嘗試自主解題，找尋“靈光一閃”

曹春燕

高考中有一句話，“得數(shù)學(xué)者得天下”，數(shù)學(xué)的重要性是毋庸置疑的。而在高中數(shù)學(xué)考試中經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象，分高的會(huì)特別高，分低的又會(huì)特別低，筆者認(rèn)為造成這種現(xiàn)象的原因如下：一方面數(shù)學(xué)題答案唯一，方法也是固定的幾種，所以常出現(xiàn)特高分，另一方面數(shù)學(xué)題變化靈活，邏輯思維強(qiáng)，又常出現(xiàn)特低分。為了讓學(xué)生都能學(xué)會(huì)自主解題，找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在，筆者依據(jù)數(shù)學(xué)的特性，做了如下分析。

一、學(xué)會(huì)對(duì)比，融會(huì)貫通

很多人覺得數(shù)學(xué)難，難在很多難題太過復(fù)雜，綜合性強(qiáng)，其實(shí)在筆者看來，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難的根本原因在于基礎(chǔ)知識(shí)掌握的不夠透徹，數(shù)學(xué)不同于其他科目，基礎(chǔ)知識(shí)光熟記是不夠的，必須透徹明了其內(nèi)涵，知道其理論來源，知道其用途去向，如此才能在做題時(shí)有效管理知識(shí)儲(chǔ)備，理清解題思路。筆者在多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，通過對(duì)各個(gè)知識(shí)體系及新舊知識(shí)的對(duì)比，能夠有效幫助學(xué)生將基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通。

比如，在教蘇教版高中數(shù)學(xué)《對(duì)數(shù)函數(shù)》一課時(shí)，為了讓學(xué)生更好的理解對(duì)數(shù)函數(shù)的意義，我引用了前面學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，事實(shí)上，教材將這兩章放在前后承接的位置是有其目的的，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，關(guān)聯(lián)密切。由于這兩章內(nèi)容在做題時(shí)數(shù)形結(jié)合法是非常常用的方法，以下就簡(jiǎn)要介紹如何用對(duì)比法教授學(xué)生畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，我們知道，指數(shù)函數(shù)y=ax必經(jīng)過（0，1）點(diǎn)，則作為反函數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax必經(jīng)過（1，0）點(diǎn)。當(dāng)a>1時(shí)，y=ax是增函數(shù)，且x→-∞時(shí)，y→0，x→+∞時(shí)，y→+∞，于是作為反函數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax，則是當(dāng)a>1時(shí)，y=logax也是增函數(shù)，且x→0時(shí)，y→-∞，x→+∞時(shí)，y→+∞，再根據(jù)函數(shù)y=ax的圖像特點(diǎn)，不難畫出a>1時(shí)y=logax的函數(shù)圖像，至于畫出0

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)講究基礎(chǔ)知識(shí)需了解的透徹而全面，不能有盲點(diǎn)，通過對(duì)比法能將孤立的知識(shí)有效聯(lián)系起來，形成整體，使學(xué)生解題時(shí)能夠快速?gòu)哪X海中取用所需知識(shí)。

二、逆向思維，別出心裁

高中數(shù)學(xué)中，解答題和證明題占有極大比例，且也往往是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，這類題結(jié)構(gòu)復(fù)雜，很難在短時(shí)間內(nèi)看清解題思路，更有難者，明明每個(gè)條件都表達(dá)的清楚明白，卻又很難互相關(guān)聯(lián)，得出正確答案。這種時(shí)候，數(shù)學(xué)中的一種方法往往能奏奇效，那便是逆向思維法，首先思考若想得到答案或證明結(jié)果，需要什么條件，而若想得出這個(gè)條件，又需要?jiǎng)e的什么條件，一步步逆推，直到出現(xiàn)題目中給出條件。

為了進(jìn)一步講解逆推法的使用方式，下面以一道題為例證進(jìn)行闡述，題目如下：若a>0，b>0，且2c>a+b，求證

。這道題粗一看要證明的結(jié)果頗為復(fù)雜，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的學(xué)生來說，要由所給條件得出證明結(jié)果實(shí)為不易，那么既然要證明的結(jié)果比較復(fù)雜，我們能不能讓它變得看起來簡(jiǎn)單一些呢？通過觀察可知，要證明 ，只需證 ，既證 ，既證（a-c）2 a（a+b），因?yàn)閍>0，又可簡(jiǎn)化為2c>a+b，恰是給出的條件，很多同學(xué)求出這一步便已結(jié)尾，其實(shí)到這一步為止，證明還沒有終止，因?yàn)槲覀儾⒉恢獣詂2-ab≥0是否成立，若不成立，便不能將其開根，由上面的證明知2c>a+b，于是 ，所以c2>ab，所以c2-ab≥0成立，到此，證明完畢。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)中還很多優(yōu)秀的方法能夠幫助學(xué)生找出解題思路，像反證法、數(shù)形結(jié)合法便是解數(shù)學(xué)題慣用的有效方法，本文謹(jǐn)以逆向思維法為例證進(jìn)行講解，望讀者能夠舉一反三，廣開思路。

三、不時(shí)歸納，形成習(xí)慣

在數(shù)學(xué)界有一種方法一直飽受爭(zhēng)議，那便是“題海戰(zhàn)術(shù)”，有人用此法后成績(jī)突飛猛進(jìn)，事倍功也倍，有人用此法后辛苦異常卻是不見成績(jī)提升，事倍功半。有人說這是因人而異，有的方法就是適合一部分人，卻不適合另一部分人，但筆者認(rèn)為，其主要緣由在于有的人做題后善于歸納，能從題海中有所收獲，有的人卻沉迷于做題時(shí)所帶來的用功的“快感”中，做題而不總結(jié)，雖努力卻收效甚微，成績(jī)自然難以提升。

比如，我在教高中數(shù)學(xué)時(shí)，常鼓勵(lì)學(xué)生做題時(shí)將那些會(huì)給自己帶來啟發(fā)的題記到一個(gè)本子上，做題之余將本子上的題多次復(fù)習(xí)，做到爛熟于心，這樣一來，學(xué)生做題就不會(huì)只是為了做題，而會(huì)有意的去尋找“有意義”的、能夠提升自己解題技巧的題，日積月累下來，學(xué)生見遍了各種解題技巧和新方法，做題時(shí)就能快速將幾種解題方法在腦海中進(jìn)行對(duì)比，找出最佳的解題思路，那么，怎樣的題才是有意義的題呢，筆者以一道題為例證闡述如下：

已知a、b、c∈R+，a+b+c=1，求證： 。

證明如下，因?yàn)閍+b+c=1，所以，

即可得出最終證明，事實(shí)上，這道題遠(yuǎn)算不上難，但其可貴之處便在于啟發(fā)性，我們作證明題時(shí)，證明結(jié)果的數(shù)字不一定就只能是數(shù)字，還可以轉(zhuǎn)化成其他等值的符號(hào)，同樣相反也是一樣的道理。

社會(huì)上有一種說法廣為流傳，“數(shù)學(xué)學(xué)不好源于腦子不好使”，這實(shí)是一種對(duì)數(shù)學(xué)的誤解，其實(shí)學(xué)好數(shù)學(xué)并不難，也不需要多么高的智慧，只要用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ佥o以辛勤的努力，每個(gè)學(xué)生都可以成為數(shù)學(xué)科目上的優(yōu)秀生。

（作者單位：江蘇省海門市證大中學(xué)）