基于遺傳算法的RV減速器多目標(biāo)優(yōu)化

張景鈺， 曹巨江

(陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710021)

基于遺傳算法的RV減速器多目標(biāo)優(yōu)化

張景鈺， 曹巨江

(陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710021)

針對(duì)RV減速器的結(jié)構(gòu)不夠緊湊，傳動(dòng)效率低的問(wèn)題，采用最優(yōu)化理論與MATLAB遺傳算法優(yōu)化來(lái)解決。將體積與效率視作兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，多個(gè)目標(biāo)應(yīng)用加權(quán)法變成統(tǒng)一的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，其次建立不同的約束條件.最后利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算得出優(yōu)化解，達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)合理，減速器體積小、材料節(jié)省、成本低，效率高等一系列優(yōu)點(diǎn).通過(guò)最終優(yōu)化數(shù)據(jù)顯示，此方案為RV減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)開(kāi)創(chuàng)了一種新思路.

RV減速器； 遺傳算法； 優(yōu)化設(shè)計(jì)

0 引言

RV傳動(dòng)是近年來(lái)運(yùn)用在工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域的新型二級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，由針齒與針輪傳動(dòng)研發(fā)出來(lái)，占體積很小、總重量輕、精度非常高、轉(zhuǎn)化效率高.RV減速器已經(jīng)是主流的工業(yè)機(jī)器人專用減速器.在許多需要精密傳動(dòng)的地方，RV減速器應(yīng)用頗多.對(duì)于工業(yè)機(jī)器人顯得尤為重要[1].RV減速器在結(jié)構(gòu)上分為兩部分:漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和針齒針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，如圖1所示.工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)力由中心齒輪輸送給3個(gè)行星齒輪，行星齒輪嚙合的曲軸帶動(dòng)針輪與針齒相互配合做行星運(yùn)動(dòng)，而減速器的輸出由擺線針輪的自轉(zhuǎn)帶動(dòng)行星架輸出.機(jī)器人關(guān)節(jié)對(duì)于RV減速器有著特殊的要求，盡量在狹小的空間放置RV減速器.因?yàn)楣I(yè)機(jī)器人內(nèi)部空間有限，而且對(duì)性能有一定的要求.所以優(yōu)化設(shè)計(jì)是必要的.RV 減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)工業(yè)機(jī)器人性能的改進(jìn)有著重要的意義.

圖1 RV減速器結(jié)構(gòu)圖

本文中以RV250為例[2]，推導(dǎo)出RV減速器體積公式和傳動(dòng)效率的公式，把體積和效率當(dāng)作目標(biāo)函數(shù)[3]，通過(guò)MATLAB調(diào)用遺傳算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì).

1 RV減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

1.1 設(shè)計(jì)變量

X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8)T=

(1)

1.2 目標(biāo)函數(shù)

(1)在滿足工業(yè)機(jī)器人所需的功率和傳動(dòng)比的條件,把RV減速器的最小體積作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù),使減速器結(jié)構(gòu)緊湊,降低成本.

那么可得RV減速器的體積大小為

(2)

其中：Zg1為行星輪齒輪齒數(shù).

(3)

所以體積為：

(4)

式(4)中：Δ1為針齒套壁厚，Δ1=3 mm；δ為擺線輪之間的間隔，δ=b′-B；b′為曲軸軸承寬度；i為RV減速器的傳動(dòng)比.

(2)傳動(dòng)效率的大小是減速器工作能力高低的一個(gè)重要指標(biāo)，所以，保證減速器高傳動(dòng)效率在設(shè)計(jì)中很有必要.減速器效率為第二目標(biāo)函數(shù).

