《數(shù)學(xué)分析》中不定積分求解方法探討

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

《數(shù)學(xué)分析》中不定積分求解方法探討

吳紅星，黃時(shí)祥，馬江山，丁鵬，黃美春

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

不定積分的求解是《數(shù)學(xué)分析》中最基本、最重要的內(nèi)容之一，它是定積分、重積分和曲線積分等后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。研究了不定積分若干求解方法，詳細(xì)探討了湊微分積分法、拆微分積分法和分部積分法在求不定積分中的應(yīng)用。

不定積分；定義積分法；湊微分積分法；拆微分積分法；分部積分法

不定積分是《數(shù)學(xué)分析》中的一個(gè)重要內(nèi)容[1-2]。近年來，對不定積分的求解和教學(xué)方法研究有許多工作[3-14]。文獻(xiàn)[3]給出了一類分部積分求解的簡便算法；文獻(xiàn)[4]給出了一類反函數(shù)的不定積分求解方法；文獻(xiàn)[5]從教學(xué)方面討論了不定積分的解題技巧；文獻(xiàn)[6]探討了|f(x)|不定積分的求解方法；文獻(xiàn)[7]討論了一類特殊三角函數(shù)有理式積分的求解方法；文獻(xiàn)[8]討論了一類有理冪函數(shù)的計(jì)算方法；文獻(xiàn)[9]討論了三角函數(shù)等三類特殊不定積分計(jì)算方法；文獻(xiàn)[10]討論了幾種常見不定積分的計(jì)算方法與解題技巧；文獻(xiàn)[11]通過給出口訣，討論了不定積分的分部積分法；文獻(xiàn)[12]采用湊微分法討論了不定積分計(jì)算方法和解題技巧；文獻(xiàn)[13]采用了第一類換元法等多種不同的方法討論了不定積分，對大學(xué)生學(xué)習(xí)不定積分啟發(fā)頗深；文獻(xiàn)[14]討論了不定積分求解的廣義分部積分公式。本文系統(tǒng)地闡述了《數(shù)學(xué)分析》中不定積分求解的若干方法，為高校教師不定積分教學(xué)提供便利，對大學(xué)生學(xué)習(xí)不定積分具有啟發(fā)意義。

1 定義積分法

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若成立F′(x)=f(x),x∈I，則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)記為f(x)在I上的不定積分，記作

(1)

方程(1)稱為定義法積分公式，其中C為任意數(shù)。定義積分法指直接使用不定積分的概念與線性性質(zhì)來求解不定積分，即熟記基本積分表[1]。

2 湊微分積分法

(2)

方程(2)稱為湊微分法積分公式，湊微分積分法又稱第一換元積分法。已知函數(shù)f(u)可積，

被積函數(shù)項(xiàng)可通過以下六種方法進(jìn)行湊微分，以達(dá)到可積分的目的。

解：根據(jù)湊微分積分法可得：

3 拆微分積分法

(3)

則

(4)

方程(4)稱為拆微分法積分公式，拆微分積分法又稱第二換元積分法。拆微分積分法常用代換方法主要包括：三角代換、無理代換、倒代換、萬能代換、雙曲代換和Euler代換，等等。

3.1 三角代換

(5)

(6)

(7)

3.2 無理代換

x=tn, dx=ntn-1dt

(8)

于是原被積函數(shù)可化為關(guān)于t的有理函數(shù)。

(9)

于是原被積函數(shù)可化為關(guān)于t的有理函數(shù)。

=ln1+t-ln1-t-2arctant+C

3.3 倒代換

當(dāng)被積函數(shù)中分母次數(shù)高于分子次數(shù)，且分子分母均為“因式”時(shí)，通?？勺鞯勾鷵Q：

x=t-1, dx=-t-2dt

(10)

3.4 萬能代換

(11)

(12)

(13)

于是得到：

3.5 雙曲代換

注1：化簡時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式有：

3.6 Euler代換

(1) 若a>0，則可令：

(14)

(2) 若c>0，則可令：

(15)

