以《平面向量》教學(xué)為例探討新課程體系下高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)策略

康素玲　劉娟

【教學(xué)難點(diǎn)】

難點(diǎn)：平面向量與共線向量的概念，向量幾何表示的生成過(guò)程.

【應(yīng)對(duì)策略】

（1）創(chuàng)設(shè)情境，先使學(xué)生由感受現(xiàn)實(shí)中既有大小，又有方向的量，然后逐漸增加信息，以便達(dá)到理性認(rèn)識(shí)所必備的信息量；

（2）學(xué)生模仿抽象數(shù)量概念的過(guò)程，從同一類(lèi)事物中歸納出向量的概念；

（3）通過(guò)將向量與數(shù)量進(jìn)行比較，以便深層次地理解向量概念；

（4）讓學(xué)生將已學(xué)習(xí)過(guò)的直線（段）平行和共線與共線向量這一新知之間建立起聯(lián)系，灌輸類(lèi)比思考的思想；

（5）類(lèi)比數(shù)的表示方法引出向量幾何表示方法，由具體向量的有向線段表示進(jìn)而推廣到一般向量幾何表示。

這一堂課的教學(xué)中，首先以問(wèn)題指引過(guò)程，然后教師指導(dǎo)、學(xué)生提問(wèn)、師生間交流，讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建向量與共線向量的概念。目的是使學(xué)生體驗(yàn)新概念由來(lái)的全過(guò)程，深刻理解新、舊知識(shí)間聯(lián)系。

1 創(chuàng)設(shè)情境 建構(gòu)概念

例2 教師節(jié)到了，來(lái)自小夢(mèng)的一條微信祝福這樣寫(xiě)道：“謝老師您好，教師節(jié)快樂(lè)！我在離銅陵市直線距離約400千米的某個(gè)城市讀大學(xué)，您猜猜我現(xiàn)在在哪個(gè)城市？”

[設(shè)計(jì)目的] 設(shè)置學(xué)生熟識(shí)的情境，指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考.讓學(xué)生明白只有大小卻沒(méi)有方向，并不能給出具體的位置，說(shuō)明位移是一個(gè)既有大小，又有方向的量。

[教學(xué)片段]

師：借助高德地圖，老師定位地圖上杭州、南京、九江等城市離合肥400千米。你能不能確定是哪所城市呢？

生：不能。

師：為什么不能確定呢？

生：因?yàn)椴恢谰唧w方向。

師：這么說(shuō)位移不僅要求有大小，而且有方向。

【問(wèn)題1】請(qǐng)同學(xué)們?cè)僭囍信e出一些既有大小，又有方向的量？

[設(shè)計(jì)目的]激發(fā)學(xué)生的已有的經(jīng)驗(yàn).通過(guò)詢(xún)問(wèn)有沒(méi)有只有大小，沒(méi)有方向的量的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)比，顯示向量的兩個(gè)要素。

[教學(xué)片段]

生：重力、浮力、彈力……

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)哪些量是僅僅有大小卻沒(méi)有方向的量？

生：年齡、身高、面積、體積等。

師：我們一起溫習(xí)數(shù)的概念，我們能夠從一個(gè)文具盒、一把小刀、一支鋼。

筆……中抽象出僅有大小的數(shù)量“1”。同樣地，我們也能夠?qū)α?、位移、速度……這些既有大小，又有方向的量形成一種新的量。

師：我們把既有大小，又有方向的量稱(chēng)為向量，把那些僅有大小，沒(méi)有方向的量叫做標(biāo)量[1]。

[設(shè)計(jì)目的]這節(jié)課在“平面向量”這一章中起到“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用.它解答了平面向量這章“是什么”、“為什么”、“學(xué)什么”、“怎么學(xué)”的問(wèn)題，點(diǎn)明學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)、向量的研究對(duì)象和方法。

2 幾何表示 理解概念

【問(wèn)題 2】實(shí)數(shù)在數(shù)軸上是如何表示的？

[設(shè)計(jì)目的]與實(shí)數(shù)的點(diǎn)表示進(jìn)行類(lèi)比，尋找向量幾何表示方法。

[教學(xué)片段]

生：可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.

師：我們知道實(shí)數(shù)通常能夠用數(shù)軸上某一點(diǎn)來(lái)表示，并且不同的點(diǎn)所表示實(shí)數(shù)是不同的?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)跀?shù)軸上畫(huà)出表示實(shí)數(shù)0，1的點(diǎn)和任一實(shí)數(shù)a的點(diǎn)。

生：先畫(huà)出數(shù)軸，再標(biāo)注點(diǎn)的位置（如圖1）。

圖1 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上表示

師：實(shí)數(shù)a是一個(gè)數(shù)量，我們用數(shù)軸上的點(diǎn)A來(lái)表示，這里實(shí)際上就是用幾何圖形來(lái)表示了實(shí)數(shù)a，既然數(shù)量可以這樣表示，那么我們是否也可以找到一種幾何圖形來(lái)表示平面向量呢？

[師生互動(dòng)]兩回顧、一探究：大家回顧浮力如何表示及實(shí)數(shù)中絕對(duì)值符號(hào)的具體使用情況，研究向量的幾何表示、字母表示，向量的模的字母表示。

[設(shè)計(jì)目的]浮力通常用“帶箭頭的線段”表示，這是已學(xué)知識(shí)，將該內(nèi)容進(jìn)行條理化、系統(tǒng)化，是為了強(qiáng)化新知，讓舊知生長(zhǎng)出新知.在實(shí)數(shù)的兩邊畫(huà)兩條平行且等長(zhǎng)的豎線段表示“表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”，把這種符號(hào)表示類(lèi)比到向量的模的字母表示，這樣學(xué)生容易接受。

3 探究實(shí)例2引出關(guān)系

【探究互動(dòng)】

在坐標(biāo)紙上畫(huà)出如圖 所表示的向量.

