【摘要】 在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中,對(duì)學(xué)生的思維能力要求越來(lái)越高,同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求,培養(yǎng)學(xué)生思維能力是個(gè)大課題,是個(gè)系統(tǒng)的工程。本文主要針對(duì)當(dāng)前高中生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展?fàn)顩r和特點(diǎn),從一個(gè)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的一個(gè)環(huán)節(jié)說(shuō)起,淺談解題教學(xué)角度介紹如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及現(xiàn)實(shí)意義.
【關(guān)鍵詞】 思維能力 培養(yǎng) 解題
高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出,\"解決實(shí)際問(wèn)題的能力\"是數(shù)學(xué)教學(xué)主要目的之一,它是以思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等三個(gè)基本能力作為前提和基礎(chǔ),它把思維能力放第一位,從中可見(jiàn)它的重要性。本文就從解題教學(xué)中談?wù)勛约旱囊恍┙虒W(xué)實(shí)踐,分以下幾個(gè)方面。
一、現(xiàn)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展情況
高中階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵階段,根據(jù)調(diào)查,目前高中生對(duì)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展呈現(xiàn)出兩個(gè)主要現(xiàn)象,抽象邏輯思維日益發(fā)展,且數(shù)學(xué)思維的批判性和獨(dú)立性表現(xiàn)明顯。高中生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的特點(diǎn)主要體現(xiàn)為以下幾點(diǎn):
1. 學(xué)生抽象思維能力有待提高
由于高中生年齡特征及知識(shí)發(fā)展水平的局限,學(xué)生具體形象思維的成分較大,主要靠直觀思維,對(duì)具體、形象的問(wèn)題,思維比較活躍和順暢,而對(duì)抽象問(wèn)題,一時(shí)找不到解釋?zhuān)忝H粺o(wú)措,習(xí)慣于某種思維定式,遇到問(wèn)題,一味期望能套用某個(gè)現(xiàn)有公式,思維的變通性和應(yīng)變能力較差。
2. 學(xué)生思維呈現(xiàn)狹隘性、直觀性
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解存在偏頗,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),不注意挖掘所研究問(wèn)題中的隱含條件,抓不住問(wèn)題中的確定條件,影響問(wèn)題的解決。
例1:對(duì)于非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+2y=2,求x2+y2的最大、最小值。
分析:在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí),如沒(méi)有注意x,y的范圍,
即(0≤x≤2,0≤y≤1),就容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。
3、 學(xué)生思維呈現(xiàn)盲從性、懶惰性
很多學(xué)生在解題中不愛(ài)獨(dú)立思考,不能對(duì)問(wèn)題提出自己的想法,通常傾向于追隨他人的思路,往往從旁人的答案中記憶解題方法,不善于提出疑問(wèn),沒(méi)有自己的見(jiàn)解,學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、總結(jié)問(wèn)題的能力較差,平時(shí)一做好題目了事,有惰性,懶于總結(jié),反思。
例2:已知x,y均是正數(shù),且3x2+2y2=6x,試求z=求x2+y2的最值。
分析:多數(shù)學(xué)生會(huì)這樣求解:因?yàn)?y2=6x+3x2,所以z=x2+y2=-12(x-3)+92,因?yàn)椋▁-3)2≥0,所以z=x2+y2的最值是92。此解法如果不認(rèn)真檢查,表面上看似乎沒(méi)有問(wèn)題,此時(shí)z的最大值是在x=3時(shí)取得的,但是,由已知條件2y2=6x+3x2≥0可得,0≤x≤2,可以看出x≠3,上述解法其實(shí)是錯(cuò)誤的。
二.如何在解題教學(xué)中培養(yǎng)思維能力
1. 觀察題目條件、式子等結(jié)構(gòu)特征,培養(yǎng)學(xué)生思維的直覺(jué)性
觀察即審題,是解題中首先進(jìn)行的直覺(jué)思維活動(dòng),明確問(wèn)題的已知條件和求解目標(biāo),分析問(wèn)題的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中,人們常常依靠直覺(jué)、靈感進(jìn)行選擇、判斷形成數(shù)學(xué)猜想,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生善于觀察的習(xí)慣,有助于培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力。直覺(jué)思維經(jīng)常與解決數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題相聯(lián)系,有時(shí)從題目的數(shù)形特征就可以發(fā)現(xiàn)題目的內(nèi)在規(guī)律,進(jìn)而找到解題的突破點(diǎn)。
