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    R0-代數(shù)的導(dǎo)子

    2017-11-28 09:50:26花秀娟
    中成藥 2017年11期
    關(guān)鍵詞:保序濾子導(dǎo)子

    花秀娟

    西安理工大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710054

    R0-代數(shù)的導(dǎo)子

    花秀娟

    西安理工大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710054

    引入了代數(shù)R0-的導(dǎo)子并研究了R0-代數(shù)上導(dǎo)子的相關(guān)問題。利用導(dǎo)子的保序性、收縮性、不動點集和R0-代數(shù)的濾子,獲得了一個濾子成為好的理想導(dǎo)子濾子的充要條件,移植了不動點集在其他代數(shù)結(jié)構(gòu)上的一些重要結(jié)果。

    R0-代數(shù);導(dǎo)子;不動點集;濾子

    1 引言

    為了給模糊邏輯提供更堅實的邏輯基礎(chǔ),文獻(xiàn)[1]中提出了一種形式的演繹系統(tǒng)L*,并以此為背景抽象出R0-語義 Lindenbau代數(shù)的基本性質(zhì)。在文獻(xiàn)[2]中,王國俊教授提出了R0-代數(shù),它可以為模糊命題形式演繹系統(tǒng)提供一種完備性解釋[3]。

    導(dǎo)子的理論來源于分析學(xué),將它引入到代數(shù)系統(tǒng)中有助于研究代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。許多學(xué)者在不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)上研究了導(dǎo)子的性質(zhì)[4-14]。Xin等在文獻(xiàn)[6]中給出了模格、分配格和具有最大元的格上的導(dǎo)子成為保序?qū)ё拥牡葍r條件,并利用保序?qū)ё涌坍嬃四8?、分配格的特征。齊霄霏等文獻(xiàn)[8]中從幾個不同的角度給出了三角環(huán)上可加左導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。此外,也得到了滿足一定條件的環(huán)上可加左導(dǎo)子的兩個不同刻畫。文獻(xiàn)[8]中,利用?-導(dǎo)子研究了BL-代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。重點討論了BL-代數(shù)的強(qiáng)?-導(dǎo)子的性質(zhì),研究了格上的∧-導(dǎo)子和BL-代數(shù)?-導(dǎo)子的關(guān)系,并借助保序?qū)ё涌坍嬃薆L-代數(shù)的特征。

    本文給出了R0-代數(shù)導(dǎo)子的概念,并研究了它的一些基本性質(zhì)。 而且借助理想導(dǎo)子刻畫了R0-代數(shù)的特征。

    2 預(yù)備知識

    定義2.1[1]設(shè)(M ,∨,∧,0,1)是有界分配格,':M→M是逆序?qū)蠈?yīng),→:M→M是二元運算。M稱為R0-代數(shù),若以下條件成立:

    (M1)x′→ y′=y′→ x′;

    (M2)1→x=x,x→x=1;

    (M3)y→z≤(x→y)→(x→z);

    (M4)x→(y→z)=y→(x→z);

    (M5)x→(y∨z)=(x→y)∨(x→z),

    x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z);

    (M6)(x→y)∨((x→y)→x′∨y)=1。

    在R0-代數(shù)M 中,對任意x,y∈M ,定義x?y=(x→y′)′,x⊕y=x′→y 。稱 B(M)={x ∈M,x?x=x}為 M 的布爾中心。 在以下,對任意 n>1,令 xn=

    定義2.2[4]設(shè)M 是R0-代數(shù),F(xiàn)?M。若x,y∈M,有

    (F1)1∈F

    (F2)x∈F,x→y∈F?y∈F

    則稱F為M上的一個濾子。濾子的全體記為F(M)。

    設(shè) A∈M ,由 A生成的濾子(A]=?F∈F(M),A?M。

    若A有限,則稱(A]是有限生成的濾子。

    定 理 2.3[4](A]={x|?a1,a2,…,an∈A,v.t.a1→(…(an→x)…)=1,n∈N}

    引理2.4[2]設(shè) M 是R0-代數(shù),則以下結(jié)論成立:?x,y,z∈M

    (1)x≤y?x→y=1

    (2)x≤y→x

    (3) x′=x→0

    (4)(x→y)∨(y→x)=1

    (5)若 x≤y,則 x→z≥y→z

    (6)若 x≤y,則 z→x≤z→y

    (7)((x→y)→y)→y=x→y

    (8)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x)

    (9)x?x′=0,x⊕x′=1

    (10)x?y≤x∧y,x?(x→y)≤x∧y

    (11)(x?y)→z=x→(y→z)

    (12)x≤y→(x?y)

    (13)x?y≤z?x≤y→z

    (14)若 x≤y,則 x?z≤y?z

    (15)x→y≤(y→z)→(x→z)

