慢工出細(xì)活,磨刀不誤砍柴工—對函數(shù)概念教學(xué)的反思

湖南省長沙市周南中學(xué)(410008) 肖正生

慢工出細(xì)活,磨刀不誤砍柴工—對函數(shù)概念教學(xué)的反思

湖南省長沙市周南中學(xué)(410008) 肖正生

函數(shù)是學(xué)生進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第二個抽象的概念,是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的一條主線,它與數(shù)列、不等式、向量、三角、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等很多知識都可以聯(lián)系起來,在高考當(dāng)中占有很高的地位,所以是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的內(nèi)容,在教學(xué)當(dāng)中,決不可輕描淡寫.經(jīng)過多年的高三教學(xué)發(fā)現(xiàn),學(xué)生對函數(shù)這個概念掌握得并不理想,甚至還有的同學(xué)可以說根本沒有掌握,從而使很多相關(guān)問題學(xué)起來困難,理解不夠透徹,導(dǎo)致失分,所以有必要引起我們重視.

在高一函數(shù)概念的教學(xué)當(dāng)中,由于定義中文字較長,數(shù)學(xué)術(shù)語較多,導(dǎo)致很多學(xué)生對函數(shù)的概念的理解很困難,只好囫圇吞棗,死記硬背,并沒有真正掌握,這樣就導(dǎo)致后面學(xué)習(xí)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容吃力,如求函數(shù)的定義域(尤其是抽象函數(shù))、求值域、求解析式、判別式法求值域等等,認(rèn)為數(shù)學(xué)太抽象,太難學(xué),甚至有的學(xué)生開始對數(shù)學(xué)失去了信心.所以,教會學(xué)生理解函數(shù)的概念,對他們今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣顯得尤為重要.

1.對函數(shù)概念的理解

函數(shù)的概念,人教版A版(2015年5月)教材中是這樣定義的:一般地,我們有:設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系,使對于集合A中的每一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function),記作y=f(x),x∈A,其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain);與的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域(range),顯然,值域是集合B的子集.

定義較長,也很抽象,對于函數(shù)這個概念的講解,本人認(rèn)為可以采取學(xué)生自學(xué),教師提問并舉例說明的方式進(jìn)行教學(xué)效果較好,要求學(xué)生反復(fù)閱讀(先粗再細(xì))教材所給出的定義,而后再提出疑問,老師加以引導(dǎo)和提升.先粗讀:函數(shù)是一種對應(yīng)關(guān)系,再細(xì)讀:是什么樣的對應(yīng)關(guān)系?是兩個數(shù)集中“數(shù)”到“數(shù)”的對應(yīng)關(guān)系,這鐘對應(yīng)關(guān)系具體有什么要求?第一,兩個集合必須是數(shù)集,兩個數(shù)集可以相同;第二,兩個數(shù)集不能為空集;第三,對于數(shù)集A中的每一個數(shù)(元素)通過這個對應(yīng)關(guān)系f(也就是變化規(guī)律)后,在數(shù)集B中有且只有一個數(shù)與之對應(yīng).那自變量x又是什么?能不能換成其他字母,如t或是2x,x2之類的?自變量x實際上只是代替集合A中任意數(shù)的一個單一的字符(字母代替數(shù)),當(dāng)然可以換成其他字母,如t,但是不能換成2s,x2等含有有運算的式子,否則就會是對集合A中的數(shù)先進(jìn)行乘以2(2s)或是平方(x2)的變化之后,再按照f的變化規(guī)律變化,這就導(dǎo)致對應(yīng)法則發(fā)生了改變,不再是“f”了,而是經(jīng)過了兩次變化(x先乘以2再按f變化或是x先平方再按f變化),變成了一個新的函數(shù),教師可以舉例說明,同理,字母y也只是代替函數(shù)值的一個符號而已.那什么又是函數(shù)值呢?函數(shù)值本質(zhì)上就是集合A中的數(shù)按照所給的變化規(guī)律“”變化之后得到的一個數(shù),那“定義域”是什么,“值域”是什么,為什么說值域是集合B的子集?“對應(yīng)關(guān)系”又是什么?定義域指的是自變量的所有允許取值構(gòu)成的集合,值域是所有函數(shù)值的集合,定義中并沒有要求數(shù)集B中的元素都必須在數(shù)集A中有元素與之對應(yīng),所以數(shù)集B中可以有多余的元素,從而值域是數(shù)集B的子集.“對應(yīng)關(guān)系”也就是變化規(guī)律,通常用“f”表示,指的是集合A中的數(shù)經(jīng)過怎樣的變化規(guī)律后成了集合B中的數(shù),如函數(shù)f(x)=2x2+1中的“f”的含義是:把數(shù)x先平方,再乘以2,最后再加上1,函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)的“三要素”,它們是一個不可分割的整體,學(xué)生不明白為什么叫三要素,怎么就不可以分割了,老師可以解釋一下,假設(shè)在一個函數(shù)中沒有對應(yīng)關(guān)系“f”,那么就不能知道集合A中的數(shù)是經(jīng)過怎樣的變化規(guī)律變到了集合B中的數(shù),假如沒有定義域A,那么就不知道是哪里的數(shù)經(jīng)過對應(yīng)關(guān)系f后得到了集合B中的數(shù),假如去掉值域,那么集合A中的數(shù)經(jīng)過f變化后就不知道變到哪里去了,所以這三者缺一不可,故而稱之為函數(shù)的三要素.當(dāng)兩個函數(shù)的三要素相同時,我們就稱這兩個函數(shù)相同.

