“勾股定理”章節(jié)中史料編排變遷之研究
——以人教版中學(xué)數(shù)學(xué)教科書為例

張冬莉 李春蘭

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 010022)

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)及研究中占據(jù)了很重要的位置，這在國內(nèi)外學(xué)者中基本上已經(jīng)達(dá)到共識.如英國數(shù)學(xué)家格萊歇爾(J.W.L.Glaisher, 1848-1928)在其數(shù)學(xué)研究生涯的始終，一直愛好和研究數(shù)學(xué)歷史，他認(rèn)為“如果試圖將一門學(xué)科和它的歷史割裂開來，那么沒有哪門學(xué)科會比數(shù)學(xué)的損失更大”.美國數(shù)學(xué)家克萊因(M.Kline,1908-1992)指出“每一位中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該知道數(shù)學(xué)史有許多理由，但最重要的一條理由或許是數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H.Freudenthal,1905-1990)認(rèn)為數(shù)學(xué)史應(yīng)該是數(shù)學(xué)教師用于數(shù)學(xué)教學(xué)的必備知識[注]汪曉勤，韓祥林.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京:科學(xué)出版社,2002：1-5..

勾股定理始終是中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的經(jīng)典內(nèi)容之一，故對數(shù)學(xué)教科書中勾股定理編寫的重視程度逐漸增強(qiáng)，內(nèi)容的編排也是逐漸優(yōu)化，通過滲透數(shù)學(xué)史知識，讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)思想方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探索精神，加強(qiáng)歷史的熏陶.

由于我國在教科書編寫上實(shí)行統(tǒng)一大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))和統(tǒng)一教科書的制度，教學(xué)大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))成為教科書編寫的主要依據(jù).1949年10月1日，中華人民共和國成立以來，教育部先后進(jìn)行了多次課程改革，我國中學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編排也隨之改變.依據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))的變遷，可將中華人民共和國成立以來的數(shù)學(xué)教科書分七個階段來闡述，但因?yàn)?966-1976年,“文化大革命”十年，整個教育領(lǐng)域受到重大影響，數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)遭到了破壞，全國沒有統(tǒng)一的教學(xué)計劃和教學(xué)大綱，而之前的數(shù)學(xué)教科書一律停止使用，負(fù)責(zé)編寫出版全國中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的人民教育出版社也停止了工作，很多地方著手自編教材，故該階段的數(shù)學(xué)教科書在本文不做研究.

本文著重論述以下六個階段我國人民教育出版社出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書[注]1949-2013年人民教育出版社出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是本文的主要參考文獻(xiàn).“勾股定理”章節(jié)中的史料編排及特點(diǎn)分析：(1)1949-1952年，教育部頒發(fā)了《中學(xué)暫行教學(xué)計劃(草案)》，這是新中國第一份教學(xué)計劃(1950年8月)，1951年國家正式發(fā)行新中國成立以來的第一套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(2)1953-1957年，國家共頒布了五個教學(xué)計劃，1956年國家正式發(fā)行新中國成立以來的第二套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(3)1958-1965年,這一時期是我國“左”傾思想影響萌芽的時期，1958年“大躍進(jìn)”引發(fā)了“教育大革命”，此階段出版了第三套和第四套供全國通用的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(4)1977-1985年,“文化大革命”結(jié)束，撥亂反正，1978年頒發(fā)《全日制十年制中小學(xué)教學(xué)計劃試行草案》，統(tǒng)一規(guī)定全日制中小學(xué)學(xué)制十年，1980年出版了新中國成立以來全國統(tǒng)編的第五套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(5)1986-2000年,實(shí)施九年義務(wù)教育后編寫的初中幾何教科書，此階段出版了第六套—第九套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(6)2001年至今出版的數(shù)學(xué)教科書可視為第十套和第十一套.在此需要指出的是，在資料的查詢過程中，一些數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)中所出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書，因使用范圍窄或者印刷冊數(shù)較少，并未一一囊括.

