由一道培訓題引出拋物線的一組優(yōu)美性質

福建漳州開發(fā)區(qū)廈門大學附屬實驗中學(363123) 林運來

由一道培訓題引出拋物線的一組優(yōu)美性質

福建漳州開發(fā)區(qū)廈門大學附屬實驗中學(363123) 林運來

題目 在直角坐標系xOy中,拋物線C的頂點是坐標原點O,準線方程:y=?1.

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點P(2,?1)向拋物線C作切線,切點分別為A,B,求直線AB的方程;

(3)過點P(t,?1)(t∈R)向拋物線C作切線,切點分別為A,B,求△PAB面積的最小值.

此題是第28屆“希望杯”高二年級的一道培訓題,筆者對其進行深入研究,推導得出拋物線的一組優(yōu)美性質,現(xiàn)介紹如下,供大家參考.

性質 在平面直角坐標系xOy中,拋物線C∶x2=2py(p＞0)的焦點為過點P(t,s)(t,s∈R,且t2＞2ps)向拋物線C作切線,切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)且直線PA,PB與x軸分別交于M,N兩點.則

(1)拋物線C在點A處的切線PA的方程為x1x=p(y+y1);

(2)直線AB的方程為tx?py?ps=0;

(3)點A,P,B的橫坐標成等差數(shù)列;

(4)三角形PAB的面積等于

(5)P,M,F,N四點共圓.

證明 (1)由x2=2py,得

求導得

所以拋物線C在點A處的切線斜率為所以曲線C在點A處的切線方程為

即

又因為=2py1,代入化簡得x1x=p(y+y1).

(2)由(1)得,直線PA,PB的方程分別為

又因為直線PA,PB都經(jīng)過點P(t,s),所以

這表明A,B兩點都在直線tx=p(s+y)上,所以直線AB的方程為tx?py?ps=0.

評注 由結論(2),不難得出如下的推論:當點P在拋物線C的準線上時,直線AB經(jīng)過點F.反之,若直線AB經(jīng)過拋物線C的焦點F,則點P在C的準線上.

(3)聯(lián)立

消去y,整理得

由韋達定理,得

由①中的前一式知A,P,B三點的橫坐標成等差數(shù)列.

(4)由上述①中的兩式,可得

又因為點P到直線AB的距離所以

(5)因為直線PA的方程為x1x=p(y+y1),則所以

所以

即MF⊥PM,同理可得NF⊥PN.所以P,M,F,N四點在以線段PF為直徑的圓上,即P,M,F,N四點共圓.