高中數(shù)學(xué)歸納法的思維障礙及應(yīng)對策略

【摘要】數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要的地位，其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要.本文主要從思維維度對高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行障礙分析，并在分析的基礎(chǔ)上，提出相應(yīng)的應(yīng)對策略，幫助教師更深入地了解高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法認(rèn)知障礙情況，以便教師在教學(xué)過程中能更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】高中生數(shù)學(xué)歸納法認(rèn)知障礙應(yīng)對策略

1 問題的提出

在數(shù)學(xué)證明中，數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，用途很廣，對于某些結(jié)論是自然數(shù)的函數(shù)的命題，往往都可以通過數(shù)學(xué)歸納法來加以證明.

本人長期擔(dān)任理科班的教學(xué)，在實際教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法地理解不夠透徹，不能熟練地將之運用于解題。本人申報了課題《高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知障礙及應(yīng)對策略》，分別從感知、記憶、思維三個維度進(jìn)行研究，本文主要是從思維這個維度進(jìn)行分析.

2 思維障礙分析

思維是人腦對客觀世界的概括的、間接的反映.思維是認(rèn)知的高級形式，是智力活動的核心.觀察為思維提供有關(guān)當(dāng)前事物、現(xiàn)象和過程的信息；記憶則為思維提供以往感知過的事物的表象；想象提供未能親身感知到的事物的信息；注意則對思維進(jìn)行調(diào)節(jié)和監(jiān)控，保證思維的持續(xù)運轉(zhuǎn).思維則把感知等提供的大量的感性材料、具體事實等進(jìn)行由表及里、去偽存真的加工改造，揭示出了事物的本質(zhì)屬性.

2.1 思維缺乏靈活性

思維的靈活性是指思考問題時，能根據(jù)問題的條件的變化而變化.數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中思維缺乏靈活性表現(xiàn)在三個方面.一是在用數(shù)學(xué)歸納法解題時，受思維定勢影響，常認(rèn)為歸納基礎(chǔ)就是1.

事實上：（1）數(shù)學(xué)歸納法公理中“”是使命題成立的最小正整數(shù).例如，命題“多邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°”中，n的取值應(yīng)當(dāng)是大于或等于3的正整數(shù)，所以，用數(shù)學(xué)歸納法證明此命題的歸納基礎(chǔ)應(yīng)該是=3；命題“邊數(shù)為偶數(shù)的圓內(nèi)接凸多邊形，相間諸角的和等于其余諸角的和”中，當(dāng)n<4時，原命題無意義，所以，用數(shù)學(xué)歸納法證明此命題的歸納基礎(chǔ)應(yīng)該是=4，然后再對一切偶數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法.

（2）對于某些命題，雖然正整數(shù)n（n∈N*）的任意取值都能使其有意義，但并非對一切正整數(shù)都成立.對此類命題，應(yīng)該找出使命題成立的最小正整數(shù)作為歸納基礎(chǔ).例如，使命題2n>n2成立的最小正整數(shù)為=5.因此在運用數(shù)學(xué)歸納法證明該命題時，應(yīng)取歸納基礎(chǔ)為=5.

可見，在用數(shù)學(xué)歸納法解題時，靈活的根據(jù)題中的條件選擇歸納基礎(chǔ)是多么重要.

2.2 思維缺乏深刻性

思維的深刻性是指，思維能透過現(xiàn)象看到事物的本質(zhì)，能更深入的思考問題，不被表面現(xiàn)象所迷惑.思維深刻性差的學(xué)生不能從本質(zhì)上正確的區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)歸納法與完全歸納法，容易被規(guī)律表面上的相似性干擾.

歸納與演繹相對，指人的思維方式與推理方法.原來教材對歸納法的解釋是指“從一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法”.如果更改歸納法定義，去掉“有限”，即可將數(shù)學(xué)歸納法劃進(jìn)完全歸納法的范疇，這是不對的.從認(rèn)知角度，人能否直接觀察無限個特殊事例？人如何觀察無限個？在數(shù)學(xué)上，是通過“有限”去認(rèn)識“無限”.

那么，數(shù)學(xué)歸納法究竟是什么？應(yīng)該說它是一個推理方法，它是歸納推理還是演繹推理？從數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)講，數(shù)學(xué)歸納法是自然數(shù)理論中的皮亞諾公理（5）即歸納公理的直接應(yīng)用，從推理的角度理解數(shù)學(xué)歸納法，觀察數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟：首先說明第一個命題是正確的，接著建立遞推關(guān)系：如果一個命題正確，那么它后面的一個命題也正確.由這兩個步驟說明命題對所有的自然數(shù)都成立.從中可以看出，數(shù)學(xué)歸納法通過兩個步驟，利用遞推說明所有的命題即P（n）（n∈N*）都是正確的.它并不是“從有限個（即便改為無限）特殊事例中得到一般規(guī)律”，所以，從推理角度思考，不應(yīng)該將數(shù)學(xué)歸納法劃入歸納法范疇，數(shù)學(xué)歸納法中有更多的演繹成份.所以，有人也將數(shù)學(xué)歸納法稱為“遞推證法”.

