數(shù)學(xué)語言包括文字語言,圖形語言,符號語言。通過提高學(xué)生對三種數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化的能力的教學(xué)、有助于學(xué)生深刻理解題意、進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力。
高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)多,有些試題,知識板塊內(nèi)容交錯(cuò)明顯,同時(shí)也比較抽象.要解決這些數(shù)學(xué)問題,除了要求學(xué)生牢固掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,并能靈活運(yùn)用外,還要運(yùn)用多種途徑對數(shù)學(xué)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使文字語言符號化、圖形化,進(jìn)一步讀懂題意、讀透題意,轉(zhuǎn)化已知和未知、應(yīng)用一定的解題技巧,把復(fù)雜的問題簡單化,這樣才能有助于問題的解決。
一、數(shù)學(xué)語言的組成和特征
數(shù)學(xué)語言分為文字語言、符號語言、圖形語言三種.文字語言是用來表達(dá)數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)化了的自然語言;符號語言就是指在數(shù)學(xué)中的各種數(shù)字及符號;圖形語言就是數(shù)學(xué)中的各種圖像,圖形和圖表、他們共同組成了數(shù)學(xué)語言。這三種語言各有利弊,文字語言通俗易懂,概括性強(qiáng)但不夠抽象,簡潔;符號語言簡潔精確,能夠準(zhǔn)確的表達(dá)數(shù)學(xué)知識,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的高度抽象性,但太過抽象,不易理解;圖形語言比較直觀,易懂,但不利于數(shù)學(xué)推理,又不利于敘述.
二、實(shí)現(xiàn)三種語言的互譯,從而找到解決問題的途徑。
數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化是指不改變數(shù)學(xué)本身的意思,及所表達(dá)的本質(zhì)內(nèi)容,而是在表達(dá)形式上,讓三者之間相互轉(zhuǎn)換或相互結(jié)合來表達(dá)數(shù)學(xué)本意。數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化就是一個(gè)在這三種語言之間進(jìn)行不同的翻譯過程。在這三種數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程中要注意的是把握問題的實(shí)質(zhì).。
三、提升學(xué)生三種數(shù)學(xué)語言互譯能力的教學(xué)策略
1、符號語言圖像化 ,培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。
符號語言由一些數(shù)學(xué)概念、定義、定理、運(yùn)算法則的縮寫、代號組成,十分抽象。 如果在教學(xué)中讓學(xué)生用“符號語言”去推導(dǎo)問題,可能會覺得無從下手、但將條件符號語言轉(zhuǎn)化為圖象語言,則很直觀得出。
例1:已知全集S={不大于20的質(zhì)數(shù)},集合A、B是S的兩個(gè)子集,且滿足下列條件:A∩(CsB)={3,5};B∩(CsA)={7,19};(CsA)∩(CsB)={2,17}。求集合A,B。
分析:本題如采用符號語言去推導(dǎo)符號語言,難度非常大,但將條件符號語言轉(zhuǎn)化為圖象語言(如下圖),則很容易得A∩B={11,13},從而得A={3,5,11,13},B={7,19,11,13}。
數(shù)學(xué)里面有許多公式和概念,都可以用這三種數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述 。比如在高中數(shù)學(xué)中學(xué)到的交集、并集,補(bǔ)集,就可以用這三種語言表述。他們?nèi)咧g只是表述不一樣,但是要表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一樣的。
2、文字語言符號化
數(shù)學(xué)問題大多是根據(jù)已知的條件,借助于數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則經(jīng)過推理得出正確的結(jié)論,而符號化是推理的最大特點(diǎn),貫穿始終。解題時(shí)將文字語言轉(zhuǎn)譯成符號語言是首先要做的事。 立體幾何中用集合語言來描述空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;比如:在立體幾何的教學(xué)中我設(shè)計(jì)下面的例子讓學(xué)生進(jìn)行各種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練。
