以不變應(yīng)萬(wàn)變 從無(wú)圖變有圖

蘇建強(qiáng)

摘 要：無(wú)圖題往往需構(gòu)造圖形來(lái)輔助解決，而直接借助分類討論思想構(gòu)圖是常用的方法之一，在這樣的構(gòu)圖中，師生常處于“不知其所以然”的狀態(tài).教師應(yīng)該通過(guò)激活學(xué)生思維上的連接點(diǎn)，以尋求構(gòu)圖的關(guān)鍵所在：找不變的圖形和不變的數(shù)量關(guān)系.

關(guān)鍵詞：無(wú)圖；不變；構(gòu)圖

無(wú)圖題常需構(gòu)造圖形來(lái)輔助解決，構(gòu)圖過(guò)程不僅能考查學(xué)生對(duì)文本的解讀能力、空間想象能力，也是對(duì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的綜合考查.在實(shí)際操作中，學(xué)生往往不能把握構(gòu)圖的“七寸”，甚至處于“束手無(wú)策”的狀態(tài)，教師也經(jīng)常游離于問(wèn)題解決的“核心”之外，只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林.為此，筆者有意進(jìn)行了探究和實(shí)踐，現(xiàn)以課例形式和讀者共饗.

一、目標(biāo)定位

1.經(jīng)歷無(wú)圖題中構(gòu)圖的一般過(guò)程，通過(guò)類比、分析，歸納構(gòu)圖的一般方法，發(fā)展學(xué)生幾何直觀、數(shù)學(xué)概括能力；

2.通過(guò)無(wú)圖題問(wèn)題的解決及構(gòu)圖一般方法的獲得過(guò)程，體會(huì)以不變應(yīng)萬(wàn)變的辯證思想在問(wèn)題解決中的應(yīng)用.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)踐

（一）推陳迎新 感知不變

新課伊始，教師給出兩個(gè)無(wú)圖題要求學(xué)生解答.

練習(xí)1 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（1，t）在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)P作直線l與x軸平行，點(diǎn)Q在直線l上，滿足QP=OP，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則k=_________.

練習(xí)2 在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數(shù)為 .

在學(xué)生的解答過(guò)程中，教師讓兩名學(xué)生分別把求解的簡(jiǎn)要過(guò)程寫在黑板上指定的位置（兩名學(xué)生無(wú)一例外地都畫了草圖，如圖1、圖2）.待絕大多數(shù)學(xué)生完成解答后，教師追問(wèn).

問(wèn)題1 你是怎么確定線段PQ中Q點(diǎn)的位置的？

生1：（對(duì)著所畫圖1）因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l上，并且QP=OP=，于是，，這樣就可以求出k的值了.

問(wèn)題2 △BDE中E點(diǎn)的位置你是怎樣確定的？等腰三角形BDE中，什么量是確定的？

生2：因?yàn)椤鰾DE中BD位置是確定的，所以一個(gè)E在BD左邊，另一個(gè)在右邊，等腰三角形BDE中頂角∠BED=120°，這是已知的.

問(wèn)題3 以后碰到類似的無(wú)圖題，我們?cè)撛趺崔k？

學(xué)生：（異口同聲，很自信）先畫圖！

設(shè)計(jì)意圖：教師直接給出學(xué)生能獨(dú)立解決的兩個(gè)無(wú)圖題，問(wèn)題1、問(wèn)題2的設(shè)置意在引導(dǎo)學(xué)生變換視角，從理性角度分析“為什么會(huì)想到這樣構(gòu)圖的”，引起對(duì)問(wèn)題解決中思維方式的反思，起到了先行組織者作用.對(duì)問(wèn)題3的思考，學(xué)生都停留在“先畫圖”的層面上，這樣的回答盡在教師的掌握之中，此時(shí)教師也并不急于引導(dǎo)學(xué)生分析歸納一般方法.

（二）對(duì)比歸納 理解不變

基于學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，又能通過(guò)變換視角發(fā)現(xiàn)更一般規(guī)律的設(shè)計(jì)，往往更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、求知欲，從而提高課堂教學(xué)的有效性.有了以上鋪墊，教師給出練習(xí)3.

練習(xí)3 在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，CD=AE.若AD=12，AB=20，求tan∠ECD的值.