2.3 缺乏豐富的感性材料

事實告訴我們，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的主要困難有兩點：其一是對方法本身不理解，第一步的意義和第二步的本質(zhì)分別是什么？其二是由歸納假設(shè)P（k）成立推導(dǎo)P（k+1）成立時，變形過程有困難.思維的正常運轉(zhuǎn)離不開感知、記憶、想象提供的豐富感性材料，特別是在抽象的數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中，更離不開直觀的感性材料，是建立和理解數(shù)學(xué)歸納法公理的基礎(chǔ).

3 應(yīng)對策略分析

3.1 追根溯源，提高學(xué)生思維的深刻性

由于數(shù)學(xué)歸納法原理的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對于知識發(fā)生、發(fā)展的過程不會主動地進(jìn)行深入的理解和思考，一般的學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解僅僅停留在表象的概括層面上，不太可能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握原理的本質(zhì).

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思維的動力，并為思維指出了方向；數(shù)學(xué)思維的過程也就是不斷地提出問題和解決問題的過程.課堂教學(xué)是實施素質(zhì)教育的主渠道，而把素質(zhì)教育落實到課堂教學(xué)中，恰恰是以問題解決作為中介的.因此，在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中，教師要不斷向?qū)W生提出不同層次的數(shù)學(xué)問題，追根溯源，為更深入的數(shù)學(xué)思維活動提供動力和規(guī)劃方向，從而來提高學(xué)生思維的深刻性.

知識的掌握并不等同與大量感性材料的簡單疊加，它是通過對大量的感性材料進(jìn)行由表及里、去粗取精的思維加工，概括總結(jié)出來的.因此在學(xué)生獲得了足夠的感性材料后，教師要指導(dǎo)學(xué)生運用已有的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，對感性認(rèn)識進(jìn)行分析、歸納，抽象概括出感性認(rèn)識中反映數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)屬性，實現(xiàn)由感性到理性的飛躍.另外，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，任何人都不能代替學(xué)生學(xué)習(xí)，只有學(xué)生自己通過認(rèn)真仔細(xì)的思考，學(xué)生親身經(jīng)歷由感性到理性的過程，才能真正學(xué)會知識.如果教師只是一味的代替學(xué)生思考，不給學(xué)生獨立思考的空間，就會剝奪了學(xué)生思維的積極性和主動性，阻礙學(xué)生思維能力的發(fā)展.

3.2 打破定勢，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

所謂思維定勢，指的是思維的方向性、目的性、程序性，它是人們按照一種固定的思路去考慮問題的思維形態(tài).它有兩個基本的特征：一是將新問題歸結(jié)為舊問題的傾向性；二是擴(kuò)大已有經(jīng)驗的應(yīng)用范圍.它既有積極的一面，也有消極的一面.要使學(xué)生解題正確、迅速、合理，勢必要使學(xué)生掌握解題的通法、解題的思路，通過練習(xí)而形成解題模式的心理表象，其外顯形式則達(dá)到了熟練的水平.但與此同時，思維定勢也就產(chǎn)生了.

學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法以后，遇到與正整數(shù)有關(guān)的問題，有的學(xué)生總是自覺或不自覺地想用數(shù)學(xué)歸納法去證明.其實，有些問題用數(shù)學(xué)歸納法證明，會顯得思路呆板，過程繁瑣，以至無法求解.而根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特點，尋求另一些思路，往往可出奇制勝.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的目的在于應(yīng)用，使用數(shù)學(xué)歸納法分析和解決問題，了解數(shù)學(xué)歸納法的使用條件和適用范圍的意義，從而根據(jù)條件靈活的選擇數(shù)學(xué)歸納法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.教師應(yīng)給學(xué)生提供解題的示范，幫助學(xué)生分析解題過程，教給學(xué)生解決問題的方法、步驟.教師還要精心挑選典型習(xí)題，讓學(xué)生作適當(dāng)訓(xùn)練.

3.3 提供感性材料

在實際教學(xué)中，為了幫助學(xué)生消除困惑，很好得掌握數(shù)學(xué)歸納法，常見的教學(xué)方法往往是舉多米諾骨牌的游戲.由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推倒第一塊骨牌，第二塊就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，第四塊也會倒下……如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下.教師提出問題：要使n塊多米諾骨牌全體依次倒下，需滿足什么條件？最后通過討論得出結(jié)論：（1）第一塊要倒下；（2）當(dāng)前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下.教師把這兩個條件遷移到具體的數(shù)學(xué)問題中，引出數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，最后讓學(xué)生套用這個模式解題.