“截長補(bǔ)短”法應(yīng)用中所蘊(yùn)含的“旋轉(zhuǎn)”思想

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 陳 柳

“截長補(bǔ)短”法應(yīng)用中所蘊(yùn)含的“旋轉(zhuǎn)”思想

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 陳 柳

截長補(bǔ)短法是解決線段和差問題的主要方法,但在解題時(shí)如何去做輔助線仍然是學(xué)生的難點(diǎn).這篇文章探究了旋轉(zhuǎn)思想在和差問題中的應(yīng)用,將截長補(bǔ)短法用旋轉(zhuǎn)來刻畫,總結(jié)并提出了蘊(yùn)含旋轉(zhuǎn)思想的截長補(bǔ)短法的解題模式.使讀者能夠更加深刻的理解截長補(bǔ)短法,并在運(yùn)用時(shí)能夠快速的找準(zhǔn)方向.

旋轉(zhuǎn) 截長補(bǔ)短 和差問題

幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.不管是幾何證明題還是計(jì)算題,通常需要做輔助線來幫助解題,而輔助線的做法卻是一個(gè)難點(diǎn).在涉及線段的和差問題中,截長補(bǔ)短法是一個(gè)通用的方法.本文通過例題來探究了旋轉(zhuǎn)思想在截長補(bǔ)短法做輔助線上的應(yīng)用,以此幫助學(xué)生能夠快速而準(zhǔn)確找準(zhǔn)突破點(diǎn),深刻地理解截長補(bǔ)短法.

1 “旋轉(zhuǎn)”輔助證明和差關(guān)系

例1 如圖1,圓O是△ABC的外接圓,并且△ABC是等邊三角形,點(diǎn)P是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求證:PA+PB=PC.

分析 該題要證明的是線段的和差關(guān)系,如果能夠?qū)蓷l較短的線段合并為一條線段,再證明該條線段與最長的那條線段相等,那么問題就迎刃而解了,如果該條線段就是最長的那條線段那就更簡單了.

圖1

思路一 如果將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,那么由已知條件、旋轉(zhuǎn)以及圓的知識(shí)可以證明,旋轉(zhuǎn)后的三角形為圖2中的△ADC,且點(diǎn)P、D、C在同一條直線上,其中有AP=PD,PB=DC,這樣就將短的兩條線段轉(zhuǎn)移到了長的線段中去,相當(dāng)于截長補(bǔ)短法中的截長法.

圖2

圖3

思路二 如果將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,那么由已知條件、旋轉(zhuǎn)以及圓的知識(shí)可以證明,旋轉(zhuǎn)后的三角形為圖3中的△ADB,并且點(diǎn)P、D、B在同一條直線上,其中有AP=DP,DB=PC.相當(dāng)于截長補(bǔ)短法中的補(bǔ)短法.

證明一 將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,則AB旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段為AC.設(shè)AP旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段為AD,連接PD,有△APB～=△ADC.所以AP=AD,又因?yàn)?∠PAD=60°,所以△APD是等邊三角形,則PA=PD.由于四邊形APBC是圓的內(nèi)接四邊形,有∠APB+∠ACB=180°,所以∠ADC+∠ADP=180°,即點(diǎn)P、D、C在同一條直線上,所以PC=PD+DC=PA+PB.

證明二 將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,則AC旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段為AB.設(shè)AP旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段為AD,連接PD,有△ADB～=△APC.所以AP=AD,又因?yàn)?∠PAD=60°,所以APD是等邊三角形,則PA=PD.由于四邊形APBC是圓的內(nèi)接四邊形,有∠APB+∠ACB=180°,所以∠APB+∠DPA=180°,即點(diǎn)P、D、B在同一條直線上,所以PC=DB=PD+PB=PA+PB.