在教師“有圖嗎，怎么辦”的引導(dǎo)下，多數(shù)學(xué)生都能很快完成其中一種情況的構(gòu)圖及解答.學(xué)生代表在黑板上畫出符合條件的兩圖形后（如圖3、圖4），教師追問(wèn)完成下列問(wèn)題.

問(wèn)題4 你是怎么想到符合條件的圖形有兩個(gè)的？

生3：題目中沒(méi)說(shuō)三角形的形狀，所以應(yīng)該一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角的.

此時(shí)，教師并沒(méi)有在銳角三角形、鈍角三角形上和學(xué)生進(jìn)行深入討論.

問(wèn)題5 對(duì)比圖1、圖2，你能發(fā)現(xiàn)其中都有哪些不變的圖形或數(shù)量關(guān)系？

生4：AD，AB的長(zhǎng)度是不變的.

生5：（大聲地）△ABD的形狀和大小都不變的.

問(wèn)題6 如果我們先畫出這個(gè)不變的△ABD，那么在△ABC中的點(diǎn)C的位置在哪里？（稍做停頓）在△ABD哪條邊所在的直線上？

生2：在BD直線上，因?yàn)锳D為△ABC的高線，所以C， D， B在一條直線上.又因?yàn)镃D=AE=10，所以左邊一個(gè)右邊一個(gè).

此時(shí)，教師自言自語(yǔ)“原來(lái)這兩個(gè)圖可以合二為一”，并用圓規(guī)將圖3改為圖5.

問(wèn)題7 生5說(shuō)得好，練習(xí)3中△ABD的形狀大小不變.請(qǐng)大家回憶一下，剛才生2說(shuō)練習(xí)2中△BDE的什么是不變？練習(xí)1中呢？

學(xué)生：（補(bǔ)充回答）練習(xí)2的△BDE中BD位置不變，練習(xí)1中點(diǎn)P位置不變.

問(wèn)題8 由此可知，解決無(wú)圖題中畫圖的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生：（七嘴八舌地）找到所作圖形中不變的圖形，然后根據(jù)題目所給的數(shù)量關(guān)系就可以畫出來(lái)了.

設(shè)計(jì)意圖：教師的“有圖嗎，怎么辦”兩問(wèn)看似多此一舉，其實(shí)突出“無(wú)圖變有圖”之意明顯，正所謂“腦中無(wú)圖學(xué)了糊涂，腦中有圖學(xué)了清楚”.問(wèn)題4的設(shè)置意在促使學(xué)生回顧問(wèn)題解決中的思考過(guò)程.問(wèn)題5、問(wèn)題6是通過(guò)對(duì)比兩圖形找到它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，為變換視角尋求解決問(wèn)題的一般途徑做好鋪墊.問(wèn)題7、問(wèn)題8意在讓學(xué)生經(jīng)歷反思?xì)w納的過(guò)程，突出解決無(wú)圖題的關(guān)鍵在于構(gòu)圖，而“構(gòu)圖”的關(guān)鍵在于尋找圖中不變的圖形和不變的數(shù)量關(guān)系.

（三）拓展升華 強(qiáng)化不變

養(yǎng)兵千日用兵一時(shí)，歸納總結(jié)得到“構(gòu)圖”的一般方法后，教師給出了有一定綜合背景的練習(xí)，以期促使學(xué)生進(jìn)一步鞏固理解所學(xué)新知.

練習(xí)4 點(diǎn)A，B，C都在半徑為的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點(diǎn)H，若，求∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng).

幾分鐘的獨(dú)立思考后，見(jiàn)學(xué)生臉帶難堪，教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意.得到本題的實(shí)質(zhì)就是求∠ABC的度數(shù)后，正要組織學(xué)生畫圖分析.生2舉手了，教師打住自己思路，示意生2發(fā)言.endprint

生2：這個(gè)題目的圖形有三種情況，但結(jié)果只有兩個(gè)，一個(gè)是30°，另一個(gè)150°.

教師：你具體說(shuō)說(shuō)怎么做的.

生2大方地走上講臺(tái)，畫了一個(gè)草圖（如圖6）.

