漫談函數(shù)模塊中的相關(guān)概念教學(xué)

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 何燕萍

漫談函數(shù)模塊中的相關(guān)概念教學(xué)

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 何燕萍

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點和重點，也是不少學(xué)生學(xué)習(xí)不太重視的地方.很多學(xué)生或許會認為學(xué)好數(shù)學(xué)關(guān)鍵是要會做題目，數(shù)學(xué)概念無非就是幾個公式，幾個定理，有什么重要的，其實每個數(shù)學(xué)概念都有其深刻嚴謹?shù)乃枷雰?nèi)涵，是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，近年來的高考試卷也很好地考查了數(shù)學(xué)概念，涉及數(shù)學(xué)概念的考題清楚明了，又有一定的深度.由此，在平常的教學(xué)中，應(yīng)該重視概念教學(xué)，這會讓我們不斷豐富自己的知識架構(gòu)，并能通過本質(zhì)思考更深的現(xiàn)象.

筆者所在學(xué)校的學(xué)生普遍數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，尤其在接受能力上，與優(yōu)秀學(xué)生相比確實存在著一定差距，那么怎樣才能夠挖掘這部分學(xué)生的潛力？筆者思考：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，取得最為高效的學(xué)習(xí)效果，在課堂上究竟是應(yīng)突出概念教學(xué)？還是要以解題教學(xué)為主？這值得教師探究.本文結(jié)合一下筆者在平常教學(xué)中遇到的問題，談?wù)剬τ诤瘮?shù)模塊中有關(guān)概念教學(xué)的一些認識和做法，與讀者交流.

一、重視對概念本質(zhì)的理解

一直在思考這樣一個問題，為什么學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念遺忘得那么快，特別經(jīng)過一段時間后，學(xué)生似乎對每個數(shù)學(xué)概念都得要重新認識，筆者認為，歸根結(jié)底是學(xué)生沒有很好地理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，他們只是掌握了表面，在做題時也只是注重模仿，一旦稍有變化，就手足無措了，因此需要全方位地理解數(shù)學(xué)概念.要理解數(shù)學(xué)概念，首先需要注重數(shù)學(xué)語言文字符號的理解.

數(shù)學(xué)概念都是用文字或數(shù)學(xué)符號敘述的，尤其是語言文字，描述時不僅準確，而且精煉簡明，因此對于數(shù)學(xué)概念的辨析上，要深深體會每句話的表達意思，有時甚至要達到”咬文嚼字”的地步.

案例1：函數(shù)的單調(diào)性.

單調(diào)性是函數(shù)三大性質(zhì)之首，也是學(xué)生第一個學(xué)習(xí)的函數(shù)性質(zhì)定義.用圖像感官的認知是非常容易的，但是對于深刻理解單調(diào)性的定義還是需要一定的深思.教材對于單調(diào)性的定義是這樣描述的：

設(shè)函數(shù)（fx）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有（fx1）＜（fx2），則稱函數(shù)（fx）在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有（fx1）＞（fx2），則稱函數(shù)（fx）在區(qū)間D上是減函數(shù).

定義中關(guān)鍵是要理解“任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有（fx1）＜（fx2）”這句話的含義，尤其是“任意”，“都有”這些文字怎么把握，例如，很多學(xué)生對于y=在定義域上的單調(diào)性如何描述感到非常困惑，經(jīng)常問這樣一個問題，到底什么時候可以用“∪”，什么時候又只能用和或逗號隔開，其實要突破這個難點，關(guān)鍵還是要逐字逐句理解單調(diào)性的定義，如果回答在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上為減函數(shù)，那根據(jù)單調(diào)性的定義，任意在這個區(qū)間上取x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有（fx1）＞（fx2），比如，取x1=-1，x2=1，滿足x1＜x2，但（fx1）＜（fx2），但取x1=1，x2=2，卻滿足（fx1）＞（fx2），因此這樣的回答是錯誤的，沒有滿足定義中“任意”和“都有”的條件，正確的回答應(yīng)該是在（-∞，0）和（0，+∞）上均為減函數(shù).

二、多角度構(gòu)建問題分析概念

對于數(shù)學(xué)概念作進一步理解，應(yīng)該從多角度去把握，也可以從正面辨析和反面比較，尤其是一些較抽象的數(shù)學(xué)概念，要構(gòu)建一系列問題，從問題的解決中，使學(xué)生逐步對數(shù)學(xué)概念有一個準確、深刻的理解.

案例2：函數(shù)的概念.

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的概念.對于教學(xué)的實現(xiàn)手段，一般采用了豐富的概念模型，讓學(xué)生從頭腦中建立對應(yīng)的關(guān)系，從而深刻體會這種變量間相互依賴的重要模型，最后用數(shù)學(xué)的語言進行了表述和總結(jié).在函數(shù)學(xué)習(xí)中，為了刻畫深刻和理解到位，在學(xué)習(xí)中需要積極體會函數(shù)的三個要素，其目的還是要讓學(xué)生了解函數(shù)這個抽象的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函數(shù)的值域.

