密鋪五邊形，數(shù)學(xué)史上的最強家庭主婦

七君

只有高中學(xué)歷的家庭婦女

只有高中學(xué)歷的Marjorie Rice

大家對瓷磚應(yīng)該很熟悉，瓷磚多是三角形、四邊形和六邊形，很少有其他形狀的。那么，能夠鋪滿任意平面的瓷磚是不是只有這些形狀呢？這個問題自古希臘時代就吸引著數(shù)學(xué)家們。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中就有專門研究能夠鋪滿整個平面而不留空隙的地磚圖形的分支——密鋪。

許多人不知道的是，一位只有高中學(xué)歷的家庭婦女Marjorie Rice，卻在天命之年為這個數(shù)學(xué)分支做出了重要的貢獻，美國數(shù)學(xué)學(xué)會（MAA）甚至用她發(fā)現(xiàn)的密鋪圖形鋪地磚。一起來看看這位傳奇的女士的故事吧。

1923年，Marjorie Rice 出生在美國佛羅里達州的一個普通農(nóng)戶家庭里。在上中學(xué)時，她跳了兩級。后來在高中時期，她選了文秘方向，只修了一門數(shù)學(xué)課，因為在當時，女孩子只能選一門數(shù)學(xué)課。而由于時代對女性的限制以及家庭的貧困，她沒有上大學(xué)。高中畢業(yè)后不久，她嫁人生子，成了一名家庭主婦。

時間推進到1975年。那時，Marjorie Rice已經(jīng)52歲，她的5個孩子大部分已經(jīng)成年， Marjorie Rice 有了更多閑暇時間。而因為小兒子愛好科學(xué)，Marjorie Rice 就為他訂閱了科普雜志《科學(xué)美國人》。愛好自然科學(xué)的她也經(jīng)常第一時間拿來翻閱，并成了《科學(xué)美國人》的著名數(shù)學(xué)科普作者Martin Gardner的數(shù)學(xué)專欄的迷妹。

沒想到，那一年的兩期《科學(xué)美國人》成了Marjorie Rice和密鋪研究的一個分水嶺。1975年7月，Martin Gardner 發(fā)表了一篇文章《On tessellating the plane with convex polygon tiles》，介紹了密鋪方面的最新進展。

了解密鋪知識的發(fā)展

Karl Reinhardt 發(fā)現(xiàn)的5類可以密鋪的凸五邊形

在了解這些進展之前，先來了解一下數(shù)學(xué)家們在研究密鋪的什么性質(zhì)。

首先小學(xué)生都可以很容易理解，任何三角形都可以沿著一邊旋轉(zhuǎn)180度，雙雙配對，然后把整個平面鋪滿。再拓展一下，任意四邊形，不管是凸的還是凹的，也可以用同樣的方式鋪滿一個平面。但是，這個結(jié)論不能擴展到五邊形，比如正五邊形就不行。

那么是不是所有五邊形都不行呢？1918年，德國數(shù)學(xué)家 Karl Reinhardt 在他的博士畢業(yè)論文中證明，有5類五邊形可以鋪滿整個平面。

Karl Reinhardt 還發(fā)現(xiàn)，只要五邊形的邊和內(nèi)角滿足一定的條件，就可以鋪滿一個平面。第1類能密鋪的凸五邊形很容易理解：只要有任何兩條邊平行，那么這個五邊形就可以密鋪。

Karl Reinhardt 還指出，凸七邊形以及邊數(shù)超過7的凹多邊形無論如何都無法對平面實現(xiàn)密鋪?？墒?，Karl Reinhardt 并不知道自己找到的5類五邊形是否完備，也就是說，是否所有能密鋪的凸五邊形就只有這5類。這個問題也就這樣被擱置了50年。

1968年，約翰霍普金斯大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Richard Kershner 發(fā)現(xiàn)了新的3類凸五邊形。這3類五邊形要實現(xiàn)密鋪，必須要成雙成對。

Kershner 認為，能密鋪的五邊形就這么8類，不能更多了，并在論文中加了一句話：“證明過程太復(fù)雜，以后再單獨證明?！盞ershner 雖然沒有給出完整的證明，但是他的觀點卻借由Gardner的專欄被世人所知。

這篇文章刊出后不久，業(yè)余數(shù)學(xué)家 Richard James III 寫了一封信給 Gardner，告訴他有第9類可以密鋪的五邊形。他是從阿基米德地磚（Archimedean tiling）中找到了靈感。實際上，阿基米德地磚中的八邊形可以等分為4個五邊形。八邊形稍微排列一下，就可以在空隙中塞入這種五邊形。顯然，這種五邊形可以實現(xiàn)密鋪。

要注意的是，這種五邊形有兩條平行邊，因此屬于第1類凸五邊形，不算新的。但是James III 巧妙地對八邊形的四分切割進行了調(diào)整，讓切割的“十”字微微傾斜，使切出來的五邊形的任意兩條邊不再平行。這么一來，就出現(xiàn)了第9類凸五邊形。