    (16)(x→y)?(y→z)≤x→z

    引理2.5設(shè)M是R0-代數(shù),則以下結(jié)論成立:?x,y,z∈M

    (1)x?(y∧z)=(x?y)∧(x?z)

    (2)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z)

    證明(1)由上面的定義可知

    x?(y∧z)=[x→(y∧z)′]′又由(M5)和格的性質(zhì)得:

    (2)同理可證。

    引理2.6設(shè) M 是 R0-代數(shù),對任意的 x∈M ,a∈B(M),有 x?a=x∧a。

    證明 由引理2.3(1)和a∈B(M)可知,a?(a∧x)=(a?a)∧(a?x)=a∧(a??x),因此結(jié)論成立。

    3 R0-代數(shù)的導(dǎo)子

    定義3.1設(shè)M是一個R0-代數(shù),若d滿足:?x,y∈M ,d(x?y)=(d(x)?y)∨(x?d(y)),則稱 d 是 M 的導(dǎo)子。簡記d(x)=dx。

    注 導(dǎo)子概念源于分析理論,它是對R0-代數(shù)中的元素定義的一個映射。在R0-代數(shù)中引入它,主要是為了研究R0-代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。

    例3.2設(shè) M 是R0-代數(shù),對任意 x∈M ,定義一個映射d:M→M 為d(x)=0,則d是M上的導(dǎo)子,稱為零導(dǎo)子。更進(jìn)一步,對任意 x∈M,定義一個映射d:M→M為d(x)=x,則d是M上的導(dǎo)子,稱為單位導(dǎo)子。

    命題3.4設(shè)M是R0-代數(shù)且d是M上的導(dǎo)子,則下列結(jié)論成立:?x,y∈M

    (1) d0=0

    (2) dx?x′=0,dx′?x=0

    (3) dx≥x?d1

    (4) d(xn)=xn-1?dx

    證明 (1)d0=d(0?0)=(d0?0)∨(0?d0)=0?d0=(0 → (d0)′)′=(d0 → 1)′=0 。

    (2)0=d0=d(x?x′)=(x?dx′)∨(x′?dx),則 x?dx′=0,x′?dx=0 。

    (3)因為 dx=d(x?1)=(dx?1)∨(d1?x)=dx∨(d1?x),所以dx≥x?d1。

    (4)dx2=d(x?x)=dx?x,dx3=d(x2?x)=(dx2?x)?(x2?dx)=dx?x2,依 次 類 推 ,d(xn)=xn-1? dx成立。

    定義3.5設(shè)M是R0-代數(shù)且d是M上的導(dǎo)子。

    (1)若對任意 x,y∈M ,當(dāng) x≤y時,有dx≤dy,則稱是d保序?qū)ё印?/p>

    (2)若對任意x∈M,有dx≤x,則稱d是收縮導(dǎo)子。

    特別的,若d是保序的和收縮的,稱其為理想導(dǎo)子。

    命題3.6設(shè)M是R0-代數(shù)且d是M上的保序?qū)ё樱瑒t下列結(jié)論成立:?x,y,z∈M

    (1)若 x≤y→z,y≤dx→dz且 x≤dy→dz。

    (2)x→y≤dx→dy,d(x→y)≤x→dy。

    證明(1)對 ?x,y,z∈M ,若 x≤y→z,則由引理2.4(13)知 x?y≤z,因為d是保序?qū)ё樱瑒td(x?y)≤dz,即 (dx?y)∨(x?dy)≤dz,故有 dx?y≤dz且x?dy≤dz,從而有 y≤dx→dz且x≤dy→dz。

    (2)對?x,y∈M ,由引理2.4(10)知 x?(x→y)≤y,則 d(x?(x→y))≤dy ,即 (dx?(x→y))∨(x?d(x→y))≤dy。這意味著dx?(x→y)≤dy且x?d(x→y)≤dy。因而有 x→y≤dx→dy且d(x→y)≤x→dy。

    命題3.7設(shè)M是R0-代數(shù)且d是M上的收縮導(dǎo)子,則下列結(jié)論成立:?x,y∈M

    (1)dx?dy≤d(x?y)≤dx∨dy。

    (2)若d是保的,d(x→y)≤dx→dy≤dx→y。

    (3)(dx)n≤d(xn)。

    (4)若d1=1,則d是單位導(dǎo)子。

    證明(1)因為d是收縮導(dǎo)子,所以對任意x,y∈M,有 dx≤x。又由引理2.4(14)有,dx?dy≤x?dy且dx?dy≤dx?y,因而有 dx?dy≤(x?dy)∨(dx?y)=d(x?y)。另一方面,dx?y≤dx且 x?dy≤dy,從而有 d(x?y)≤(dx?y)∨(x?dy)≤dx∨dy。故有dx?dy≤d(x?y)≤dx∨dy。