2.應(yīng)用舉例

函數(shù)概念中有三要素:定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系,相應(yīng)的就有求定義域、求值域、求解析式和判斷兩個函數(shù)是否相等題型.

例1 設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是 ( )

分析選D.由函數(shù)的定義可以判斷A項的定義域為{x|0≤x≤1},B項的定義域為{x|0＜x≤2}均與題意不符,而C項不符合函數(shù)定義.

例2下列各組函數(shù)是相等函數(shù)的有____(將正確的序號都填上).

分析①中兩函數(shù)定義域相同,對應(yīng)關(guān)系不同,分別為中兩函數(shù)定義域不同,分別為R,[0,+∞);③、④中兩函數(shù)定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同.

答案③④.

例3 已知函數(shù)y=f(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表,函數(shù)y=g(x)的圖象是如圖的曲線ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),則f(g(2))的值為 ( )

圖2

x 1 2 3 f(x)2 3 0

A.3 B.2 C.1 D.0

分析選B.由y=g(x)的圖象與y=f(x)的對應(yīng)關(guān)系表可知g(2)=1,f(1)=2,所以f(g(2))=f(1)=2.

例4設(shè)函數(shù)則f(x)的定義域為___,值域為___.

分析函數(shù)定義域為自變量的所有允許取值,故定義域為R,值域為所有函數(shù)值構(gòu)成的,作圖或者配方可知值域為(?∞,0)∪[1,+∞).

例5 已知函數(shù)y=f(2x+1)的定義域為[1,2],求函數(shù)y=f(x2)的定義域.

分析因為函數(shù)y=f(2x+1)的定義域為y=f(2x+1),所以1≤x≤2,(注:自變量是單字符x而非2x+1),從而3≤2x+1≤5,故3≤x2≤5,(注:相同對應(yīng)關(guān)系具有相同的范圍要求),所以故函數(shù)y=f(x2)的定義域為

例6求函數(shù)的值域.

分析本題可用判別式法求函數(shù)值域?qū)⑸鲜龅仁阶冃螢閥x2?2x+3y=0(?),易知函數(shù)的定義域為R從方程的角度看,(?)式可看做是以字母x為未知數(shù),字母y看作常數(shù)的方程,根據(jù)函數(shù)的定義,函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系,所以對于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個x的值等式都會成立,從而關(guān)于x的方程(?)在函數(shù)定義域內(nèi)總有解.

(1)當(dāng)y=0時,則存在x=0,使得方程(?)成立;

(2)當(dāng)y?=0時,關(guān)于x的方程(?)在R內(nèi)恒有解,所以?≥0成立.解得

例7 已知函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=x2+1,則f(x2)=____.

分析解決此題的關(guān)鍵要把握兩點,1、同一對應(yīng)法則應(yīng)遵循相同的變化規(guī)律,2、相同對應(yīng)法則下的作用對象范圍相同,故本題可用換元法和湊配法解答.

解答(略).

答案f(x2)=x4?2x2+2,x∈R.