這種新的五邊形需要3個一組才能實現(xiàn)密鋪，用數(shù)學(xué)家的行話來說，這種五邊形屬于 3-block tiling（3塊密鋪）。于是在1975年12月的《科學(xué)美國人》上，Gardner 把這位讀者的發(fā)現(xiàn)刊登了出來。后來在20世紀90年代，俄亥俄州立大學(xué)數(shù)學(xué)系的教授 Henry Glover 和 J. Philip Huneke 用這第9類凸五邊形裝飾了數(shù)學(xué)系6樓的地板。

Rice的五邊形密鋪研究

Marjorie Rice 發(fā)現(xiàn)的第9類凸五邊形及定義，因為Marjorie Rice的證明在前，因此是第9類，James III 的是第10類。圖片上面的變形體是她用圖像證明這第9類五邊形的可能變化形態(tài)

Marjorie Rice用自己發(fā)現(xiàn)的兩類凸五邊形密鋪制作的插畫

Marjorie Rice 也看到了這篇文章，但直覺告訴她有什么不對勁，于是自己開始研究有沒有什么新類型的五邊形密鋪。做完家務(wù)，她就在廚房的餐桌上做自己的數(shù)學(xué)研究。家人回來或是有客人來，她就把自己的研究筆記藏起來。所以在很長一段時間里，沒有人知道她在尋找密鋪五邊形的事。這一秘密的研究就這樣持續(xù)了二十多年。

因為只有高中學(xué)歷而且沒有幾何學(xué)基礎(chǔ)，Marjorie Rice 只能自創(chuàng)數(shù)學(xué)符號來表示多邊形的性質(zhì)。很快，她就有了收獲。1976年2月，她寫信給 Gardner，將自己發(fā)現(xiàn)的密鋪凸五邊形寄了過去。

Gardner 把 Marjorie Rice 的信轉(zhuǎn)交給了另一位數(shù)學(xué)家 Doris Schattschneider，后者對這位業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者產(chǎn)生了強烈的興趣。Schattschneider證明Marjorie Rice的發(fā)現(xiàn)是新類型的凸五邊形，她還從中得到了一個猜想：如果一個五邊形的四條邊長度相等，且四個角之間滿足一定的條件，就能實現(xiàn)密鋪。

讓Schattschneider 意外的是，Marjorie Rice很快駁斥了這個猜想。她指出，滿足這個猜想中一共包括4類五邊形，其中2類是無法實現(xiàn)密鋪的。Schattschneider 后來不得不承認，Marjorie Rice 是對的。就這樣，在Marjorie Rice的鉆研下，能夠密鋪的凸五邊形增加到了10類。

1976年12月，Marjorie Rice 又發(fā)現(xiàn)了兩類新的密鋪五邊形，后來這兩類五邊形被稱為第11類和第12類。而在1977年12月，Rice 發(fā)現(xiàn)了第13類密鋪五邊形。在Schattschneider 的協(xié)助下，這些結(jié)果發(fā)表在了期刊《Mathematics Magazine》上。

20世紀90年代，Marjorie Rice 在研究了3塊式的密鋪后，發(fā)現(xiàn)了一種五邊形密鋪，她把這種五邊形命名為versatile。1999年，美國數(shù)學(xué)學(xué)會就用Marjorie Rice 發(fā)現(xiàn)的這種密鋪裝飾了華盛頓總部大廳的地板，并于次年授予了Marjorie Rice一份榮譽證書。

密鋪領(lǐng)域的新發(fā)現(xiàn)

目前發(fā)現(xiàn)的15類能實現(xiàn)密鋪的凸五邊形及性質(zhì)

在Marjorie Rice 的一系列發(fā)現(xiàn)后，密鋪領(lǐng)域沉寂了一段時間。1985年，Rolf Stein 找到了第14種能密鋪的凸五邊形。2015年，第15類密鋪凸五邊形被發(fā)現(xiàn)：華盛頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Casey Mann 和同事用計算機暴力搜索的方式找到了第15種。

2017年，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了一種聲音，那就是能密鋪的凸五邊形就只有那15類，沒有更多了。如果真是這樣，那么Marjorie Rice 一人就貢獻了其中的4/15。

Marjorie Rice于2017年去世，晚年時的認知衰退使她沒有辦法得知密鋪凸五邊形方面的新進展。盡管做出了這么多貢獻，但Marjorie Rice 從沒有就自己的發(fā)現(xiàn)進行演講，反而對沒有在數(shù)學(xué)方面進行深造感到很后悔。私底下她是一個非常害羞靦腆的人，她甚至都沒有主動告訴孩子們自己在數(shù)學(xué)上的成就，這也是許多人不知道她的一個原因。