（1）圖中哪些向量是單位向量？

（2） ， ， 三個(gè)向量的方向有何關(guān)系？

（3） ， 在大小和方向有何關(guān)系？

圖2 向量

[設(shè)計(jì)目的]鞏固單位向量的概念；上面探究將平行向量、相等向量和共線向量的概念形成過(guò)程聯(lián)系起來(lái)。

[教學(xué)片段]

師：坐標(biāo)紙中哪些向量是單位向量？

生： ， ， ，

師：為什么它們是單位向量？

生：因?yàn)樗鼈兊哪６嫉扔?個(gè)單位。

師：?jiǎn)挝幌蛄亢退鼈兊姆较蛴嘘P(guān)系嗎？

生：沒(méi)有。

師：坐標(biāo)紙中哪些向量不是單位向量？

生：

師：我們從向量大小的角度尋找到了單位向量.大家已經(jīng)知道向量不僅有大小，還有方向.請(qǐng)大家想想 ， ， 這三個(gè)向量的方向什么關(guān)系？

生： 與 方向相同， 與 方向相反， 與 方向相反。

師： ， ， 中有零向量嗎？

生：沒(méi)有。

師： ， ， 所在的線段之間的位置關(guān)系是什么？

生：平行。

師：我們把方向相同或相反的非零向量稱(chēng)為平行向量[2]， // 記作。

師：大家想不想知道零向量的方向？

生：想。

師：我們規(guī)定任一向量跟零向量平行，是指？坌 ， // 有。

師： ， 在大小和方向上有何關(guān)系？

生：長(zhǎng)度相等，方向相同。endprint

師：也表示 、 的兩個(gè)基本要素是完全一樣的。數(shù)學(xué)上，長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量[3]，記為 = 。

圖3 向量

師：如圖3， 與 之間什么關(guān)系？那 與 之間什么關(guān)系？

生：都是相等的。

師：“相等”說(shuō)明能用同一條有向線段 來(lái)表示兩個(gè)相等的非零向量 和 ，注意與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。即能夠?qū)⒎橇阆蛄?和 在平面內(nèi)平移到 的位置且平移后向量與原向量重合。類(lèi)似地，我們同樣能夠作 ， 相等。此時(shí)，我們將一組平行的向量 ， ， 都平移到了同一條直線上。（注意：平行向量也稱(chēng)作共線向量）。

【獨(dú)立探究】探討有向線段與向量的差別和聯(lián)系？

[設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生之間互助學(xué)習(xí)，感受向量能夠在平面內(nèi)隨意平移且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).

[教學(xué)片段]

生：我們組討論的結(jié)果是有向線段的三要素：起點(diǎn)、長(zhǎng)度與方向，而向量是由自己的方向與模決定，跟起點(diǎn)無(wú)關(guān)[4]。

【小結(jié)】我來(lái)請(qǐng)一位學(xué)生回答本節(jié)課總共學(xué)習(xí)了哪些新的概念。

圖4 平面向量概念圖

[設(shè)計(jì)目的] 先讓同學(xué)們總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容概要，然后老師進(jìn)行提煉補(bǔ)充，最后總結(jié)學(xué)習(xí)新概念的一般思路如圖5：

圖5 小結(jié)流程圖

本節(jié)介紹本堂課需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容、意圖及學(xué)習(xí)任務(wù).本節(jié)課概念很多，內(nèi)在聯(lián)系相當(dāng)嚴(yán)密，概念的獲得過(guò)程要與同學(xué)們的認(rèn)知規(guī)律相符.在本節(jié)課的教學(xué)中，應(yīng)該著重掌握從“特殊”到“一般”的思想和“類(lèi)比”思想的應(yīng)用.在向量概念教學(xué)時(shí)，老師可以指導(dǎo)同學(xué)舉出相仿的實(shí)例，歸納相同特點(diǎn)，從而得到向量概念. 在討論向量的幾何表示、字母表示、定義零向量與單位向量、研究向量之間關(guān)系時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將已具備的經(jīng)驗(yàn)（如實(shí)數(shù)與力的幾何表示、線段的字母表示、 和 的特殊性、線段平行和共線等）類(lèi)比到向量的幾何表示、字母表示、零向量和單位向量的特殊性、平行向量和共線向量等概念中.這種類(lèi)比可以讓學(xué)生自主、高效地認(rèn)知向量的相關(guān)概念，同時(shí)也替教師和學(xué)生共同探討新概念的形成過(guò)程提供了明顯的思路.課后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從中感悟一個(gè)數(shù)學(xué)新概念的基本思路：從同類(lèi)事物中抽象出本質(zhì)特征.在課堂教學(xué)中，應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)進(jìn)行舉例、互評(píng)、探究等活動(dòng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉德，林旭.學(xué)習(xí)高手?jǐn)?shù)學(xué)4必修配新課標(biāo)人教A版[M].光明日?qǐng)?bào)出版社，2006.

[2]李秀蘭.向量概念規(guī)律探究[J].中學(xué)生數(shù)理化：高一版，2011，（5）：3-3.

[3]舒美愛(ài)，徐莉.數(shù)學(xué)第二冊(cè)[M].立信會(huì)計(jì)出版社，2011.

[4]何新江.向量的不合常理性質(zhì)的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2005，（9）：21-23.

[責(zé)任編輯：張濤]endprint