高中生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的獲得研究
——以“基本不等式”教學為例

陳 敏

高中生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的獲得研究
——以“基本不等式”教學為例

陳 敏

為了讓高中生獲得更多的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，提升數(shù)學核心素養(yǎng)，以“基本不等式”的教學為例，提出“模擬（演示）實驗、動手操作、研討探究、數(shù)學建?！彼膫€不同層次的獲得數(shù)學基本活動經(jīng)驗的途徑，教師在明確數(shù)學活動經(jīng)驗與學生發(fā)展的關(guān)系，深刻理解其本質(zhì)內(nèi)涵的條件下，把握數(shù)學活動經(jīng)驗的目的性、主動性、深刻性、層次性，遵循學生的認知規(guī)律，確保學生數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得。

高中數(shù)學；基本活動體驗；獲得途徑

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011版）》提出了“四基”，即學生通過學習，獲得必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。義務(wù)教育階段的教師積極踐行課標精神，教學中注意學生的主體體驗。但高中數(shù)學由于內(nèi)容多、難度大、教學時間緊等原因，教師一般不敢放手讓學生去體驗，擔心學生學習活動完成不了，數(shù)學理論掌握不好，造成高中數(shù)學教學的現(xiàn)狀是結(jié)論告知的多，過程經(jīng)歷的少；教師講解的多，學生探究的少；解題程式訓練的多，活動體悟到的經(jīng)驗少。相比小學與初中，高中生基本數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得研究具有重要的現(xiàn)實意義。

筆者結(jié)合自己的教學實踐認為，數(shù)學基本活動經(jīng)驗離不開數(shù)學活動，好的數(shù)學活動一般有特定的問題情境和明確的學習目標，有較廣的探索空間，教師要積極引導(dǎo)學生動腦、動口、動手、動情，多種感官協(xié)調(diào)統(tǒng)一，根據(jù)不同的教學內(nèi)容和教學目標，按數(shù)學活動開展和學生經(jīng)驗獲得的難易綜合程度，多層次地使學生獲得數(shù)學基本活動經(jīng)驗。下面以“基本不等式”的教學為例，談一談“模擬（演示）實驗、動手操作、研討探究、數(shù)學建?！钡葞追N不同層次的數(shù)學基本活動經(jīng)驗的獲得途徑。

一、模擬實驗，重在悟其道

當現(xiàn)實條件不具備，或是沒有必要現(xiàn)場實物操作，或者教學要求不高、思維難度不大時，有些數(shù)學實驗教師可以采用計算機動畫仿真模擬，讓學生認真觀察，進行數(shù)學抽象。這一過程重在“悟其道”，所謂“悟其道”就是拋去模擬實驗場景的外衣，用數(shù)學的觀點與思想方法尋求模擬實驗現(xiàn)象數(shù)學解釋，挖掘其背后的數(shù)學本質(zhì)。

如在教學“基本不等式”時，學生做不等臂天平的數(shù)學實驗，不可能也沒有必要人手一臺天平，這時教師可以用flash動畫模擬演示，如圖1。

圖1

探究問題：假設(shè)有一個兩臂長不等的天平，把一個物體放在該天平的一個托盤上，在另一個托盤上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質(zhì)量為a，再把物體與砝碼調(diào)換，稱得物體的質(zhì)量為b，通常的做法是用表示物體的實際質(zhì)量M，這樣合理嗎？物體真實的質(zhì)量是多少？

事實上，設(shè)天平左右臂長分別為l1，l2。根據(jù)杠桿原理，Ml1=al2，Ml2=bl1兩式相乘得，M2l1l2=abl1l2，所以即物體的實際質(zhì)量M=

當然，計算機動畫模擬只是模擬實驗場景，數(shù)學實驗沒有實際發(fā)生，當實驗物質(zhì)條件具備時，可以考慮現(xiàn)場演示實驗，由教師或個別學生在講臺上現(xiàn)場演示，其他學生仔細觀察，認真思考，努力尋求現(xiàn)象背后的數(shù)學本質(zhì)。如上述模擬實驗中，如果條件許可，就可以把不等臂天平拿到教室講臺上現(xiàn)場演示，學生觀察后，用數(shù)學的方法求出物體的實際質(zhì)量

二、親手操作，重在解其理

親手操作做數(shù)學實驗是學生運用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等）進行的一種以實際操作為主要特征的數(shù)學驗證或探究活動。其目的是讓學生在數(shù)學活動中切身體驗數(shù)學理論的產(chǎn)生發(fā)展過程。親手操作是獲得數(shù)學活動體驗的最直接的方法，其重點是理解其中的數(shù)學之理。

如在教學“基本不等式”時，可以讓學生做這樣的數(shù)學實驗：如圖2，把兩張邊長不等的正方形紙（a≥b＞0）沿對角線對折后拼成右邊的圖形，詢問學生這一圖形同基本不等式0，b＞0）有何關(guān)系，能否直觀地看出大多少，等號何時成立。

圖2

三、研討探究，重在得其法

學生經(jīng)歷數(shù)學知識的產(chǎn)生發(fā)展過程，積極研討探究，切身體驗，用心感悟，總結(jié)提煉，尋求解決問題的一般方法，從而內(nèi)化為自己的數(shù)學能力與數(shù)學素養(yǎng)。研討探究活動要用心感悟過程，總結(jié)提煉數(shù)學問題的一般研究方法是重點。