    (2)由引理2.4(10),對任意 x,y∈M ,x?(x→y)≤y,可得 d(x?(x→y))≤dy。由(1)知,dx?d(x→y))≤d(x?(x→y)),從而有dx?d(x→y)≤dy,即 d(x→y)≤dx→dy 。另一方面,由引理 2.4(6)當(dāng)x≤y時,dx→dy≤dx→y。從而有 d(x→y)≤dx→dy≤dx→y。

    (3)由(1)知 dx?dx≤d(x?x),故 dx?dx?dx≤d(x?x)?dx≤d(x?x?x)。依此類推,(dx)n≤d(xn)。

    (4)由命題3.4(3)知 dx≥x?d1,假設(shè) d1=1,可得x=x?1≤dx≤x。故對任意x∈M ,dx=x。即d是單位導(dǎo)子。

    定理3.8設(shè)M是R0-代數(shù)且d是M上的導(dǎo)子,則下面是等價的:

    (1)設(shè)d是 M 的理想導(dǎo)子且d2=d,其中對任意x∈M ,d2(x)=d(dx)。

    (2)對任意 x,y∈M ,d滿足dx→dy=dx→y。

    證明 (1)?(2)假設(shè)d是M 的理想導(dǎo)子且d2=d。對任意 y∈M ,由dy≤y得dx→dy≤dx→y。 另一方面,令t≤dx→y,其中t∈M ,則dx?t≤y。因為d是保序的,所以 d(dx?t)≤dy。由 d(x?y)≤(dx?y)∨(x?dy),可得d(x?y)≤dx?y。從而d(dx?t)≥d(dx)?t,又 d2=d ,所以 dx?t≥d(dx?t)≤dy。故t≤dx→dy,這意味著dx→y≤dx→dy。因而對任意 x,y∈M ,dx→dy=dx→dy。

    (2)?(1)假設(shè)對任意 x,y∈M ,dx→dy=dx→y。首先,因為dx?1≤dx,所以1≤dx→dx=dx→x,則dx?1≤dx,即dx≤x。因而d是收縮導(dǎo)子。更進(jìn)一步,對任意 x,y∈M ,設(shè) x≤y,有dx?1=dx≤x≤y,得到1≤dx→y=dx→dy,這意味著 dx?1≤dy,即dx≤dy。因而d是保序。 故d是M的理想導(dǎo)子。最后,因為dx?1≤dx,所以1≤dx→dx=dx→d(dx)。則 dx?1≤d(dx),得出 dx≤d(dx),結(jié)合 d(dx)≤dx,有d(dx)=dx,即d2=d。

    定理3.9設(shè)M是R0-代數(shù)且d是M上的收縮導(dǎo)子,若d1∈B(M),則下面結(jié)論是等價的:

    (1)d是理想導(dǎo)子;

    (2)dx≤d1;

    (3)dx=d1?x;

    (4)d(x∧y)=dx∧dy;

    (5)d(x∨y)=dx∨dy;

    (6)d(x?y)=dx?dy。

    證明 (1)?(2)因為對任意 x∈M ,x≤1,且d是單調(diào)的,故有dx≤d1。

    (2)?(3)假設(shè)對任意x∈M ,有dx≤d1。因為d1∈B(M),所以 dx=d1∧dx=d1?dx≤d1?x ,另一方面,由命題 3.4(3)可知 dx≥x?d1,因而有 dx=d1?x。

    (3)?(4)假設(shè)對任意x∈M ,dx=d1?x。即d(x∧y)=d1?(x∧y)=d1∧(x∧y)=(d1∧x)∧(d1∧y)=(d1?x)∧(d1?y)=dx∧dy。

    (4)?(1)假設(shè) x≤y,則 x∧y=x。由(4)可知 dx=d(x∧y)=dx∧dy,即dx≤dy。所以d是理想導(dǎo)子。

    (3)?(5)由引理 2.4(2)和(3)可知 d(x∨y)=d1?(x∨y)=(d1?x)∨(dx?y)=x∨y。

    (5)?(1)假設(shè) x≤y,則 x∨y=y。由(5)可知 dy=d(x∨y)=dx∨dy,即dx≤dy。 所以d是理想導(dǎo)子。

    (3)?(6)由(3)可知 d(x?y)=d1?(x?y)=(d1?x)?(d1?y)=dx?dy。

    (6)?(2)dx=d(x?1)=dx?d1=dx∧d1,即dx≤d1。

    命題3.10設(shè)M 是R0-代數(shù)且d,d1,d2是M上的理想導(dǎo)子,則有

    (1)對?x,y∈Fixd(M),x?y,x∨y∈Fixd(M)。

    (2)若d1∈B(M),則d1=d2當(dāng)且僅當(dāng)