1 勾股定理章節(jié)中的史料編排概述

1.1 1949—1952年中學(xué)幾何教科書

由劉薰宇編寫的《初級中學(xué)平面幾何課本》，包括兩冊.第一冊，1951年3月原版；第二冊，1951年8月原版；這是建國后我國第一本初中幾何教科書，依照中央人民政府教育部1950年頒布的《普通中學(xué)教學(xué)參考適用數(shù)學(xué)精簡綱要(草案)》，并參考中南軍政委員會教育部的《中等數(shù)學(xué)教材精簡綱要》編寫的.該書在“編輯大意”中提到：為了使讀者認(rèn)識祖國的偉大，對于我們的祖先在幾何上的貢獻(xiàn)，只要是讀者可以接受的都要提到，同時希望教師們在教學(xué)的時候加以發(fā)揮，使讀者感到做為一個祖國的人民是值得驕傲的，因而對于祖國產(chǎn)生崇高的愛敬以及對于民族有堅強(qiáng)的自信心.這套教科書是人民教育出版社成立后出版供全國統(tǒng)一使用的第一套幾何教科書.勾股定理章節(jié)編排在第二分冊的第三章§220，該書關(guān)于勾股定理的介紹如下：

220.定理直角三角形的兩直角邊的平方的和等于它的斜邊的平方.

[假設(shè)] △ABC的C角是直角，∠A，∠B和∠C所對的邊分別用a，b和c表示.

[終結(jié)]a2+b2=c2.

[證明]在上圖中作CD⊥AB,設(shè)AD=d則DB=c-d，AB:AC=AC:AD，和AB:CB=CB:DB，即c:b=b:d和c:a=a:c-d.所以b2=cd和a2=c(c-d)=c2-cd，兩式相加就得a2+b2=c2.

注：這個定理在歐洲都叫做畢達(dá)哥拉斯定理，因?yàn)樗怯上ＥD的幾何學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(公元前580—500)首先發(fā)現(xiàn)的.若直角三角形的兩直角邊分別等于3和4則斜邊就等于5，這樣的特殊的直角三角形叫做埃及三角形，因?yàn)楣糯陌＜叭税l(fā)現(xiàn)的.

在我國《周髀算經(jīng)》上商高也就知道了這種埃及三角形，而叫做勾股形.對于勾股形和它的內(nèi)切圓，從前我國的數(shù)學(xué)家有不少的研究.所以這個定理可以叫做商高定理.

依照勾3股4弦5的法則，我們可以利用一條繩子在地上作直角.方法是這樣：如下圖所示，將一條繩子的兩頭結(jié)起來.把它分成3:4:5三段.固定3,7和12中的一個分點(diǎn)，再拿住其他兩個分點(diǎn)把繩子拉直成一個三角形，這樣一來，在3那一點(diǎn)的角就是直角.這個方法古代的埃及人已經(jīng)懂得用了.應(yīng)用三邊成3,4,5的比作成直角三角形，我國也是很早就知道的.

該書首先對定理進(jìn)行描述，然后提出假設(shè)、終結(jié)和證明.證明方法是利用直角三角形中三邊的比例關(guān)系進(jìn)行論證.在例題結(jié)束后，融入了相關(guān)史料介紹.介紹了該定理在歐洲叫做畢達(dá)哥拉斯定理，并且也說明在我國《周髀算經(jīng)》中，商高也提出這種埃及三角形叫做勾股形.體現(xiàn)出我國歷史上對幾何發(fā)展所作出的貢獻(xiàn).對于定理的證明，理由敘述的很少，目的是留作教學(xué)時教師們便于隨時發(fā)問使讀者自行思索.值得注意的是，在該時期，沒有將定理命名為勾股定理，只稱為定理，并說明它可以叫做商高定理.

1952年，東北人民政府教育部編譯的《初級中學(xué)課本平面幾何》(全)是第二套全國通用的中學(xué)幾何教科書，由于編譯本是全面參照蘇聯(lián)的“十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”編寫，而我國的中小學(xué)是十二年制，因此幾何內(nèi)容有所減少，該書中沒有編排勾股定理內(nèi)容.