(3) 若二次三項(xiàng)式ax2+bx+c有相異實(shí)根λ,μ，即ax2+bx+c=a(x-λ)(x-μ)，則可令：

(16)

注2：根據(jù)上式，所求的積分可化為關(guān)于t的有理函數(shù)的不定積分。

于是可得：

4 分部積分法

(17)

圖1 分部積分法公式演示圖

注3：圖1中斜向乘積帶“+”表示已經(jīng)積出的函數(shù)，橫向乘積帶“-”表示新的被積函數(shù)。

下面介紹使用分部積分法求積分具備的一般原則。

(1) 冪指型

若被積函數(shù)是由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積形式構(gòu)成，通常將指數(shù)函數(shù)湊進(jìn)微分項(xiàng)，再使用分部積分法可使冪函數(shù)的“冪”降次，通常每使用一次分部積分法可使冪函數(shù)降冪1次。

解:此積分的被積函數(shù)由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積形式構(gòu)成，于是

再次使用分部積分法可得

(2) 冪三型

若被積函數(shù)是由冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積形式構(gòu)成，通常將三角函數(shù)湊進(jìn)微分項(xiàng)，再使用分部積分法可使冪函數(shù)的“冪”降次，通常每使用一次分部積分法可使冪函數(shù)降冪1次。

(3) 冪對型

若被積函數(shù)是由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積形式構(gòu)成，通常將冪函數(shù)湊進(jìn)微分項(xiàng)，再使用分部積分法可達(dá)到求解的目的。

(4) 冪反型

若被積函數(shù)是由冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積形式構(gòu)成，通常將冪函數(shù)湊進(jìn)微分項(xiàng)，再使用分部積分法可達(dá)到求解的目的。

(5) 指三型(循環(huán)型)

若被積函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積形式構(gòu)成，那么這是一種循環(huán)型不定積分，可將指數(shù)函數(shù)湊進(jìn)微分項(xiàng)，使用分部積分法運(yùn)算，再次將指數(shù)函數(shù)湊進(jìn)微分項(xiàng)，再次使用分部積分法運(yùn)算，即連續(xù)兩次使用分部積分法可達(dá)到求解的目的[1]。同理將三角函數(shù)湊進(jìn)微分項(xiàng)，重復(fù)上面的步驟也可達(dá)到求解的目的。

5 其它類型積分法

除了以上介紹了求不定積分的方法外，還有遞推積分法、待定系數(shù)積分法和解方程組積分法，等等。遞推積分法通常用于求被積函數(shù)型如sinnx,cosnx,tannx,secnx,cscnx等的不定積分。待定系數(shù)積分法一般用于解決有理函數(shù)的不定積分，將有理函數(shù)分解成幾個(gè)最簡分式之和，然后再逐一求解[1]。

解:構(gòu)造方程如下：

從而得到：

于是可得到：

其中C1,C2,C3,C4均為常數(shù)。

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Discussion on the Methods for Solving Indefinite Integral in Mathematical Analysis

WU Hongxing,HUANG Shixiang,MA Jiangshan,DING Peng,HUANG Meichun

(School of Mathematics and Computer Science，Shangrao Normal University,Shangrao Jiangxi 334001，China)

The solution of indefinite integral is one of the most basic and important contents in mathematical analysis,it is the basis of the following contents such as definite integral,multiple integral and curvilinear integral. In this paper,we study some methods for solving indefinite integral,and we discuss the differential integral method,the split differential integral method and the partial integration method in detail.It provides reference for indefinite integral teaching,and has enlightening significance for studying indefinite integral.

indefinite integral;defined integration;the integral method of improvising differential;the integral method of differential disassembly;integration by parts

2017-08-31

江西省教學(xué)改革研究課題(JXJG-16-16-12)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11461055)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(151056)

吳紅星(1980-)，男，江西余干人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和遷移方程研究。E-mail:jxsruwhx@163.com

O172.2

A

1004-2237(2017)06-0005-07

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.06.002