針輪固定軸輸出時(shí)，RV減速器的傳動(dòng)效率η近似用下式計(jì)算.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

則效率最大的目標(biāo)函數(shù)是：

minf2(x)=1-

0.992

(10)

1.3 約束條件

(1)齒輪模數(shù)應(yīng)大于零且限制模數(shù)大于2 mm[7]，得約束條件為：

g1(X)=2-m≤0

(11)

(2)根據(jù)齒寬與模數(shù)之間的關(guān)系,得約束條件為：

g2(X)=b-17m≤0

(12)

g3=5m-b≤0

(13)

(3)針齒分布的約束條件為：

(14)

(15)

(4)擺線齒輪嚙合齒面接觸強(qiáng)度的約束條件為：

根據(jù)赫茲公式，齒面接觸應(yīng)力為：

(16)

式(16)中：MV為輸出軸的阻力矩；Y1max為最大接觸應(yīng)力處的位置系數(shù)；[σj]為許用接觸應(yīng)力(MPa).故約束條件為：

(0.418)2-[σj]2≤0

(17)

(5)針齒的彎曲強(qiáng)度約束條件為：

當(dāng)支撐寬度較小時(shí)，針齒中心圓直徑Dzlt;390 mm時(shí)，通常采用二支點(diǎn)針齒[8]；當(dāng)Dz≥390 mm時(shí)，采用三支點(diǎn)針齒.對(duì)于，二支點(diǎn)針齒來(lái)說(shuō)，針齒的彎曲應(yīng)力為：

(18)

式(18)中：[σFP]為針齒許用彎曲應(yīng)力；MWmax為針齒上的最大彎矩.又有：

(19)

L1=0.5B+δ′+0.5Δ

(20)

L2=1.5B+δ′+δ+0.5Δ

(21)

L=2B+δ′+δ+Δ

(22)

(23)

g7=4.316×103·MV·(0.5B+δ+0.5Δ)·

[σFP]≤0

(24)

(6)短幅系數(shù)K1取值的約束條件為：

由短幅外擺線齒廓的形成可知，當(dāng)0≤K1≤1時(shí)，都可能形成短幅外擺線[9]，即從理論上說(shuō)，K1可在0到1的范圍任選之.但實(shí)踐與分析表明：K1=0.5～0.8為其最佳范圍，即：

g8(X)=0.5-K1≤0

(25)

g9(X)=K1-0.8≤0

(26)

(7)擺線輪的厚度約束條件為：

擺線輪的厚度一般B=(0.05～0.1)Dz，即:

g10(X)=0.05Dz-B≤0

(27)

g11(X)=B-0.1Dz≤0

(28)

(8)針齒中心圓直徑的約束條件為：

針齒中心圓直徑的范圍如表1所示[10]：

表1 各個(gè)型號(hào)對(duì)應(yīng)的針齒中心圓直徑范圍

假設(shè)針齒中心圓直徑的范圍為[d1,d2],因此，可建立約束方程為：

g12=Dz-d1≤0

(29)

g13=d2-Dz≤0

(30)

(9)齒輪不根切的約束條件為[11]：

g14=17-Za1≤0

(31)

(10)擺線輪齒廓不根切的約束條件為：

為了避免擺線輪齒廓發(fā)生尖角和根切[12]，針齒套的半徑rz與針齒中心圓半徑Dz的比值應(yīng)當(dāng)小于理論齒廓最小曲率半徑系數(shù)amin.

(32)

(33)

由式(32)、(33)得：

(34)

綜上所述，RV減速器的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型可表示為

X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8)T=

minF(X)=[f1(x),f2(x)]

s.t.gi(x)≤0 (i=1,2,…,15)

可以看到，建立的數(shù)學(xué)模型,是有約束非線性多目標(biāo)問(wèn)題.目前,求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題主要有兩類方法.一是先求出目標(biāo)解,再進(jìn)行選擇出需要的解;二是對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行數(shù)學(xué)變換.用單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題替代多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[13],使多個(gè)不同的目標(biāo)構(gòu)造綜合統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù),然后用最優(yōu)化中合適的算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解.采用線性加權(quán)和法，目標(biāo)函數(shù)表示為：

F(x)=λ1f1(x)+λ2f2(x)

尋找加權(quán)系數(shù)λi的合理值對(duì)于整個(gè)優(yōu)化問(wèn)題很關(guān)鍵.因?yàn)槟芊从巢煌膯文繕?biāo)對(duì)于多目標(biāo)的重要程度.加權(quán)系數(shù)的選取需要根據(jù)具體情況具體分析.體積優(yōu)化與效率優(yōu)化對(duì)于RV減速器來(lái)說(shuō)一樣重要,故權(quán)系數(shù)為各單目標(biāo)最優(yōu)化值的倒數(shù),即：

使用評(píng)價(jià)函數(shù)法不會(huì)因?yàn)閱文繕?biāo)函數(shù)的函數(shù)值大小而受到影響,對(duì)于各單目標(biāo)函數(shù)的值相對(duì)各自最優(yōu)值偏離的大小也可以很好地反映出來(lái).但是對(duì)于有些評(píng)價(jià)指標(biāo)的重要影響無(wú)法體現(xiàn)，容易使得評(píng)價(jià)結(jié)果失真.