1.2 1953—1957年中學(xué)幾何教科書

1953年，由劉薰宇編寫的《高級中學(xué)課本平面幾何》，該書對定理的表述、假設(shè)、終結(jié)、證明、例題與1951年的完全相同，但是在史料中補(bǔ)充到：“不過，在‘周髀算經(jīng)’中這個定理的一般形式即‘勾方加股方，開方后得弦’，是陳子回答榮方所提出的，因此也有人主張叫陳方定理.

由余元慶、奚今吾、管承仲、呂學(xué)禮編寫的《高級中學(xué)課本平面幾何》，包括兩個分冊.第一分冊，1955年3月第一版，1955年秋季開始使用；第二分冊，1955年8月第一版，1956年春季開始使用.這是根據(jù)1956年頒布的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(修訂草案)》編寫而成.該大綱在史料編排上要求要充分注意教給學(xué)生數(shù)學(xué)的歷史知識，特別要介紹關(guān)于我國杰出數(shù)學(xué)家的生活和成就.

勾股定理內(nèi)容則出現(xiàn)在第二分冊的第三章“三角形中及圓中各線段間的相互關(guān)系”，其中第四章§43直接給出勾股定理的表述.

43.勾股定理在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.

已知:△ABC中，∠C是直角；BC=a，AC=b，AB=c.求證：c2=a2+b2.

上面的定理我國在秦朝以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)在還保存下來的一部古算書(周髀算經(jīng))里就載有直角三角形兩條直角邊和斜邊間的這樣的關(guān)系.我國古代的算書上把直角三角形的兩條直角邊分別叫做勾和股，斜邊叫做弦，因此上面的定理叫做勾股定理.

該書在直接給出勾股定理的表述后，滲透了數(shù)學(xué)史的記載、描述和論述.在學(xué)習(xí)該內(nèi)容時，學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的相似、射影和比例中項的內(nèi)容.書中在證明勾股定理時采用的方法是利用三角形相似，對應(yīng)邊的比例關(guān)系，此方法是建立在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行的，充分地照顧了學(xué)生的理解程度，有利于學(xué)生的理解與掌握.這一時期的幾何教科書注重基礎(chǔ)知識，講法比較簡明，開始注重數(shù)學(xué)史的引入，介紹一些重要概念和定理時，提到相關(guān)歷史故事，借以提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣.通過對我國古代《周髀算經(jīng)》的了解，激發(fā)學(xué)生的愛國主義思想，樹立民族自尊心.

1.3 1958—1965年中學(xué)幾何教科書

人民教育出版社編寫的《初級中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》(全一冊, 1960年第一版)是根據(jù)《關(guān)于修訂中、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和編寫中、小學(xué)數(shù)學(xué)通用教材的請示報告》(1960年)的調(diào)整意見以及《十年制學(xué)校教學(xué)教材的編輯方案》(草稿)的精神編寫的[注]課程教材研究所.20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)大綱匯編(數(shù)學(xué)卷)[M].北京：人民教育出版社，2001:427—429..在該暫用本中，改變了從公理出發(fā)的歐幾里得公理體系，著重講解生產(chǎn)中和進(jìn)一步學(xué)習(xí)時有用的知識，并且注重畫圖、測量等技能的培養(yǎng).但存在的問題是，由于該書的內(nèi)容刪減過多，這本書使用了一學(xué)年便停止使用，換用《初級中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》第一冊與第二冊.其中，第一冊出版于1961年第一版，第二冊出版于1962年第一版.但是兩個版本的教科書對勾股定理章節(jié)的史料引入?yún)s并不相同.

