淺談求數(shù)列通項公式的幾種方法

數(shù)列在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，高考對數(shù)列知識的考察從未間斷過，而且在前幾年，很多省市的高考數(shù)學(xué)卷都把數(shù)列題作為壓軸題。數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，有了解析式便可研究性質(zhì)等；而有了數(shù)列的通項公式便可求出數(shù)列中的任一項及前 項和等。因此，求數(shù)列的通項公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點。本文即通過幾個高考實例總結(jié)了在高中階段，求數(shù)列的通項公式的常用方法和策略。

、觀察法

即歸納推理，就是觀察數(shù)列特征，找出各項共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通向公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。

例1.（2014年重慶理科）設(shè) ， .

（1）若 ，求 及數(shù)列 的通項公式.解：由題意可知： ， ， .因此猜想 .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式.①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即 ，則 ，即當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.由（1）、（2）可知，對于一切正整數(shù) ，都有 .點評：采用數(shù)學(xué)歸納法證明是理科教學(xué)內(nèi)容，較為容易，好掌握。

（2）定義法。直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目。

例2.（2015年北京文科）已知等差數(shù)列 滿足 ， .①求 的通項公式；②設(shè)等比數(shù)列 滿足 ， ，問： 與數(shù)列 的第幾項相等？解：①設(shè)等差數(shù)列 的公差為 . 因為 ，所以 .又因為 ，所以 ，故 . 所以 . ②設(shè)等比數(shù)列 的公比為，因為 ， ， 所以 .所以 由 ，得 . 所以 與數(shù)列 的第63項相等.點評：當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的定義求出數(shù)列的首項與公差或公比，再寫出通項公式。

（3）公式法。若已知數(shù)列的前n項和 與 的關(guān)系，求數(shù)列 的通項 可用公式 求解。

例3.（2015年山東理科）設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ，已知

①求數(shù)列 的通項公式。解：（Ⅰ）由 可得：當(dāng) 時， ，

當(dāng) 時， ，而 ，所以 點評：利用公式 求解時，要注意對 分類討論，但若能合寫時一定要合并。

（4）累加法。當(dāng)遞推公式為 時，其中 的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用累加法（逐差相加法）求解。例4.（2015年江蘇）數(shù)列 滿足 ，且 （ ），則數(shù)列 的前10項和為 .

解：由題意得： 所以 所以

（5）累乘法。當(dāng)遞推公式為 時，其中 的積比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例5.已知數(shù)列 滿足 ，求 的通項公式。

解：由條件知 ，在上式中分別令 ，得 個等式累乘之，即 ，即 又 ，

總之，求數(shù)列通項公式的方法并不滿足以上所述，對于同一問題的求解也不僅只有一種方法，只有在平時學(xué)習(xí)與探究過程中不斷地體會與總結(jié)，將知識與方法學(xué)活，才可以做到游刃有余。