生2：（指著圖6，一邊比劃一邊解釋）我先畫了這么一個(gè)草圖，結(jié)果發(fā)現(xiàn)圖中與邊BH和AC有關(guān)的△BHD和△ADC是相似的，于是就知道了對(duì)應(yīng)邊BD與AD的比值為，所以求出了一個(gè)∠ABC為30°.（稍喘了一口氣后繼續(xù)）之后我又發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)圖中△ABD的大小雖然可以改變，但它的形狀是不變的，所以我就把它定下來(lái)了.點(diǎn)C作為△ABC中不確定的點(diǎn)，應(yīng)該在BD直線上運(yùn)動(dòng)，所以它可以在BD延長(zhǎng)線上、BD上或DB延長(zhǎng)線上共三種情況.當(dāng)點(diǎn)C在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠ABC=150°，和原來(lái)的角互補(bǔ)（指著圖6）.

隨著生2略帶羞澀地回到自己座位的同時(shí)，教室里的學(xué)生若有所悟地開(kāi)始騷動(dòng)起來(lái)（當(dāng)年難倒一片學(xué)生的壓軸題，就這樣被秒殺了），進(jìn)而響起了熱烈的掌聲.

教師平復(fù)了一下自己內(nèi)心的激動(dòng)后，似乎想一探究竟地問(wèn)道：是不是生2有什么解決這類問(wèn)題的秘訣，還是請(qǐng)他來(lái)談?wù)勛约旱目捶?

生2：（一邊解釋一邊補(bǔ)充）這類問(wèn)題其實(shí)只要先畫出一個(gè)最簡(jiǎn)單的圖形（最好是銳角三角形），再找出其中不變的圖形，根據(jù)這個(gè)圖加上已知的數(shù)量關(guān)系推演開(kāi)去就行了（就是讓不確定的點(diǎn)動(dòng)起來(lái)）.

教室里再次響起了熱烈的掌聲.

設(shè)計(jì)意圖：事物的本質(zhì)往往隱含于紛繁復(fù)雜的外表之下的，去偽存真才能找到解決問(wèn)題的捷徑，顯然這就是練習(xí)4設(shè)置的用意所在.經(jīng)歷了找不變的點(diǎn)，到不變的線段，進(jìn)而是不變的三角形，最后落腳于練習(xí)4中三角形的形狀不變的設(shè)計(jì)也在情理之中.學(xué)生2的表現(xiàn)雖出人意料，但就整堂課的設(shè)計(jì)來(lái)看卻是水到渠成之筆.

三、教學(xué)反思

（一）基于最近發(fā)展區(qū) 從無(wú)圖變有圖

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，基于學(xué)生已有發(fā)展水平的教學(xué)設(shè)計(jì)才能有效地達(dá)成教學(xué)目的.本節(jié)課的設(shè)計(jì)，意在學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣基礎(chǔ)上，通過(guò)改變視角重新探求構(gòu)圖的一般方法.練習(xí)題的設(shè)置中，既體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生原有認(rèn)知的尊重，又在對(duì)原有解法中的不變圖形和不變量的分析中，逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)解決無(wú)圖題中構(gòu)圖方法的再認(rèn)識(shí). 用變換視角后的方法來(lái)尋求練習(xí)4的解決之路，更給人以“柳暗花明又一村”之感.

（二）基于活動(dòng)體驗(yàn) 以不變應(yīng)萬(wàn)變

數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得是一個(gè)學(xué)生主動(dòng)參與，積極求索的過(guò)程，因而一系列有助學(xué)生探究的活動(dòng)設(shè)計(jì)是必不可少的.本節(jié)課從三個(gè)起點(diǎn)較低的練習(xí)著手，采用啟發(fā)歸納為主的方法，探究無(wú)圖題中構(gòu)圖的一般方法，設(shè)置的初衷是為了營(yíng)造更適合學(xué)生參與，更關(guān)注思維的活動(dòng)氛圍. 在活動(dòng)的組織形式上，看似形散實(shí)則神聚，整堂課充滿生生、師生之間的交流和合作.學(xué)生在觀察、對(duì)比、猜想、總結(jié)中，悟出了構(gòu)圖的一般方法的同時(shí)，以不變應(yīng)萬(wàn)變的辯證思想在實(shí)際問(wèn)題的解決中的應(yīng)用也就呼之欲出了.endprint