《初級中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》(全一冊)中第五章相似形的§4為勾股定理.該書對勾股定理的介紹如下：

我國古代，把直角三角形的兩條直角邊中短的一邊叫做勾，長的一邊叫做股，斜邊叫做弦.還在遠(yuǎn)古時代，我國勞動人民就知道“勾三股四弦五”的事實(shí)，就是說，如果勾股分別是3個和4個長度單位，那么弦就是5個長度單位.在秦朝以前的一部古代數(shù)學(xué)書“周髀算經(jīng)”里，還載有一個更帶有普遍性關(guān)系，就是說，在任何直角三角形中，都有勾2+股2=弦2的關(guān)系，這個關(guān)系叫做勾股定理.

69.勾股定理

在下圖的直角三角形ABC中,AB2=BC·BD，AC2=BC·CD.把這兩式的兩邊分別相加，就得：AB2+AC2=BC·BD+BC·CD=BC·(BD+CD)=BC2.

這就是說：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.也可以說：如果在直角三角形的三邊上各作正方形，那么，斜邊上正方形的面積，等于兩條直角邊上正方形的面積的和.

《初級中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》第一冊中第五章，多邊形的面積的§5.8，介紹了勾股定理，如下：

5.8勾股定理我們把直角三角形的兩條直角邊分別叫做勾和股，把斜邊叫做弦.直角三角形的勾、股、弦之間，有下面定理所說的關(guān)系.

勾股定理直角三角形弦上正方形的面積，等于勾上正方形的面積與股上正方形的面積和.

已知：下圖中ABC是直角三角形，BEDC是它的弦BC上的正方形，AGFB和ACHK分別是它的勾和股上的正方形，求證：正方形BEDC的面積=正方形AGFB的面積+正方形ACHK的面積.

勾股定理我國在秦朝以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)在還保存下來的一部古代數(shù)學(xué)書(周髀算經(jīng))里就載有直角三角形勾股弦之間的這樣的關(guān)系.

1960年教科書在§4開始前引入史料，介紹我國古代的《周髀算經(jīng)》中記載了直角三角形三邊的關(guān)系.通過§67“點(diǎn)的線段在直線上的射影”和§68“直角三角形中弦上的高”兩個小節(jié)，引出勾股定理，并且給出了兩種表述方式.1961年教科書介紹直角三角形的兩條直角邊的名稱后，直接給出勾股定理的表述.但是，表述的方式與之前的版本有很大不同.該表述是從圖形分割、全等三角形以及面積的關(guān)系等知識的角度進(jìn)行描述.證明過程采用歐幾里得的證明方法，在這一時期，明確提出了歐幾里得公理體系的地位.中學(xué)的幾何科應(yīng)該以一些公理作為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)其定理.[注]課程教材研究所.20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)大綱匯編(數(shù)學(xué)卷)[M].北京：人民教育出版社，2001:437.在史料的介紹中不僅提到了我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》，而且新加入了關(guān)于趙爽注的《勾股圓方圖注》的介紹.在本著愛國主義的精神下，拓展了學(xué)生的視野.

1.4 1977—1985年中學(xué)幾何教科書

1978年3月，人民教育出版社編輯出版的教科書是為了學(xué)生的學(xué)習(xí)，將1966年編寫的一套沒有正式出版的數(shù)學(xué)教科書《幾何》，共兩分冊，作了一些必要的修改后出版.勾股定理章節(jié)設(shè)置在第一分冊第六章相似形的§4，勾股定理是直接給出的，之前沒有做任何鋪墊，直接用直角三角形三邊的關(guān)系定義.

1981年人民教育出版社數(shù)學(xué)編輯室編寫了《全日制十年制學(xué)校初中課本(試用本)幾何》，共分兩冊，勾股定理章節(jié)出現(xiàn)在第一冊的第二章三角形的第四節(jié).在該教科書的基礎(chǔ)上，于1983年又編寫了一套初中幾何教科書，在《初級中學(xué)數(shù)學(xué)課本 幾何》(1983年)中，勾股定理章節(jié)設(shè)置在第五章，面積、勾股定理的§2.通過正方形的切割以及等腰直角三角形的演繹推理，給出了勾股定理，并且用字母表示出來.同時又說明了勾股定理的逆定理也成立，并給出了相應(yīng)的證明.