讓學(xué)生僅僅從文字上去理解，由于描述的比較抽象，顯然不能達到好的效果，應(yīng)該設(shè)計一些問題，促進學(xué)生對函數(shù)概念的思考，從而幫助學(xué)生理解：

圖1

圖2

問題1：以上兩個圖像（圖1和圖2）是不是函數(shù)的圖像？

問題2：y=1與y=0·x+1是不是同一個關(guān)于x的函數(shù)？

問題3：y=x2+1與y=t2+1是不是同一個函數(shù)？

問題5：y=x2，x∈｛-1，0，1｝與y=|x|，x∈｛-1，0，1｝是否為相同的函數(shù)？

建立上述合適的問題變式，通過一系列問題變式，加強學(xué)生對于函數(shù)概念外延和內(nèi)涵的認識.筆者認為，可以通過學(xué)生的辨析討論，一起弄清上述問題，進而在問題的解決過程中，進一步讓學(xué)生討論更深層次的問題：“函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，只強調(diào)結(jié)果不強調(diào)過程”，“函數(shù)即解析式”，“對應(yīng)關(guān)系即運算關(guān)系”，“對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)圖像”等，并幫助學(xué)生判別哪些是正確的？哪些是有問題的？從不同的角度分析討論，從而在學(xué)生腦海中形成一個準確直觀的函數(shù)概念.

三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的延伸

學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)概念，接下來就要學(xué)會能正確運用數(shù)學(xué)概念去解決實際問題，學(xué)生在運用時常會遇到兩方面的困難：一是不知道該用哪種數(shù)學(xué)概念；二是用錯數(shù)學(xué)概念.

案例3：對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間［a，b］?D，使f（x）在［a，b］上的值域為［a，b］，那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù).求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間［a，b］.

很多學(xué)生在碰到一些新的概念或新的題型往往束手無策，不知道如何運用已經(jīng)學(xué)過的知識來解決，比如上面提出的新概念：閉函數(shù)，學(xué)生不能很好地理解，覺得無從下手，其實只要抓住新概念定義的兩個條件：①（fx）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么y=-x3在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，考查的是函數(shù)的單調(diào)性；②存在區(qū)間［a，b］?D，使（fx）在［a，b］上的值域為［a，b］，那么把y=（fx）（x∈D）叫閉函數(shù)，函數(shù)既然在實數(shù)域上是個減函數(shù)，要保證［a，b］上的值域為［a，b］，那么當(dāng)x=a時，y=b，而當(dāng)x=b時，y=a，根據(jù)這個關(guān)系列出方程，就能解出a，b的值，考查的是函數(shù)的值域問題，其實就是要學(xué)生回答：當(dāng)x取何值時，函數(shù)能夠取到最大值和最小值，整個題目還是要求學(xué)生掌握函數(shù)的單調(diào)性、值域、最值等概念，只不過換了一種新的形式——閉函數(shù)來考查.

案例4：已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，求函數(shù)（fx）的解析式.

學(xué)生在解答這道題時認為（fx）是奇函數(shù)，那么（f0）=0，從而得到q=0，雖然跟答案一致，但是這樣的解法是錯誤的，因為最后的函數(shù)解析式應(yīng)為，即當(dāng)x=0時，分母為0，（fx）無意義，正確的做法應(yīng)是根據(jù)奇函數(shù)的概念，（f-x）=-（fx），列出，解出q=0，在根據(jù)，解出p=2，從而得到函數(shù)解析式，學(xué)生錯誤地利用了奇函數(shù)（f0）=0的概念，如果要利用這個條件，必須要滿足x=0時函數(shù)有意義才行，因此在運用數(shù)學(xué)概念解題時，一定要求學(xué)生注意分析概念應(yīng)用是否有前提條件，有沒有符合該題目的具體情況.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)概念學(xué)得好不好，直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，在平常教學(xué)中，應(yīng)努力把一個個數(shù)學(xué)概念講得淺顯易懂，分析透徹，那么學(xué)生在接下來的習(xí)題訓(xùn)練中就能取得效果，如果學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解不深刻，那么做再多的題目也只是掌握表面，稍加變動，就不知如何解答了，因此，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念，更重要的是用好數(shù)學(xué)概念.

1.王尚志.數(shù)學(xué)教學(xué)研究與案例［M］.北京：高等教育出版社，2006.

2.陳令深.探索新課改下數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2005.

3.趙榮夫.新課程理念下實現(xiàn)學(xué)生思維參與的途徑［J］.教育探索，2007.

4.中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2003.