巧用數(shù)學(xué)方法 妙求陰影面積

在教學(xué)中經(jīng)常會遇到求陰影部分面積的問題，有些問題，看似無從下手，但認真分析會發(fā)現(xiàn)其圖形多數(shù)是由一些基本圖形比如三角形、平行四邊形、梯形、扇形、圓等進行組合、重疊而成的。因此，明確該圖形是由哪些簡單而規(guī)則的圖形組合而成，是解決問題的關(guān)鍵。適當(dāng)而又巧妙地運用數(shù)學(xué)思想方法，往往能順利求解。

一、和差法

如圖1，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB為直徑的半圓O交斜邊BC于D，則陰影部分面積為（結(jié)果保留π）

解析：連接AD，因為△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圓的直徑得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以AD=BD，

S陰影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD由此可得出結(jié)論.S陰影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD=24-4π

總結(jié)：利用基本圖形的面積的和與差求出陰影圖形的面積.

二、整體法

如圖2，有5個半徑都是1的圓，順次連接5個圓心得五邊形ABCDE，則圖中陰影部分的面積之和為_____________

解析：圖中五個扇形的半徑雖然已知，但卻無求出

每個扇形的圓心角的度數(shù)可運用整體思想，把這五個扇形拼

在一起考慮. 即五個扇形拼在一起可拼成一個整圓和一個半圓. S陰影 =32π·12=32π

總結(jié)：利用整體思想求陰影部分的面積.

三、等積變換法

如圖3，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD.若∠BAC = 60°，OA = 2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）.

解析：連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可知∠ODC=90°，因此可證得AC//OD，然后根據(jù)平行的性質(zhì)和圓的半徑可證AD是∠CAB的平分線；連接OE、ED，可證得△OAE為等邊三角形，然后根據(jù)圓周角定理可得∠ADE=30°，由題意可得∠OAD=30°，可證得ED//AB，再由同底等高可知S△AED=S△OED，然后把求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求扇形ODE的面積。陰影部分的面積= S扇形ODE=60×π×4360=23π

總結(jié)：將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為與它等積的簡單圖形的面積。

四、疊合法

如圖4，已知A（23，2）、B（23，1），將△AOB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)到點A′（﹣2，23）的位置，則圖中陰影部分的面積為_________.

解析：圖中陰影部分的面積即為線段AB掃過的圖形的面積，

就是S扇形A′OA+S△AOB-S扇形B′OB-S△A′OB′，由旋轉(zhuǎn)可得S△AOB=S△A′OB′

五、割補化歸法

如圖5，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，則陰影部分的

面積為____________

解析：根據(jù)圓是軸對稱圖形和垂徑定理，利用題中條件可知E是弦CD的中點，B是弧CD的中點。在弓形CBD中，被EB分開的上面空白部分和下面的陰影部分的面積是相等的，所以可以把下面的陰影部分割下來補到上面的空白部分轉(zhuǎn)化為扇形COB來求。S陰影=S扇形BOC=60×π×22360=23π

總結(jié)：將陰影部分的某一部分割下來，移放到其它合適的位置上，從而聚零為整構(gòu)成基本圖形。

六、數(shù)形結(jié)合法

如圖6，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點G，若S△ABC =12，則圖中陰影部分面積是 .

解析：本題用等底同高三角形面積的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想方法，可使解法新穎、簡潔。如圖，各三角形面積分別記為①②③④⑤⑥

總結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合法把問題簡化。

七、方程思想方法

如圖7，在正方形中，有一個以正方形的中心為圓心，以邊長一半為半徑的圓，分別以四個頂點為圓心，以邊長一半為半徑畫四條弧，若正方形的邊長為2m，求圖中所圍成的陰影部分的的面積。

解析：由圖形對稱性可知，四個小陰影面積相等，不妨設(shè)為x，四個角上的空白部分面積也相同，可設(shè)為z，中間的空白設(shè)為y，由題中的等量關(guān)系列方程求解可得x。S陰影=（2π4）a2

總結(jié)：觀察圖形，設(shè)出合適的未知數(shù)，通過建立方程或方程組求解陰影部分面積。

針對具體圖形，還有一些特殊解法，不再贅述?？偠灾诮忸}時要認真觀察圖形，注意圖形之間存在的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，在尋求一般解法的同時，能努力探求出一些更簡捷的解法。