初中生幾何直觀能力的發(fā)展評價研究

唐平+付天貴

【摘要】幾何直觀是運用圖形去描述數(shù)學(xué)問題和分析數(shù)學(xué)問題的一種思維活動。從數(shù)學(xué)問題解決的角度看，幾何直觀表現(xiàn)為一種問題解決的方法，從學(xué)生學(xué)習(xí)角度看它是一種思維活動，從結(jié)果看它表現(xiàn)為運用圖形描述和分析問題的能力。采用測量的方式研究了初中生幾何直觀能力的發(fā)展，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：幾何直觀存在不同的水平，初三年級學(xué)生幾何直觀能力水平高于初二年級；同一年級達(dá)到掌握和推理水平的學(xué)生較少。

【關(guān)鍵詞】問題解決 幾何直觀 水平差異

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）46-0126-02

一、問題提出

幾何直觀是新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個核心概念之一。幾何直觀不同于數(shù)感、符號意識、空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念等這些主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率具體領(lǐng)域的核心概念，它存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果[1]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，本質(zhì)而言是問題解決的過程。無論是數(shù)學(xué)家、教師還是學(xué)生，在數(shù)學(xué)教與學(xué)以及研究過程中，都認(rèn)識到幾何直觀對應(yīng)問題解決的重要性。數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert，1862—1943）在其名著《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！蔽覈麛?shù)學(xué)家華羅庚先生也曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。這里的數(shù)形結(jié)合強調(diào)的也是幾何直觀，由此可以看出幾何直觀對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。雖然大家都認(rèn)識到幾何直觀對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要，但對幾何直觀是什么卻并未形成統(tǒng)一認(rèn)識，對學(xué)生幾何直觀能力發(fā)展研究相對較少。

二、幾何直觀的含義

數(shù)學(xué)教育界普及接受幾何直觀這一概念，但對其含義卻有不同的認(rèn)識和理解。數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握。在克萊因這里，數(shù)學(xué)的直觀顯然是比幾何直觀更廣泛的概念，同時他認(rèn)為數(shù)學(xué)直觀是對概念和證明的直接把握，但究竟什么是直觀的把握并未明確指出，但更多地，這里的幾何直觀是一種方法，理解概念和證明的方法。從心理學(xué)角度而言，直觀是通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識。但幾何直觀不僅僅是感性認(rèn)識，徐本順，商應(yīng)鋼認(rèn)為，在科學(xué)創(chuàng)造的過程中，既有形象思維，又有抽象思維，另外還有間于二者間的中間環(huán)節(jié)，借助于幾何直觀進(jìn)行思維就是屬于這樣一個中間環(huán)節(jié)。[2]徐利治認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的直觀是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知[3]。顯然，在徐利治先生等人看來，幾何直觀既與直觀感知相聯(lián)系，又有區(qū)別，它是一種數(shù)學(xué)思維，因為必須對事物的關(guān)系有深刻的認(rèn)識和理解，通過數(shù)學(xué)思維活動才能建立起對象與圖形的聯(lián)系。

2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》明確提出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。幾何直觀是一種能力的觀點得到國內(nèi)學(xué)者廣泛的認(rèn)同（杜佩璟，謝林，2007；史寧中，孔凡哲，2012；等）。2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。[4]顯然這是對幾何直觀的一個描述性解釋，雖然它未明確說明幾何直觀的內(nèi)涵是什么，但卻告訴有關(guān)幾何直觀研究者和教師，如果給定數(shù)學(xué)問題，則可以從觀察學(xué)生是運用圖形、圖表去描述問題和分析問題的結(jié)果，從而分析學(xué)生的幾何直觀能力。既然要用圖表、圖形去描述數(shù)學(xué)問題，研究數(shù)學(xué)問題的解決，那就一定離不開數(shù)學(xué)思維活動。

我們認(rèn)為幾何直觀是運用圖形去描述數(shù)學(xué)問題和分析數(shù)學(xué)問題的一種思維活動。幾何直觀這一定義數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維和思維活動的結(jié)果統(tǒng)一起來。該定義可以從以下不同層面去理解。首先，從數(shù)學(xué)問題解決的角度看，幾何直觀表現(xiàn)為一種問題解決的方法，即是運用圖形去研究數(shù)學(xué)問題的方法；其次，從學(xué)生學(xué)習(xí)角度看，幾何直觀是一種思維活動，學(xué)生要能用圖形和圖表去描述所遇到的數(shù)學(xué)問題，必須在對數(shù)學(xué)問題有充分認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過想象、聯(lián)想等思維活動，才能從幾何角度建立其對象的數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式與圖形的關(guān)系；第三，從結(jié)果看，幾何直觀表現(xiàn)為運用圖形描述和分析問題的能力，也就是學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問題，能否用實物直觀、符號直觀、圖形直觀去描述問題的能力。把幾何直觀定義為一種數(shù)學(xué)思維，就可以把它和范.西爾（Van Hiele）夫婦的幾何思維模式聯(lián)系起來。荷蘭學(xué)者范·西爾夫婦研究了幾何思維模式，認(rèn)為幾何思維有認(rèn)識、分析、非正式演繹、正式演繹、嚴(yán)密5個水平構(gòu)成，并指出這些水平是非連續(xù)的。后來，有研究者研究了范·西爾的幾何思維水平，指出這些水平是動態(tài)的、連續(xù)的（Burger&Shaughnessy，1999），并通過測量，證實了幾何思維水平1到水平4的存在和層次性（Gutierrez&Jaime（1986）。雖然范·西爾夫婦等人并未直接研究幾何直觀思維，但可以看出，思維存在水平差異，可以進(jìn)行測量。