《全日制十年制學(xué)校初中課本(試用本)幾何》第一冊，勾股定理章節(jié)的史料介紹如下：

2.17勾股定理

作一個直角三角形，使它的兩條直角邊分別等于3cm和4cm，量它的斜邊的長量得斜邊等于5cm.在我國古代一部數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》上有“勾三股四弦五”的記載，意思是，如果一個直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，那么斜邊一定是5(古代把直角三角形中較短的一條直角邊叫做“勾”，較長的一條直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”).

想一想，32+42是不是等于52？這說明，在直角三角形中，分別以兩條直角邊為邊的兩個正方形面積的和等于以斜邊為邊的正方形的面積.

勾股定理在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊平方的和.

《初級中學(xué)數(shù)學(xué)課本 幾何》(1983年)教科書中，勾股定理章節(jié)的史料介紹如下：

5.3勾股定理

定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方.即a2+b2=c2.

在我國古代，一部數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》中有用邊長為3、4、5的直角三角形來進(jìn)行測量的記載，并把直角三角形的兩直角邊分別叫做勾和股，斜邊叫做弦.因此，我們把上面的兩個定理分別叫做勾股定理和它的逆定理.勾股定理是數(shù)學(xué)中最常用的定理之一.在國外是古希臘人畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)這個定理的，所以把它叫做畢達(dá)哥拉斯定理.

1981年教科書在介紹《周髀算經(jīng)》的同時，還將“勾三股四弦五”的意思作了解釋說明.該章節(jié)在腳注中標(biāo)注了“這里所講的證明勾股定理的方法，是我國古代另一部數(shù)學(xué)書，趙爽著《勾股圓方圖注》中的證明方法”.

1983年教科書在表述勾股定理的同時，相繼提出了勾股定理逆定理也成立.這一時期的教科書編寫知識體系比較完整，脈絡(luò)比較清晰.西方的課程理論、教育理念和心理學(xué)理論大量被引進(jìn).國外的經(jīng)驗(yàn)成為我國中學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化過程的一個重要方面.此時，勾股定理章節(jié)史料的引入不再只停留在我國古代的成果，開始注意西方的數(shù)學(xué)文化，開闊了學(xué)生的視野，也激發(fā)學(xué)生的對西方知識學(xué)習(xí)的意識.

1.5 1986—2000年中學(xué)幾何教科書

1986年《中華人民共和國義務(wù)教育法》的頒布，意味著全面教育的發(fā)展逐步擴(kuò)大.這一時期頒布的大綱，明確規(guī)定在教學(xué)過程中通過對我國古今數(shù)學(xué)成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義思想，民族自尊心，為國家富強(qiáng)、人民富裕而艱苦奮斗的獻(xiàn)身精神；要通過介紹我國數(shù)學(xué)史，以及我國社會主義建設(shè)的成就和數(shù)學(xué)應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生民族的自尊心和愛國主義的思想感情，使學(xué)生逐步明確要為國家富強(qiáng)、人類進(jìn)步而努力學(xué)習(xí)；要視條件許可注意闡明數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，并經(jīng)常介紹我國和其他國家的古今數(shù)學(xué)成就，以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)、社會生產(chǎn)和日常生活中的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生逐步明確要為國家富強(qiáng)、人民富裕而努力學(xué)習(xí).

《九年義務(wù)教育三年制初級中學(xué)教科書 幾何》全套教科書共三冊，第一冊與第二冊出版于1993年，第三冊出版于1994年.勾股定理章節(jié)出現(xiàn)在第二冊第三章三角形的§5，其中史料的介紹如下：

3.16中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，西周開國時期(約公元前1千多年)有個叫商高的人對周公說，把一根直尺折成直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.

人們還發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，勾是6，股是8，弦一定是10；勾是5，股是12，弦一定是13，等等.而32+42=52，62+82=102，52+122=132，…，即勾2+股2=弦2.是不是所有的直角三角形都有這個性質(zhì)呢？世界上許多數(shù)學(xué)家，先后用不同方法證明了這個結(jié)論.我國把它稱為勾股定理.

