數(shù)形結(jié)合的解題思想在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

張志偉

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)一種重要的思想方法與有效解題策略.從思維角度來(lái)說(shuō)，“形”有助于學(xué)生對(duì)問題作直觀的分析，直觀得出問題結(jié)論，在解題中，如果善于由形思數(shù)，由數(shù)思形，數(shù)形滲透，雙向聯(lián)想，那么，將會(huì)大大地開闊解題思路，提高解題技巧，使解決的問題達(dá)到似至晦，實(shí)至明，似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，似至難，實(shí)至易之效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 以形助數(shù) 以數(shù)解形

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C 文章編號(hào)：1672-1578（2017）11-0081-02

數(shù)形結(jié)合的解題思想是初中數(shù)學(xué)一種重要的思想方法與有效解題策略.數(shù)與形，本是相倚依，相輔相成，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。從思維角度來(lái)說(shuō)，“形”有助于學(xué)生對(duì)問題作直觀的分析。在解題中，如果善于由形思數(shù)，由數(shù)思形，數(shù)形滲透，雙向聯(lián)想，那么，將會(huì)大大地開闊解題思路，提高解題技巧，可以使所要解決的問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思維廣闊。有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，回溯本源，很多問題便迎刃而解.這種數(shù)學(xué)思想是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)之一.我們通過以下例子的學(xué)習(xí)就能體會(huì)數(shù)形結(jié)合的真諦。

1 依“形”來(lái)解決代數(shù)中最值問題

用形輔數(shù)，能直觀、整體地用圖形反映數(shù)量之間的關(guān)系，讓我們從“山窮水覆”的絕境走向“柳暗花明”的坦途，數(shù)形結(jié)合為我們解決問題提供了新的思維空間。下面僅舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合這一好處：

例1，函數(shù)y=■+■的最小值。

初中生看了此題，眼前一片模糊，簡(jiǎn)直是“山窮水覆疑無(wú)路”的迷茫，但我們仔細(xì)分析，用形輔數(shù)，數(shù)形結(jié)合來(lái)解決，帶給你的才是“柳暗花明又一村”的喜悅。

解析： y=■+■，觀察這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，其幾何意義是：在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使它到定點(diǎn)A（0，3）和B（5，2）的距離之和最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（5，-2）（如圖1所示），即A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，y最小，最小值y=AB=■=5■。

2 數(shù)形轉(zhuǎn)化在解直角三角形運(yùn)用

數(shù)形轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想.如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問題；借助于形來(lái)抓住問題的實(shí)質(zhì)，回溯本源，往往“一眼看破”，立獲解答，少走或不走彎路。

例2，某氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向300km的B處，以每小時(shí)10■km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域，問A城受臺(tái)風(fēng)影響幾小時(shí)？

如果本題不借助于它的幾何背景是沒辦法解決的，因此我們必需根據(jù)題目的數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征畫出圖形，復(fù)雜的問題就簡(jiǎn)單化了。

解析：如圖2，已知AB=300km，v=10■km/h，∠BDC=60°，AE=200km.

在Rt△ABC中， ∠ABC=30°， AB=300km， ∠ACB=90°

∴ AC=150km

在Rt△AEC中， AE=200km， AC=150km，∠ACE=90°

∴ CE=■=50■km

∴ EF=2CE=100■km，t=■=■=10小時(shí)

故A城受臺(tái)風(fēng)影響10小時(shí)。

3 依圖表數(shù)來(lái)解決探究規(guī)律性問題

在教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些探索規(guī)律的題，有些規(guī)律性的問題，為了描述的方便，用圖像來(lái)表述有關(guān)的信息。圖像的好處是形象直觀，但又不夠精確。在處理這些問題時(shí)，我們只有充分挖掘圖像的信息，根據(jù)圖形和數(shù)量之間的關(guān)系，對(duì)有關(guān)的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行分析，把圖像問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，才能精確地解決這些規(guī)律性間題。這就是“以形解數(shù)，數(shù)形結(jié)合”。

例3，求1+2+4+8+…+263=

解析：如圖3所示，先借一個(gè)1，再加1，再加2，再加4……很顯然加到32時(shí)總和是2×32-1；由此類推，加到263時(shí)結(jié)果是2×263-1=264-1。

4 由形定數(shù)，數(shù)形結(jié)合在不等式中的運(yùn)用

形直觀，較易理解；數(shù)形結(jié)合，數(shù)與形互相幫助，是抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形相得益彰，在解題中，通過把問題轉(zhuǎn)化成圖形的方法，直觀得出問題結(jié)論，達(dá)到似至晦，實(shí)至明，似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，似至難，實(shí)至易之效果。

例4，如圖4，A（-1，0），B（2，-3）兩點(diǎn)在一次函數(shù)y1=-x+m與y2=ax2+bx-3二次函數(shù)的圖像上。

（1）求m的值和二次函數(shù)的解析式；

（2）求當(dāng)y1>y2時(shí)自變量x的取值范圍；

（3）求拋物線y2與x軸的另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)，試判斷直線CD與AB的位置關(guān)系。