例3:已知函數(shù)f(x)=x21+x2,求f(1)+ f(2) + f(12) + f(3) + f(13) + f(4) + f(14)。
分析:通過(guò)仔細(xì)觀察題目,可以看出,2與12、3與13、414與互為倒數(shù),因而可以求出f(1x)=11+x2,結(jié)合已知條件,f(x)+f(1x)=1,本體輕易而解。若沒(méi)有認(rèn)真觀察題目,由已知條件f(x)=x21+x2,按照常規(guī)方法,將1,2,12,3,13,4,14分別代入式中,雖然也可以計(jì)算出結(jié)果,但卻耗費(fèi)了大量時(shí)間。
2 、探究題目解題思路,培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)加強(qiáng)解題思路的形成過(guò)程的教學(xué),在探究解題思路的教學(xué)中滲透思維訓(xùn)練,創(chuàng)設(shè)探究氛圍,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探索尋求獨(dú)特的解題方法,發(fā)展學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)性思維能力。
例4:解方程x3+23x2+3x+3-1=0。
分析:此方程是含有無(wú)理數(shù)的三次方程,若按一般求解三次方程的方法不易解決。根據(jù)題目的特點(diǎn),將3看作為未知數(shù),而把x看作為已知數(shù),則該方程就是關(guān)于3的一元二次方程,令3=a,則該方程變?yōu)閤a2+(2x2+1)a+x3-1=0,解得a=1或a=x2+x+1x,由此,方程等價(jià)于x=1-3及x2+(3+1)x+1=0,進(jìn)而求出x。
3 、運(yùn)用變式教學(xué),培養(yǎng)思維的發(fā)散性
變式教學(xué)是對(duì)教學(xué)中的定理和命題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式,以暴露問(wèn)題的本質(zhì),揭示不同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法。通過(guò)變式教學(xué),可以使學(xué)生進(jìn)行多角度地分析、比較、聯(lián)系,把握問(wèn)題的分類(lèi)及解法,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。尤其是在開(kāi)放式問(wèn)題中,學(xué)生可以形成積極探索的心理態(tài)勢(shì),對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生新的領(lǐng)悟,提高數(shù)學(xué)思維的靈活性。通過(guò)變式教學(xué),啟迪學(xué)生的思維,開(kāi)拓解題思路,因而能夠產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力,保持其參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情。
例5:在探討軌跡問(wèn)題時(shí),已知ABC中, 角A,B, C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,其中c為定量,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并添加適當(dāng)?shù)臈l件,求出點(diǎn)C的軌跡方程。
分析:此題是條件和結(jié)論均開(kāi)放的問(wèn)題,可以使學(xué)生充分發(fā)揮,積極討論,向各個(gè)方向發(fā)散。學(xué)生在得出不同答案的同時(shí),也充分體驗(yàn)了自主探索的樂(lè)趣。此題條件改變,答案也隨之改變,下面例舉幾種答案:
答案一:以AB為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,添加條件a2+b2=c2,得點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2=c24,可以看出為圓形軌跡;
答案二:以AB為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,添加條件a+b=2c,得點(diǎn)C的軌跡方程為x2c2+4y23c2(y≠0),可以看出為橢圓軌跡;
答案三:以AB為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,添加條件a/b=2,得點(diǎn)C的軌跡方程為;3x2-3y2+5cx-34c2=0
答案四:以AB為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,添加條件b-a=2c,得點(diǎn)C的軌跡方程為16x2c2-16y23c2=1(y≠0),可以看出為雙曲線軌跡;
三、培養(yǎng)學(xué)生思維能力的現(xiàn)實(shí)意義
眾所周知,近些年來(lái)新課程改革不斷推進(jìn),素質(zhì)教育已成為教學(xué)發(fā)展的必然趨勢(shì)。社會(huì)不斷發(fā)展進(jìn)步,對(duì)人才的素質(zhì)要求越來(lái)越高,培養(yǎng)人才的重點(diǎn)轉(zhuǎn)化為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和實(shí)踐能力,而學(xué)生創(chuàng)造精神培養(yǎng)的基礎(chǔ)是有良好的思維品質(zhì),不斷發(fā)展思維能力。
楊慶元:男 1977年1月 大學(xué)本科 浙江金華人 中學(xué)一級(jí)教師