    Fixd1(M)=Fixd2(M)

    證明(1)對任意x,y∈Fixd(M),有dx=x且dy=y。由命題3.7(1)可得 x?y=dx?dy≤d(x?y)≤x?y,這意味著 x?y∈Fixd(M)。另一方面,d是 M 上的理想導(dǎo)子,所以 x∨y=dx∨dy≤d(x∨y)≤x∨y,由此可得d(x∨y)=x∨y,即 x∨y∈Fixd(M)。

    (2)設(shè) d1=d2,很顯然 Fixd1(M)=Fixd2(M)。反之,假設(shè) Fixd1(M)=Fixd2(M),因為 d11∈B(M),所以由定理3.9(3)可知對任意 x∈M ,d1x=d11?x,進(jìn)而d1(d1x)=d11?d1x=d11?(d11?x)=d11?x=d1x,即 d1(d1x)=d1x,故 d1x∈Fixd1(M)=Fixd2(M),因而d2(d1x)=d1x。同理可得d1(d2x)=d2x。另一方面,d1,d2是M 上的理想導(dǎo)子,有d1(d2x)≤d1x=d2(d1x)。即d1(d2x)≤d2(d1x)。用同樣的方式可得d2(d1x)≤d1(d2x)。故d1(d2x)=d2(d1x),從而d2x=d1(d2x)=d2(d1x)=d1x。

    定義3.11設(shè)M是R0-代數(shù),d是M上的一個理想導(dǎo)子且F是M 的濾子,對任意 x∈M ,若 x∈F推出dx∈F,則稱F是M的理想導(dǎo)子濾子。

    命題3.12設(shè)M是R0-代數(shù),d是M上的理想導(dǎo)子。 若F是M的濾子,則F是M的理想導(dǎo)子濾子的充要條件是F=(F?Fixd(M)]。

    證明 設(shè)F是M的理想導(dǎo)子濾子。設(shè)x∈F,則dx∈F 。又由定理 3.8(1)可知 dx∈Fixd(M),得到dx∈(F?Fixd(M)]。由dx≤x可得x∈(F? Fixd(M)]。從而F?(F?Fixd(M)]。另一方面,設(shè)x∈(F?Fixd(M)],則存在 y∈(F?Fixd(M)]使得 x≥y。因此有 x≥dx≥dy=y,故 x∈F。所以F=(F?Fixd(M)]。

    反之,假設(shè)F=(F?Fixd(M)]。設(shè)x∈F,x→dx∈F,由定理2.3可知存在 a1,a2,…,am∈F?Fixd(M),b1,b2,…,bn∈F?Fixd(M)使得 a1→(…(am→x)…)=1,b1→(…(bn→(x→dx))…)=1 ,由定義 3.1(M4)得 x→(b1→(…(bn→dx))…)=1 ,即 x≤b1→(… (bn→ dx)…)。所以 1=a1→(… (am→x)…)≤ a1→(… (am→ (b1→(…(bn→dx))…))…),因 此 a1→(… (am→(b1→(…(bn→dx))…))…)=1,即 dx∈F 。

    4 結(jié)束語

    本文將導(dǎo)子理論應(yīng)用到R0-代數(shù)上,引入R0-的導(dǎo)子的概念并給出例子。利用導(dǎo)子的保序性、收縮性、不動點集和R0-代數(shù)的濾子,獲得了一個濾子成為好的理想導(dǎo)子濾子的充要條件,移植了不動點集在其他代數(shù)結(jié)構(gòu)上的一些重要結(jié)果。由于導(dǎo)子理論可以更好地研究代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),因而還可以進(jìn)一步研究基本代數(shù)的導(dǎo)子。

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    HUA Xiujuan

    Department of Mathematics,Xi’an University of Technology,Xi’an 710054,China

    On derivations of R0-algebra.Computer Engineering and Applications,2017,53(21):54-57.

    In the paper,the derivation ofR0-algebra is introduced and investigated.By using the isotone property,contractive property,fixed point sets and filters ofR0-algebra,the necessary and sufficient condition of a filter to be a good ideal derivation filter is obtained.Some important results of fixed point sets on other algebra structure is popularized.

    R0-algebra;derivations;fixed point sets;filters

    A

    O141.1

    10.3778/j.issn.1002-8331.1606-0343

    陜西省西安理工大學(xué)科學(xué)研究計劃項目(No.2015CX009)。

    花秀娟(1981—),女,博士,講師,研究領(lǐng)域為模糊代數(shù),不確定性理論,E-mail:huaxiujuan1028@163.com。

    2016-06-24

    2016-08-30

    1002-8331(2017)21-0054-04

    CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-12-21,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20161221.0842.022.html

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