解析：（1） ∵ A（-1，0）在一次函數(shù)y1=-x+m的圖像上

∴ 0=-（-1）+m ∴ m=-1

∵ A（-1，0）， B（2，-3）兩點(diǎn)在二次函數(shù)y2=ax2+bx-3的圖像上

∴ a-b-3=04a+2b-3=-3 ∴ a=1 b=-2

∴ m的值為-1，二次函數(shù)的解析式為y2=x2-2x-3。

（2）一般的學(xué)生會(huì)這樣思考：

∵ m=-1 ∴一次函數(shù)的解析式為y1=-x-1

∵ y1>y2 ∴ x2-2x-3>-x-1

解到此，初中學(xué)生無(wú)從下手，一頭霧水，很迷茫，但是我們返回到圖形中去觀察、思考，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖像（形）發(fā)現(xiàn)：在直線x=-1和直線x=2之間，一次函數(shù)y1=-x+m的圖像在二次函數(shù)y2=ax2+bx-3的圖像的上方，即y1>y2。

∴自變量x的取值范圍為-1

第（3）問（略）也可以借助于形來(lái)解決。

用此方法求解不等式，不僅能獲得直觀形象的解題思路，也是銜接不等式、函數(shù)、幾何之間的橋梁，提高運(yùn)用知識(shí)的靈活性，開拓學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，用數(shù)形結(jié)合解不等式將數(shù)形結(jié)合的好處體現(xiàn)得淋漓盡致.

5 以形助數(shù)，運(yùn)用幾何圖形解決代數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合的思想是啟發(fā)法的一種，它雖不能保證所有的問題得到解決，但能保證在大多數(shù)情況下能夠使問題得到充分解決，在解題時(shí)節(jié)約解題時(shí)間，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)潔化，給解題帶來(lái)意想不到的成功.

例5，正數(shù)a、b、c， A、B、C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA

本題的難度較大，用代數(shù)的方法無(wú)從下手，若能借助于形，利用數(shù)形結(jié)合的思想便可以使這復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、直觀化、生動(dòng)化，此問題便迎刃而解。

解析：從條件a+A=b+B=c+C=k，可揭示它的幾何背景—三數(shù)相等的幾何圖形是等邊三角形，則可以得到如下證法。

證明：如圖5，作邊長(zhǎng)為k的正三角形PQR，分別在各邊上取點(diǎn)L、M、N，使得QL=A、LR=a、RM=B、MP=b、PN=C、NQ=c， 則 S△MPN+S△NQL+S△MLR

∵ 三角形MPN的高h(yuǎn)=C×sin∠P=C×sin60°=■C

∴ S△MPN=■×■C×b=■bC

同理得S△NQL=■cA， S△MLR=■aB， S△PQR=■k2

∴ ■bC + ■cA + ■aB < ■k2

即 bC+cA+aB

6 數(shù)形結(jié)合在圖形運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)用

動(dòng)態(tài)幾何與動(dòng)態(tài)函數(shù)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，解這類題要依托形的變化（動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段、動(dòng)圖形問題）與數(shù)之間的關(guān)系—數(shù)形結(jié)合，而學(xué)生思考這類動(dòng)態(tài)問題的最大障礙卻是思維單一，不會(huì)由數(shù)思形，再由形思數(shù)，只單一的從“數(shù)”或從“形”的角度去探索必然會(huì)陷入解題的困境。但完成這類題型往往要用到數(shù)形結(jié)合的思想，并把這種思想融入動(dòng)態(tài)問題的變與不變，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

例6，如圖6，有一邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD和等腰△GEF，GE=GF=5cm，EF=8cm，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線l上，當(dāng)C、E兩點(diǎn)重合時(shí)，正方形ABCD以1厘米/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向開始勻速運(yùn)動(dòng)，t秒后正方形ABCD與等腰△GEF重合部分的面積為Scm2。解答下列問題：

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，求S的值；當(dāng)t=5秒時(shí)，求S的值；

（2）當(dāng)5≤t≤8秒時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。

解析：解此類題先搞清楚圖形的變化過程，探索圖形運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律，畫出各個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻的形（如圖6（1）、（2）、（3））并抓住形在變化過程中的不變量，然后根據(jù)不同的情況來(lái)確定值的分界點(diǎn)及變化范圍，要求學(xué)生能在動(dòng)中求靜，靜中思變，靈活運(yùn)用分類思想和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決問題非常有效，它可幫助我們理清思路，擊破難點(diǎn)。

總之，數(shù)與形不能分道揚(yáng)鑣，它們是有機(jī)的結(jié)合體，數(shù)形結(jié)合是架起數(shù)與形的橋梁，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題直觀化、生動(dòng)化、形象化，數(shù)與形的結(jié)合使得代數(shù)與幾何緊密相聯(lián)，息息相關(guān)，互相吸取新鮮的活力，使得數(shù)學(xué)更具有生機(jī)和活力。在解題中，如果善于由形思數(shù)，由數(shù)思形，數(shù)形滲透，雙向聯(lián)想，將會(huì)大大地開闊解題思路，提高解題技巧，使解決的問題達(dá)到似至晦，實(shí)至明，似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，似至難，實(shí)至易之效果。

參考文獻(xiàn)：

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