2 基于遺傳算法的RV減速器Matlab程序優(yōu)化設(shè)計(jì)與結(jié)果

由于遺傳優(yōu)化并行性很好，能在解空間的多個(gè)區(qū)域同時(shí)搜索信息，大幅度減小算法陷入局部解的可能性.所以采用Matlab遺傳算法對(duì)RV減速器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[14].

編寫以體積最小和效率最高為多目標(biāo)函數(shù)的M文件，以及線性約束條件矩陣與非線性約束條件文件[15].先分別求得各單目標(biāo)函數(shù)下的最小值，將其作為加權(quán)系數(shù).通過(guò)調(diào)用Mtalab遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到收斂結(jié)果.最后得到的優(yōu)化結(jié)果如表2所示.

表2 RV減速器優(yōu)化結(jié)果

從表2數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)化后的體積明顯降低，降低了27.9%.變小體積， RV減速器的結(jié)構(gòu)更緊湊更精巧，減少花費(fèi)，節(jié)約了材料，提升了經(jīng)濟(jì)利潤(rùn).傳動(dòng)效率也提升了3% ，減速器的效率變得更高了.圖2所示為每一代適應(yīng)度函數(shù)的最優(yōu)值和平均值.

圖2 每一代適應(yīng)度函數(shù)的最優(yōu)值和平均值

因此，應(yīng)用遺傳算法對(duì)RV減速器優(yōu)化[16]，達(dá)到了先前要求，取得了滿意的優(yōu)化解，在RV減速器生產(chǎn)實(shí)踐中具有很大的借鑒意義，同時(shí)還可以提高經(jīng)濟(jì)效益.

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)RV減速器進(jìn)行了分析，應(yīng)用最優(yōu)化理論，把減速器體積與效率作為目標(biāo)函數(shù)，利用線性加權(quán)和法把多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，把擺線輪齒廓不根切等作為約束條件，建立數(shù)學(xué)模型，利用 Matlab的遺傳算法，對(duì)目標(biāo)函數(shù)M文件進(jìn)行優(yōu)化求解，最后得到滿足要求的最優(yōu)解.通過(guò)計(jì)算，優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)更理想，相對(duì)于比常規(guī)設(shè)計(jì)更好，滿足工程設(shè)計(jì)要求，在實(shí)際應(yīng)用中是可以運(yùn)用此優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的.體積得到了減小，效率得到了提高，最終優(yōu)化使為以后RV減速器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)，具有實(shí)際的工程意義.

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【責(zé)任編輯：蔣亞儒】

Multi-objectiveoptimizationdesignoftheRVreducer

ZHANG Jing-yu， CAO Ju-jiang

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Shaanxi University of Science amp; Technology, Xi′an 710021, China)

Aiming at the structure of RV reducer,the problem of low transmission efficiency is solved by optimizing the optimization theory and the optimization of MATLAB genetic algorithm.Consider volume and efficiency as two target functions,and the weighted method of multiple targets becomes a unified target function,and then different constraints are established.Finally calculated using genetic algorithm to optimize optimization solution,to optimize design parameters is reasonable,the gear reducer is small in size,material saving,low cost,high efficiency advantages.The optimization design of RV reducer was developed by the final optimization data.

RV reducer； genetic algorithm； optimization design

2017-07-16

陜西省科技廳數(shù)控一代機(jī)械產(chǎn)品創(chuàng)新應(yīng)用示范工程項(xiàng)目(2013BAF04B00)

張景鈺(1990-)，男，陜西咸陽(yáng)人，在讀碩士研究生，研究方向：RV減速器理論及應(yīng)用技術(shù)

2096-398X(2017)06-0145-04

TH132.46

A