解題模式 步驟1:通過觀察,將其中一條較短的線段旋轉(zhuǎn)到最長的線段中去(將最長的線段旋轉(zhuǎn)到其中一條較短的線段中去).步驟2:通過有關(guān)知識(shí)證明長線段中剩余的一部分與另一條短的線段相等(證明旋轉(zhuǎn)后多出的一部分與另一條短的線段相等).

2 以和差關(guān)系為已知條件解決相關(guān)問題

例2如圖4,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五邊形ABCDE的面積.

圖4

圖5

分析 該題是以線段和差問題為條件,求五邊形ABCDE的面積.由圖可以直觀的看到該五邊形是一不規(guī)則的五邊形,求這種圖形的面積,可以將該圖形分解成所熟知的圖形進(jìn)而求解,也可以將該圖形的某一部分進(jìn)行轉(zhuǎn)移使之形成規(guī)則圖形進(jìn)而求解.

由題可知AB=AE,∠ABC= ∠AED=90°,如果將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠EAB,AB剛好與AE重合,并且點(diǎn)D、E、F在同一直線上,這樣就將五邊形的面積轉(zhuǎn)移到△AFD和△ACD的面積之和.再由已知條件可以輕松的證明△ACD～=△AFD,并能求出△AFD的面積,進(jìn)而求出五邊形的面積.

解 如圖5,將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ∠EAB,因?yàn)锳B=AE,所以旋轉(zhuǎn)后的圖形為△AEF,連AD.因?yàn)椤螦BC=∠AED=90°,所以點(diǎn)D、E、F在同一直線上.在△ACD與△AFD中,因?yàn)锳C=AF,

3 “旋轉(zhuǎn)”探究線段之間的數(shù)量關(guān)系

例3 在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為△ABC外一點(diǎn),且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.

探究:當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系.

圖6

圖7

(1)如圖6,當(dāng)點(diǎn)M、N在AB、AC上,且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是?

(2)如圖7,點(diǎn)M、N在AB、AC上,且當(dāng)DM/=DN時(shí),猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明.

分析 (1)可大膽猜測MN=BM+CN,此時(shí)思路就是把BM、NC轉(zhuǎn)移到一條直線上.由題義可知BD=DC,由已知易得 ∠MBD= ∠NCD=90°,可將△MBD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△M1CD,如圖.易證△NDM～=△NDM1,則NM=NC+CM1=NC+BM.

圖8

(2)同第一題的分析.

解 (1)∠BDC=120°,BD=DC,所以 ∠DBC=∠DCB=30°,已知△ABC是等邊三角形,所以∠MBD=∠NCD=90°.又因

所以Rt△BDM～=Rt△CDN,已知 ∠MDN=60°,所以 ∠MDB= ∠NDC=30°.將△MBD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°得到△M1CD,△MBD～=△M1CD.由于∠NCD+∠MCD=180°,所以點(diǎn)N、C、M1在同一條直線上.因?yàn)?/p>

且

(2)猜想:結(jié)論仍然成立.

證明 同(1)證明.

說明:不管MD與ND是否相等,都有

這篇文章主要探究了截長補(bǔ)短法在解決線段的和差問題時(shí)所蘊(yùn)含的旋轉(zhuǎn)思想,換句話說就是旋轉(zhuǎn)在解決線段和差問題的運(yùn)用,并給出了有關(guān)問題的解題模式.在解決某些線段和差問題時(shí),利用旋轉(zhuǎn)可以使解題過程更加簡明清晰,不必去繁瑣證明線段相等,圖形全等,如例1中DC=PB,PC=DB,可由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)直接得到.探究旋轉(zhuǎn)在線段和差問題中運(yùn)用,是為了深化截長補(bǔ)短法.解決線段的和差問題整個(gè)的大思想還是截長補(bǔ)短,但是旋轉(zhuǎn)可以使截長補(bǔ)短的這個(gè)過程更加的簡單清晰.特別針對(duì)旋轉(zhuǎn)很熟悉的讀者,使之對(duì)線段和差問題的解決提升一個(gè)階梯.