例2:敘述立體幾何第一節(jié)中的公理一和公理二的內(nèi)容,并用圖形語言和符號語言表示出來。
公理一:如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),則整條直線都在一個(gè)平面內(nèi)。
A∈L,B∈L A∈α,B∈α則L α
公理二:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),則它們必然有一條公共直線,公共點(diǎn)在公共直線上。
A∈α,A∈β則必有A∩B=L且A∈L
3、利用數(shù)形結(jié)合思想,實(shí)現(xiàn)三種語言的相互轉(zhuǎn)化。
3.1數(shù)轉(zhuǎn)形 的訓(xùn)練
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,圖形具有著較強(qiáng)的直觀性以及形象性,同數(shù)學(xué)文字語言相比具有較強(qiáng)的優(yōu)勢。在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中,可以將部分難以求解、較為抽象的問題通過數(shù)形結(jié)合方式的應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)向圖形問題的轉(zhuǎn)變,以形助數(shù)、以數(shù)解形使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化,著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾 經(jīng)這樣說”數(shù)缺形時(shí)少直 覺 形少數(shù)時(shí)難入微“以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的啟發(fā),力求找到解題思路,特別是在處理有關(guān)函數(shù)的問題時(shí),常采用此法。
例3:已知方程| x2-1|=k-1,討論k為不同值時(shí),方程解的個(gè)數(shù)。
分析:在實(shí)際求解該問題時(shí),可以將該方程轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù):y1 =k-1,y2 =| x2-1| 做出這兩個(gè)函數(shù)的圖像,討論k取不同值時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn),的情況,從而得到此題的解法。
例4:若實(shí)系數(shù)一元 二次方程 x2+ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求:(1)點(diǎn)(a,b)對應(yīng)的區(qū)域的面積;(2)b-2 的取值范圍;
a-1
(3)(a-1)2+(b-2) 的范圍.
分析:第(2)題是斜率型目標(biāo)函數(shù),第(3)題是距離型目標(biāo)函數(shù),根據(jù)文字語言畫出二次函數(shù)的草圖,即變成圖形語言,結(jié)合圖像得出有關(guān)a.b的不等式(組)(即變成符號語言,)再據(jù)此畫出線性規(guī)劃區(qū)域,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)找到最優(yōu)解,最后代值求出所求問題的范圍。b-2
a-1
(a-1)2+(b-2)2 ∈(8.17)
3.2 形轉(zhuǎn)數(shù) 的訓(xùn)練
對于圖形來說,雖然其在直觀以及形象方面具有著獨(dú)到的優(yōu)勢,但其在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中也存在著一定的局限性,即在邏輯性以及計(jì)算精準(zhǔn)性方面存在著不足,該種情況在數(shù)學(xué)問題解決當(dāng)中更為明顯,即無法僅僅依靠圖形解題。在面對該種情況時(shí),則可以通過數(shù)形結(jié)合方式將其轉(zhuǎn)化為自然語言、符號語言、達(dá)到認(rèn)圖、識圖的目的、進(jìn)而解決問題。
例5.如圖,函數(shù) 的圖象在點(diǎn)P 處的切線方程是 ,則
分析:根據(jù)圖像和導(dǎo)數(shù)的定義得出
f(5)+f'(5)=(-5+8)-1=2.
在平常的教學(xué)中有意識的加強(qiáng)這類問題的練習(xí),逐步提高學(xué)生的識圖、辯圖的能力。數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思維的載體,熟練掌握數(shù)學(xué)語言,會準(zhǔn)確進(jìn)行“翻譯、轉(zhuǎn)化”,是學(xué)生學(xué)好、學(xué)活數(shù)學(xué)的必要條件。因此,教師在教學(xué)中應(yīng)努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化的能力,使學(xué)生找回學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,找到學(xué)好數(shù)學(xué)的規(guī)律。
(作者單位:成都市通錦中學(xué))