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方.即a2+b2=c2.

1993年教科書先是史料的引入，提到我國古代的《周髀算經(jīng)》，并且講述了商高與周公的對話，擴(kuò)展了《周髀算經(jīng)》的內(nèi)容，語言生動活潑，使學(xué)生進(jìn)一步了解有關(guān)勾股定理的發(fā)展歷史.該章節(jié)采用拼圖的方法來證明勾股定理，以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，注重學(xué)生的動手操作能力.

1.6 2001年至今中學(xué)幾何教科書

2001年7月教育部頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》，從時代的背景出發(fā)，對數(shù)學(xué)教育技術(shù)等方面闡述了數(shù)學(xué)課程改革的基本理念，一切以學(xué)生的發(fā)展為本.這一時期，人民教育出版社編寫的《九年義務(wù)教育三年制初級中學(xué)教科書 幾何》(2001年)共3冊和《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)》(2005年)共6冊.

2001年教科書勾股定理內(nèi)容設(shè)置在第二分冊的第三章§5，引入方式和證明方法與1993年教科書的完全相同.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)》(2005年)，其中勾股定理內(nèi)容設(shè)置在八年級下冊第十八章.《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》(2013年)，其中勾股定理內(nèi)容設(shè)置在八年級下冊第十七章.2013年教科書的史料引入以及證明方法與2005年教科書基本相同，只在排版順序略有變化.

下面以2005年教科書為例，介紹勾股定理章節(jié)的史料編排情況，內(nèi)容如下：

相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.

圖1是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形可以如圖圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形.利用趙爽弦圖證明命題的基本思路如圖2.這樣就通過推理證實(shí)了命題的正確性，經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理.命題與直角三角形的邊有關(guān)，我國把它稱為勾股定理.“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.正因?yàn)榇?，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.

圖1

圖2

在教科書每章開頭部分都配有前言，可作為教師導(dǎo)入新課的材料，并配有相應(yīng)的插圖.該版本教科書的史料引入是最豐富最新穎的，首先以故事的方式引入，并插入了畢達(dá)哥拉斯的肖像和簡介(如圖3).其次詳細(xì)的講述了趙爽弦圖的證明方法，讓學(xué)生認(rèn)識到無論是我國古代還是在西方的科學(xué)史上都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)做出了各自的貢獻(xiàn).

畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,約前580—約前500),古希臘著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.圖3

2 史料編排之特點(diǎn)

2.1 《周髀算經(jīng)》貫穿在各個階段的教科書中

從史料的內(nèi)容上講，1955年第二分冊史料的介紹是最簡潔明了的，直接指出我國一部古算書《周髀算經(jīng)》記載的直角三角形三邊的關(guān)系.1960年教科書(暫用本)的史料介紹的內(nèi)容略比1955年教科書的多一點(diǎn)，1983年、1993年和2001年中史料的介紹依然以古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》為主.為了進(jìn)行愛國主義教育，教科書中編寫了有關(guān)我國古代數(shù)學(xué)成就.

隨著課程的改革，在教科書的編寫過程中也逐步的積累了一些經(jīng)驗(yàn)，關(guān)于史料的內(nèi)容也不斷地豐富，在1961年教科書第一冊的史料與1981年教科書第一冊的史料中不僅介紹了《周髀算經(jīng)》，還介紹了趙爽的《勾股圓方圖注》與“勾三股四弦五”的意義，較為全面的展現(xiàn)了勾股定理的歷史.2005年教科書與2013年教科書將《周髀算經(jīng)》的介紹放在了章前，作為閱讀材料.

