不定積分的計算方法教學(xué)探析

黃國建

摘 要：不定積分方法的教學(xué)是高數(shù)的一個重點與難點，在教學(xué)中，若能基于數(shù)學(xué)思想方法的視角，順著積分方法產(chǎn)生的邏輯去組織教學(xué)，往往會事半功倍，使學(xué)生掌握得更好。從數(shù)學(xué)思想與方法的角度，組織不定積分教學(xué)，解釋這些積分方法產(chǎn)生的原因，可以讓學(xué)生不僅知其然，還知其所以然。

關(guān)鍵詞：不定積分；計算方法；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）34-0021-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.34.009

不定積分方法的教學(xué)是高數(shù)的一個重點與難點，一般教科書上是先講第一換元法，也稱湊微分；然后講第二換元法，包括三角代換和根式代換，最后再講分部積分。這種方式只是按部就班陳述各種積分的方法，卻忽視了這些方法產(chǎn)生的背景，學(xué)生只知其然卻不知其所以然。事實上，這些方法背后是有很強(qiáng)的邏輯關(guān)系的，揭示了很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想與方法，在教學(xué)中，若能基于數(shù)學(xué)思想方法的視角，順著積分方法產(chǎn)生的邏輯去組織教學(xué)，往往會事半功倍，學(xué)生掌握得更好。

一、逆向思維推導(dǎo)出的基本積分公式，是不定積分計算的基石

定義：設(shè)F（x）是函數(shù)f （x）的一個原函數(shù)，則f （x）的全體原函數(shù)稱為f （x）的不定積分，記作 f （x）dx，即

f （x）dx=F（x）+C。

從原函數(shù)與不定積分的定義可以看出，積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的，從常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以得到相應(yīng)的積分公式，一般教材中都有。這些公式是進(jìn)行積分運(yùn)算的基礎(chǔ)，必須熟記.不僅要記住右端結(jié)果，還要熟悉左端被積函數(shù)的形式。我們所能計算的不定積分，無一例外都要化簡到以上基本積分公式才能做出來。

例1 求 dx.

解 將被積函數(shù)拆項為部分分式之和，就可利用基本公式來解 dx= dx= dx- dx=- -arctan x+C.

二、應(yīng)用基本積分公式作整體換元，就是湊微分

在不定積分的計算過程中，并非所有不定積分經(jīng)化簡后都可以直接套用基本積分公式，例如計算不定積分 sin10xdx，想用 sin xdx=-cosx+c這個公式必須要保證等號左邊兩個x是一樣的。

故我們嘗試把原積分變形后計算：

sin10xdx= sin10xd（10x）

令u=10x sinudu=- cosu+C u回代 - cos10x+C

這種先“湊”微分，再作變量代換的方法，叫第一類換元積分法，也稱湊微分法。實際操作時，對湊微分法有三句話的要求：1.被積函數(shù)的外函數(shù)很容易積分，一般都是基本積分公式中的；2.在微分算子后嘗試湊成被積函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的微分；3.湊好的微分一定要去計算，計算后和原來的表達(dá)式至多相差一個常數(shù)。

例2 計算 dx

解： dx=- 1-x d1-x =- 21-x +c= +c

三、當(dāng)被積函數(shù)中的根式無法化簡到基本積分公式來處理時，就產(chǎn)生了根式代換

在基本積分公式中，有根式的只有兩個，要么把根式當(dāng)作冪函數(shù)來積分，例如 dx；要么把根式當(dāng)作 dx來湊微分，例如 dx。如果遇到的題目中的根式都沒法化簡到這兩種情況，那意味著根式保留在被積函數(shù)中就沒法積分了。那只有想辦法去掉根式，這就是第二換元法的基本思路。

例3 dx.

解：題中對根式化到基本積分公式中無法解決。為了消去根式，可令 =t，則x=t2+1，dx=2tdt，于是

dx= dt=2 dt=2 1- dt

=2（t-arctant）+C=2（ -arctan ）+C

四、根式下有平方項時，根式代換往往不能去掉根式，產(chǎn)生了三角代換

當(dāng)被積函數(shù)含有被開方因式為二次多項式時，如果也做根式代換，會達(dá)不到去掉根式的目的，因為求出反函數(shù)時仍含有二次根式。例如令t= ，解出x=± ，代入后被積表達(dá)式中顯然還有根式，沒有達(dá)到通過換元去掉根式的目的?？梢越Y(jié)合三角函數(shù)公式，通過適當(dāng)換元將二次根式內(nèi)化作某個表達(dá)式的平方，就可以去掉根式了。

例4 求 dx（a>0）

解：為了消除被積函數(shù)中的根式，可令x=a sin t（-

= （1+cos 2t）dt= （t+ sin 2t）+C= （t+sin t cos t）+C

如圖，可利用t是銳角時作輔助直角三角形，有t=arcsin

，cos x= ，

因此 dx回代 （arcsin + ）+C.

本文基于數(shù)學(xué)思想方法的角度，解釋了不定積分各種方法產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生知道為什么會用這些方法。這樣的教學(xué)組織形式，會比傳統(tǒng)教科書按部就班講述各種方法更易于接受也更好操作。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉光，劉榮.不定積分教學(xué)方法探析[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報（社會科學(xué)版），2005（1）：121-122.

[2] 王怡.不定積分計算方法及教法探討[J].資治文摘（管理版），2010（5）：85.

[ 責(zé)任編輯 胡雅君]