規(guī)范五邊形重心定理

華漫天

(浙江省慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 315300)

眾所周知，三角形三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為重心，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.筆者發(fā)現(xiàn)，某些五邊形具有跟三角形重心定理類似的結(jié)論.

規(guī)范五邊形

如圖1，五邊形ABCDE中，我們把邊CD稱為∠BAE的對(duì)邊，∠BAE則稱為邊CD的對(duì)角；設(shè)點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，稱線段AF為五邊形ABCDE的一條中線；若中線AF把五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分，則稱中線AF是五邊形ABCDE的規(guī)范中線.如果五邊形ABCDE的五條中線都是規(guī)范中線，則稱這個(gè)五邊形是規(guī)范五邊形.顯然，正五邊形是特殊的規(guī)范五邊形.

圖1

為證明定理，先給出幾個(gè)引理.

圖2

引理1如圖3，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊AC，AB所在直線上的點(diǎn)，BE與CF相較于點(diǎn)P，直線AP交邊BC于D，若EF∥BC，則點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)；反之若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，P是直線AD上一點(diǎn)，BP，CP分別交直線AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF∥BC.

本引理系熟知性質(zhì)，利用塞瓦定理即得.

圖3

引理2如圖4，若五邊形ABCDE是規(guī)范五邊形，則BE∥CD，AC∥DE，BD∥EA，CE∥AB，AD∥BC.

圖4

證明設(shè)AF是五邊形ABCDE的規(guī)范中線，

由于S△ACF=S△ADF，則S△ABC=S△ADE，

同理S△ABC=S△CDE，故S△ADE=S△CDE，

所以AC∥DE，其余同理可得.

可得S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB.

引理3如圖5，五邊形ABCDE是規(guī)范五邊形，AF是它的規(guī)范中線，BD，CE交于點(diǎn)M，則A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

圖5

證明延長(zhǎng)BC，ED交于點(diǎn)Q，由引理2知四邊形ACQD是平行四邊形，因?yàn)镕是CD中點(diǎn)，所以A，F(xiàn)，Q共線，又因?yàn)锽E∥CD，則由引理1得M，F(xiàn)，Q共線，所以A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

定理的證明設(shè)規(guī)范五邊形ABCDE各條對(duì)角線的交點(diǎn)如圖6所示.由引理3知，只須證AM，BN，CR，DK，EL交于一點(diǎn)即可.

圖6

先由引理2得BE∥CD，即KR∥CD，再由引理1知CR，DK的交點(diǎn)必在中線AF上，于是AM，CR，DK交于一點(diǎn)，同理BN，DK，EL交于一點(diǎn)，CR，EL，AM交于一點(diǎn)，DK，AM，BN交于一點(diǎn)，EL，BN，CR交于一點(diǎn)，所以AM，BN，CR，DK，EL交于一點(diǎn).

接下來證明數(shù)量關(guān)系：

如圖7，延長(zhǎng)BC，ED交于點(diǎn)Q，

則四邊形ACQD是平行四邊形，

根據(jù)三角形中位線定理得HI∥BE，

設(shè)五邊形ABCDE的面積為S，

S△ABC=S△ADE=S△ABE=x，

則S△ACD=S-2x，

由于四邊形ACQD是平行四邊形，

所以S△DCQ=S△ACQ=S△ACD=S-2x，

易知△CDQ∽△BEQ，故

所以

圖7

由定理及引理即得如下幾個(gè)推論.

推論1如圖8，若五邊形ABCDE是規(guī)范五邊形，則

上述證明過程中已證.恰好是黃金分割比.

圖8

推論2如圖8，若五邊形ABCDE是規(guī)范五邊形，面積為S，則

圖9

推論3如圖9，若五邊形ABCDE是規(guī)范五邊形，則它的五條規(guī)范中線AF，BG，CH，DI，EJ連同重心O把五邊形分割成10個(gè)面積相等的三角形.(即圖中所示的小三角形的面積均相等)

推論4如圖6，若五邊形ABCDE是規(guī)范五邊形，則它的對(duì)角線所交成的五邊形KLMNR也是規(guī)范五邊形，且有公共重心.

利用定理證明過程即可推得.

猜想