巧找對稱點 妙解最值題

在初中數(shù)學競賽中，經(jīng)常會出現(xiàn)求最值問題，其中這類題目大多可做“對稱點”解決，而其基本圖形又是課本上的例題，故值得一提，不容忽視。

引例：如圖1，要在河邊修建一個水泵站，分別向張莊，李村送水，修在河邊什么地方可使所用的水管最短？（人教版《幾何》第二冊P.91例3）。

解：如圖，作點A關于直線l的對稱點連接交l于點P，P點即為所求（證明略）。

這個結(jié)論在很多競賽中出現(xiàn)，舉例如下：

例1、如圖，設三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是BC邊上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別記為S和K ，則S2-K2= （2000年全國初中數(shù)學聯(lián)會競賽題）。

解：△ABC為正三角形，所以 PA≤AC，PM≤CM，所以PA+PM≤CA+CM=2+3 ，當點P為頂點C時，等號成立 ，

∴S=2+3

問題關鍵在于求K，以BC為邊作正三角形ABC，作M關于直線BC所在直線的對稱點M'，連結(jié)PM'、AM'，

∵∠ABC=∠CBA'，∴M'在BA'上，且BM'=BM=1，PM=PM'，PA+PM=PA+PM'≥AM' 連結(jié)CM'，則∠ACM=90°，

∴ AM'=AC2+CM'2=4+3=7， ∴K=7 。

∴S2-K2=（2+3）2-（7） 2=43。

例2、△ABC中，AB=，AB邊上的高為h，試求AC+BC的最小值。

解：顯然，點C在平行于AB且到AB的距離為h的直線上，如圖，過點C作直線l∥AB，點A關于l的對稱點為A'，則AA'=2h，AC+BC的最小值等于A'B=C2+4h2。

例3、已知點A（1，2），B（3，4）在x軸上找點P，使點P到A.B兩點距離之和最短，求P點坐標。

解：如圖，作A（1，2）關于x軸的對稱點A'（1，-2），則過點A'，B的直線解析式為y=3x-5，該直線與x軸交點坐標為（53，0），即為所求P點坐標.

例4、求函數(shù)y=x2-2x+5+x2+6x+25的最小值.

解：y=（x-1）2+（0-2）2+（x+3）2+（0-4）2，

∴y為點（x，0）到點A（1，2）和B（-3，4）的距離之和.

∵點（x，0）在x軸上，A，B都在x軸上方，點A關于x軸的對稱點A'（1，-2），

z∴y最小值=▏A'B▏=（1+3）2+（-2-4）2=213。

例5、在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE+PC的最小值.

解：∵ABCD為正方形 ，

∴AC是關于BD所在直線對稱的對稱點，連結(jié)AP，由對稱性質(zhì)知AP=PC，

則PC+PE的最小值即為AP+PE的最小值為線段AE，

在Rt△ABE中，AE=AE2+BE2=22+33=13。

由上可知，求幾何最值問題中，正確作“對稱點”是解決這類問題的關鍵，通過作對稱點，使幾何中求兩線和的最大或最小問題得到順利解決，此法簡單明了，直觀易懂，值得我們借鑒。

注：此文適合初中生閱讀。

作者簡介：李小忠，1968年5月1日生，男，漢族，中學一級教師。研究方向：初中數(shù)學教學。