三、幾何直觀能力的測量

（一）幾何直觀分析框架

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把結(jié)果性目標(biāo)分為了解、理解、掌握和運用四個水平，并對每個水平進(jìn)行了描述。從結(jié)果看，幾何直觀是一種能力，是借助于圖形的形象關(guān)系對空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行感知、理解、把握和推理的能力。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的層次劃分，結(jié)合范·西爾幾何思維水平的層次研究，我們建構(gòu)了幾何直觀分析框架。[5]框架為測量義務(wù)教育階段學(xué)生幾何直觀思維水平，分析幾何直觀能力的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

（二）測量工具

為測量初中生幾何直觀能力水平，組織了有經(jīng)驗的初中數(shù)學(xué)教師編制《初中生幾何直觀能力測試卷》，測試卷由6個問題組成，每個項目5分。根據(jù)我們對小學(xué)生幾何直觀能力的測試，幾乎所有學(xué)生都能建立實物與學(xué)習(xí)對象的對應(yīng)關(guān)系，達(dá)到幾何直觀的感知水平，大部分學(xué)生都達(dá)到第2水平，即理解水平，因此，測試卷沒有水平1的項目。測試卷結(jié)構(gòu)如下：第1題由兩個問題組成，一是告訴不等式組，要求用數(shù)軸表示出不等式組的解集，二是讓學(xué)生觀察數(shù)軸表示出x的范圍，考察學(xué)生能否建立數(shù)學(xué)對象和圖像間的關(guān)系，屬于理解層次；第2題和第3題一個是代數(shù)問題，一個是幾何問題，屬于把握層次；第4、5、6題都屬于推理層次題目，其中第4題是運算題，第5題和第6題應(yīng)用題，都要求學(xué)生運用圖像描述問題、分析問題，以探求問題解決的思路。

（三）測量結(jié)果

測試對象來自重慶某區(qū)縣初二、初三年級，學(xué)生人數(shù)分別是64人和60人。年級在各測試項目的平均得分統(tǒng)計結(jié)果見表一。

給定顯著性水平a=0.05進(jìn)行T檢驗，二年級和三年級在項目1，項目2、3，項目4、5、6都存在顯著性差異，同一年級在項目1，項目2、3，項目4、5、6的平均分也存在顯著性差異。

四、結(jié)論與思考

由于已有研究證實了幾乎所有學(xué)生都能達(dá)到幾何直觀的感知水平，所以本研究只關(guān)注了幾何直觀其他水平。研究表明：作為一種數(shù)學(xué)思維，幾何直觀存在不同的水平，只是它們在本研究中用理解、把握、推理去表示；初二年級與初三年級幾何直觀能力存在顯著性差異，初三年級學(xué)生幾何直觀能力水平高于初二年級；統(tǒng)計還發(fā)現(xiàn)，80%左右的學(xué)生能達(dá)到理解水平，50%左右學(xué)生達(dá)到了掌握水平，只有10%左右的學(xué)生達(dá)到了推理水平。測試項目是初中二年級學(xué)生能夠解決的問題，但初三學(xué)生在每一個水平上的得分都高于初二，這說明幾何直觀思維水平受數(shù)學(xué)知識積累的影響，后續(xù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和所掌握的數(shù)學(xué)方法，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野和思維，從而對先的數(shù)學(xué)問題解決獲得了方法上的指導(dǎo)。就同一個年齡段而言，能達(dá)到掌握和推理直觀水平上的人數(shù)較少，這啟示教學(xué)過程中，要注重用圖形、圖表去描述數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的幾何直觀水平。

參考文獻(xiàn)：

[1][4]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]徐本順，商應(yīng)剛.關(guān)于思維中的幾何直觀問題[J].西北大學(xué)學(xué)報.1984.43（2）：91-96.

[3]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J].數(shù)學(xué)通報.2000（5）：1-4.

[5]唐平，付天貴.義務(wù)教育階段幾何直觀分析框架[J]. 教學(xué)與管理.2016（30）.83-85.

作者簡介：

唐平（1979-），女，重慶永川人，重慶文理學(xué)院講師，研究領(lǐng)域：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革。

付天貴（1969-），男，重慶酉陽人，重慶文理學(xué)院副教授，西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院博士生，研究領(lǐng)域：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。