義（曲邊梯形的面積）來解決這類問題會收到意想不到的效果.

例4設函數（fx）=ln（1+x），g（x）=xf（′x），x≥0，其中f（′x）是（fx）的導函數.

（1）g（1x）=g（x），gn+（1x）=g（g（nx）），n∈N*，求g（nx）的表達式；

（2）若（fx）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）設n∈N*，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-（fn）的大小，并加以證明.

分析：本題以函數為載體，導數為工具，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.下面來分析第（3）問.

思路一：構造函數

圖1

圖2

思路二：因為需要比較的結果為，等價于構造函數并作圖像如圖2所示.因函數在［1，n+1］上是增函數，由函數圖像可知，在區(qū)間［1，n+1］上的n個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，即

這類數列求和形式的不等式證明難度較大，往往令人望而生畏.要解決這類復雜問題的關鍵是建立在充分理解和掌握定積分有關知識的前提下，同時善于分析、善于聯想、善于化歸，才能達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.

策略五：放縮策略

放縮法是一種常用的證明技巧，主要用于研究與正整數有關的數學問題.猜想與遞推是數列中常見的問題.而放縮法時常是數列證明問題中至關重要的一種策略，下面舉例加以說明：

例5 已知數列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1.

分析：由題目我們很容易得出），構造輔助數列可以得出數列｛a｝的通項公式；n第（2）問中不等式左邊的數列無法用公式進行求和，所以可以利用第（1）問中的結論對數列的通項進行適當的放縮.

證明：（1）由an+1=3an+1得

此外，對于這個問題的解答也可以通過遞推放縮來完成，可以使證明過程更加簡潔明了.

放縮法是證明問題的一種重要方法，特別是在證明數列不等式過程中，使用放縮法的關鍵是找到與需要證明的結論相關的關系，對于不同的問題可以適當變換策略.如改整體放縮為局部放縮，并兼顧整體特征來達到解決問題的目的.