2.2 由單一的文字描述演變?yōu)閳D文并茂

1955年、1960年、1961年和1983年的教科書史料的描述都是直接給出的，都在以三角形三邊的關(guān)系基礎(chǔ)上直接給出勾股定理.1961年教科書在介紹《周髀算經(jīng)》的同時，還介紹了趙爽的《勾股圓方圖注》.隨后，史料的介紹不再是單一的文字描述，而且語言描述上也變得生動活潑.數(shù)學(xué)史的融入也開始注重聯(lián)系生活實(shí)際，以動手拼圖或者探究的形式展開.2005年和2013年的教科書中繪制了畢達(dá)哥拉斯的肖像，同時也涉及到趙爽的弦圖.從整體看，在一些數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)中編寫的教科書也獨(dú)具特色.

2.3 由愛國主義教育過渡到了解多元文化

史料不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)歷史的基本素材,還是教科書“歷史感”的重要體現(xiàn),愛國主義是中華文化的核心，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))中要求要培養(yǎng)愛國主義以及民族自尊心.勾股定理章節(jié)中史料的內(nèi)容從愛國主義教育逐漸增加且呈現(xiàn)出多元化趨勢.從1983年開始，所出版的教科書，如《初級中學(xué)數(shù)學(xué)課本 幾何》史料中滲透了西方文化，無疑帶給學(xué)生耳目一新的感覺.2005年教科書與2013年教科書的史料介紹是以畢達(dá)哥拉斯生活中的事跡為主線，循序漸進(jìn)地拓展加深了一些內(nèi)容.

2.4 定理的證明過程中史料的滲透從無到有

1955年教科書勾股定理章節(jié)安排在高中階段，在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容之前，已經(jīng)掌握了射影、比例中項的內(nèi)容，所以勾股定理的證明方法是根據(jù)相似三角形三邊的比例關(guān)系得到的.1960年和1961年的教科書，勾股定理章節(jié)開始安排在初中階段學(xué)習(xí)，供初二、初三年級使用.1960年教科書中勾股定理的證明方法繼續(xù)用相似三角形，三邊比例關(guān)系的證明方法，而1961年教科書中運(yùn)用歐幾里得的方法證明勾股定理，其核心是使用演繹法證明，但是原書中并沒有提到這是歐幾里得的證明方法，遺憾的是對歐幾里得沒有相應(yīng)的介紹.1983年、1993年和2001年的教科書勾股定理的證明方法更為直觀，運(yùn)用拼圖加深理解，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力.2005年和2013年的教科書介紹我國古人趙爽的證法，先作“弦圖”，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，從而證明勾股定理.

3 結(jié)語

縱觀1949年以來中學(xué)數(shù)學(xué)教科書在史料編排上，首先嚴(yán)格按照大綱的要求進(jìn)行編寫，并且在編寫教科書、決定教法、實(shí)現(xiàn)的過程也遵循了三大原則：實(shí)用性原則，論理性原則、心理的原則，三者相互統(tǒng)一.數(shù)學(xué)在日常生活中已經(jīng)存在其實(shí)用價值，然而僅僅是實(shí)用性原則也是不夠的，不足以支撐整個數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)具有一定的邏輯性，教科書中的內(nèi)容對于學(xué)生富于興趣，枯燥無味的東西是不能夠成為教科書的內(nèi)容，所以就有了心理的原則[注]陳建功.二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育[J].中國數(shù)學(xué)雜志，1952，(1)..有些教材雖然具有高度的實(shí)用性和理論性，假使學(xué)生不發(fā)生任何真實(shí)感，就心理的原則而言，這些教材就沒有教育的價值了.其次我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》貫穿各個階段，內(nèi)容上逐步增加了對商高和趙爽的介紹，表現(xiàn)出我國人民在數(shù)學(xué)上取得的成就.在培養(yǎng)學(xué)生愛國主義思想的同時，也對西方的數(shù)學(xué)成就和畢達(dá)哥拉斯作了相應(yīng)的介紹，引進(jìn)西方的數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)史的融入越來越豐富，推陳出新，努力通過文字的表述，插圖和閱讀材料，向?qū)W生介紹我國社會主義建設(shè)和改革的成就以及數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用，介紹幾何發(fā)展史和我國古今的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生愛國主義熱情.