在教學過程中，先是通過不等臂天平的演示實驗抽象出數(shù)學問題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系如何；然后是猜想驗證，利用特殊值歸納猜想的大小關(guān)系，學生自主判斷、探究、證明（基本呈現(xiàn)比較法、分析法、綜合法的雛形）；接著是演繹證明，利用不等式證明的基本方法（比較法、分析法、綜合法）嚴格證明得到數(shù)學結(jié)論最后是理解賞析，賞析基本不等式的平衡和諧之美、數(shù)形結(jié)合之美。甚至教師還可以進一步縱深引導(dǎo)：從平衡和諧美的角度，你還能提出兩個正數(shù)的其他“平均數(shù)”嗎？它們與算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系如何？三個正數(shù)呢？n個正數(shù)呢？從而使學生對于基本不等式的認識更加深入全面。事實上，以上數(shù)學理論的探究過程：動手操作（或是模擬實驗）→數(shù)學抽象→猜想驗證→演繹證明→數(shù)學理論→理解賞析，就是數(shù)學問題的一般研究方法。

四、數(shù)學建模，重在盡其用

學習數(shù)學不是為了學而學，其最終目的是學以致用，即綜合運用數(shù)學知識、觀念、方法建立數(shù)學模型，解決實際問題。通過數(shù)學學習，學生能從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，學會“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界”。事實上，數(shù)學核心素養(yǎng)從本質(zhì)上講就是個體面對復(fù)雜的、不確定的情境時，綜合運用數(shù)學知識、觀念、方法解決實際問題所表現(xiàn)出來的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì)。它是學生在數(shù)學學習的過程中逐步形成的。數(shù)學建模和數(shù)學探究等綜合實踐活動是學生獲得數(shù)學活動經(jīng)驗的有效方式，也是培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑。

如在“基本不等式”學習時，教師可以鼓勵學生到學校文印室或是校外印刷廠調(diào)研在排版面積一定的條件下紙張的用量問題：

如圖3，一份矩形印刷品的排版面積為A，它的左右兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為b的空白。如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的用量最少？

圖3

解析：設(shè)排版矩形的長和寬分別是 x，y，則 xy=A，紙張的面積為

以上是結(jié)合“基本不等式”的教學，提出“模擬（演示）實驗、親手操作、研討探究、數(shù)學建?！钡葞追N不同層次的數(shù)學基本活動體驗的獲得途徑。不難看出，“模擬（演示）實驗”中數(shù)學活動沒有實際發(fā)生，或僅僅觀察到教師的實驗操作，所獲得的經(jīng)驗是淺層次的，實際課堂教學也比較容易實現(xiàn)?！皠邮植僮鳌眲t是每個學生人手一套實驗儀器、工具、材料等，課堂教學物質(zhì)條件要求更高，但是學生動手操作，獲得的是摸得著的切身體驗。以上兩種多數(shù)情況下都是為達成某一個具體的教學目標而進行的，學生獲得的是一些孤立的個別的數(shù)學活動體驗。而“研討探究”則是把這些孤立的個別的數(shù)學活動體驗串起來，總結(jié)提煉，尋求解決問題的一般方法。最后“數(shù)學建?！笔菍τ诳陀^現(xiàn)實世界，數(shù)學地觀察、數(shù)學地分析、數(shù)學地解決、數(shù)學地表達，這是數(shù)學教學的價值追求，這種經(jīng)驗的獲得需要一個循序漸進的過程，不可一蹴而就。當然以上這些不同層次的學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的獲得，一定要結(jié)合不同的教學內(nèi)容和教學目標，適合的才是最好的。

除此以外，教師引導(dǎo)學生參與數(shù)學活動，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗還要注意以下幾個問題：一是目的性，活動是為教學目標的達成服務(wù)的，不同的目標定位會設(shè)計出不同的活動，也就會產(chǎn)生不一樣的教學效果；二是主動性，實踐證明，要使活動更加積極有效，就必須注意學生學習體驗的主動性，如果學生被教師牽著鼻子走，照著教師的要求，按部就班進行體驗，學生獲得不了真正屬于自己的數(shù)學活動經(jīng)驗；三是多樣性，活動方式包括課外數(shù)學閱讀、數(shù)學實驗、撰寫小論文與實驗報告、數(shù)學儀器、工藝品的制作、數(shù)學游戲等，其中數(shù)學建模和數(shù)學探究等綜合實踐活動是學生數(shù)學活動體驗的有效方式；四是深刻性，教師創(chuàng)設(shè)的數(shù)學活動，不能片面追求形式的“美麗”，要注重數(shù)學內(nèi)涵的“魅力”，學生不僅僅是“做數(shù)學”，還要“思數(shù)學”，更要“悟數(shù)學”，把握數(shù)學活動情景背后的數(shù)學之理。

總之，教師只有明確數(shù)學活動經(jīng)驗與學生發(fā)展的關(guān)系，深刻理解數(shù)學問題的本質(zhì)內(nèi)涵，了解基本的高中生基本數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得途徑，遵循學生的認知規(guī)律，才能確保學生數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得。

G633.6

A

1005-6009（2017）67-0034-03

陳敏，江蘇省錫山高級中學（江蘇無錫，214174）教師，高級教師，無錫市學科帶頭人。