W.Janous不等式的變式

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 尹倩倩 馮 姍 黃 威

W.Janous不等式的變式

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 尹倩倩 馮 姍 黃 威

我們主要利用排序不等式、柯西不等式及線性變換等方法證明了W.Janous不等式的36個變式中的27個變式,另外9個變式存在反例.

W.Janous不等式 排序不等式 線性變換

一、猜想的提出

W.Janous猜想:設(shè)x,y,z＞0,則

該猜想最先發(fā)表在加拿大《數(shù)學(xué)難題》雜志1612期上,最后成為數(shù)學(xué)難題刊登在《數(shù)學(xué)通訊》1992年第4期上,從此引入國內(nèi),引起諸多數(shù)學(xué)愛好者興趣,現(xiàn)已有多種證明方法及推廣形式.我們從排序不等式證法中受到啟發(fā),由文[1]猜想:對分子為x2,y2,z2與xy,yz,zx的全排列所對應(yīng)的36個變式是否全部成立(其中x,y,z均為正數(shù)).下面依據(jù)x2,y2,z2的排列方式將36個變式分成六種情形討論,即:

1.情形一:

二、引理

(一)引理1[2](排序不等式)設(shè)有兩組實數(shù)a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn,滿足

則有

其中i1,...,in是1,...,n的任意排列,等號當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=···=an或b1=b2=···=bn時成立.

(二)引理2[3](柯 西 不 等 式)設(shè)a1,a2,...,an及b1,b2,...,bn為任意實數(shù),則不等式

成立,當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi(i=1,2,...,n)時等號成立.

三、猜想的證明

(一)由排序不等式知,若x≥y≥z,則

從而有(順序和≥亂序和≥倒序和),即

因此,在情形一中,只需要證明變式(4):

成立即可.

證明 由于x,y,z均為正數(shù),原不等式兩邊同時乘(x+y)(y+z)(z+x),原不等式等價于:

兩邊同除xyz,

事實上,由柯西不等式知

由 (?)式可知:

所以情形一中的全部變式可得證.同理,在情形二中,只需要證明變式(10):

成立即可.

證明 由對偶性知

故由已證得的變式(4):

命題可得證.

所以情形二中的全部變式可得證.同樣地,在情形三中,只需要證明變式(16):

成立即可.

證明 由W.Janous不等式

知

由上述已證的變式(10)知

故

所以情形三中的全部變式可得證.

綜上,由排序不等式、對偶性可以容易證得前三種情形的變式均成立.然而,觀察情形四、五、六中的不等式的結(jié)構(gòu)可知,它們無法由排序不等式統(tǒng)一證明,故我們需要另辟蹊徑.

(二)下面利用柯西不等式與均值不等式,證明變式(19):

證明 由于x,y,z均為正數(shù),根據(jù)柯西不等式可知,

即

又由均值不等式知

故

即

同理,可證得變式(25):

(三)下面利用換元法及函數(shù)法,證明變式(20):

證明①當(dāng)x≤y≤z時,令

其中a≥0,t≥1.要證

對該式去分母化簡,上式等價于

即

即

由于a≥0,t≥1,令

則

故

所以(a)式顯然成立.

②當(dāng)x≤z≤y時,令

其中a≥0,t≥1.要證

對該式去分母化簡,上式等價于

即

令

則

因為a≥0,t≥1 所以f′(t)=24a4t+30a3≥0,所以f′′(t)單調(diào)遞增,

所以f′(t)單調(diào)遞增,

所以f′(t)單調(diào)遞增,

所以f(t)單調(diào)遞增,

所以(b)式顯然成立.

③當(dāng)y≤z≤x時,令

其中a≥0,t≥1.要證

對該式去分母化簡,上式等價于

由于a≥0,t≥1,故(c)式顯然成立.

④當(dāng)y≤x≤z時,令

其中a≥0,t≥1.要證

去分母化簡,上式等價于

由于a≥0,t≥1故(d)式顯然成立.

⑤當(dāng)z≤x≤y時,令

其中a≥0,t≥1.要證

對該式去分母化簡,上式等價于

即

由于a≥0,t≥1故(e)式顯然成立.

⑥當(dāng)z≤y≤x時,令

其中a≥0,t≥1.要證

對該式去分母化簡,上式等價于

即

即

由于a≥0,t≥1故(f)式顯然成立.

綜上,對任意正數(shù)x,y,z,均有

成立.

將變式(20)中的x,y,z進(jìn)行輪換變換后,不等式仍成立,即,

令x→y→z→x,可得變式(28):

令x→z→y→x,可得變式(36):

用變式(20)的方法易證,變式(24):

同樣將變式(24)中的x,y,z進(jìn)行輪換變換;

令x→z→y→x,可得變式(26):

令x→y→z→x可得變式(34):

綜上,我們主要利用排序不等式、線性變換,加上柯西不等式、均值不等式、對偶法、換元法、函數(shù)法等方法證明了36個變式中的27個變式是成立的.而剩下9個變式是不成立的,通過變式(20)的證明方法及線性變換,都可以找到對應(yīng)的反例.

四、反例

反例1變式(23):

不成立.事實上,當(dāng)z≤y≤x時,不妨設(shè)x=1+at,y=1+a,z=1,其中a≥0,t≥1.只需證

化簡后等價于

則

則

容易驗證當(dāng)t≥1時,恒有f′(t)＜0.因此,當(dāng)t≥1時,f(t)單調(diào)遞減.而

易知當(dāng)a∈(0,2)時,f(2)＞0;當(dāng)a∈(2,+∞)時,f(2)＜0.不妨令a=3,t=2,此時x=7,y=4,z=1,則

下面將反例1中的參數(shù)x,y,z進(jìn)行下列線性變換,可得以下結(jié)果:令x?z,y?y,即當(dāng)x=1,y=4,z=7時,有

令x?y,z?z,即當(dāng)x=4,y=7,z=1時,有

令x?x,y?z,即當(dāng)x=7,y=1,z=4時,有

令x→z→y→x,即當(dāng)x=4,y=1,z=7時,有

令x→y→z→x,即當(dāng)x=1,y=7,z=4時,有

同理,類似反例1,根據(jù)變式(20)的方法我們同樣可以找到變式(22)的反例:

事實上,令x=3,y=2,z=1,故

再將反例7中的參數(shù)x,y,z進(jìn)行下列線性變換,可得以下結(jié)果:

令x?y,z?z,即當(dāng)x=2,y=3,z=1時,有

令x?x,y?z,即當(dāng)x=3,y=1,z=2時,有

注 容易驗證反例7中的參數(shù)x,y,z的另外三種線性變換的結(jié)果和反例7、8、9對應(yīng)的變式相同.

綜上,9個反例均已找到,即變式(21)(22)(23)(27)(29)(30)(32)(33)(35)均不成立.

[1]曹嘉興.W.Janous猜想的變式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2013(8):47.

[2]蘇農(nóng),劉玲.關(guān)于排序不等式的一個簡單證明[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011(14):49-50.

[3]丘維聲.高等代數(shù)(上冊)[M].北京:高等教育出版社,1996.

[4]田洪,滕曙霞.對稱式?循環(huán)對稱式?排序法-由W.Janous猜想得到的[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2000(7):29-30.