高考數(shù)學試題題源及命題方法探究

李源

摘要：高考是我國目前最為重要的高等人才選拔方式，因此高考題型選擇、命題方法的合理性也會直接影響到考核、選拔方式的有效性。對于教師而言，對題源、命題方法的探析也有助于總結(jié)重點，降低學生海量練習的負擔，對于教育機構(gòu)而言，對于題源、命題方式的合理化構(gòu)建也有助于提升命題制度的效度、信度。由此，本文對高考數(shù)學命題方法進行分析，根據(jù)命題原則和方法對廣東近幾年高考題源進行分析，從而總結(jié)題源特點，基于此結(jié)果對教師教學提供相應參考和建議。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學；題源；命題；廣東高考

【中圖分類號】G633.6

2015年高考已經(jīng)落幕，對比2015年廣東文理科高考試題不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學試卷題目難度略有下降，相較于前幾年難度較高的情況而言，立體幾何、數(shù)列、幾何解析等試題的難度略有加大，其他函數(shù)等其他類型題目難度有明顯下降。從表面上看，高考試題的定、選似乎并無規(guī)律，但從命題方法的角度來看實際上都是有據(jù)可循的。由此，本文提出了對高考數(shù)學題源、命題方法的探究，希望由此來降低高考備戰(zhàn)中練習量過大、教師難以抓住重點的問題。

一、高考數(shù)學命題改造法的原則與基本方法

在高考較高的要求下，采用改造法命題也需要遵循以下三大原則：

其一，科學性。簡單來說是要保證題目敘述的完整性、嚴謹性、流暢性等幾點。在命題過程中，需要仔細斟酌用語的精煉性，保證文字流暢、術(shù)語規(guī)范、插圖精確，避免出現(xiàn)多種理解的可能性。于此同時，題目中不能出現(xiàn)冗余的描述，例如證明性題目中條件充分的情況下避免出現(xiàn)多余描述。從目前高考命題的要求來看，多余描述無法嚴格控制，甚至為了考慮學生接受能力差異，也可以適當增加額外描述，一次來降低題目難度，平衡考核的全面性和公平性。另外，還應當保證結(jié)論的可行性，即題目是可證明、可計算、可實現(xiàn)的。

其二，新穎性。這是高考命題最為重要的原則之一，高考是我國規(guī)模最大、標準最為統(tǒng)一的考試，命題只有保證新穎性才能夠保證公平的競爭環(huán)境，才有助于合理的考核學生智力水平，規(guī)避題海戰(zhàn)術(shù)。當然，在當前情況下還是很難實現(xiàn)完全新穎的命題，但應當盡可能的對陳題進行最大限度的改造。

其三，選拔性。高考是重要的人才選拔考試，命題在保證公平性的同時還應當體現(xiàn)出難度的層次性，實現(xiàn)試題的區(qū)分度。只有這樣才能夠更好的保證對學生程度、層次、能力的有效考察，從而鑒別考生的綜合能力。

二、高考數(shù)學改造法命題實例分析

（一）改造法命題基本方法

一道試題改造得是否成功可從以下兩個維度進行：判斷題目的信息形態(tài)，包括試題的背景情節(jié)、數(shù)據(jù)形態(tài)、數(shù)學關(guān)系；試題的解題思想方法。

以上兩個維度是試題區(qū)別于題源的本質(zhì)屬性所謂命題技術(shù)就是在命制試題時用到的方法和技巧以上述兩個維度為標準，從題胚的信息形態(tài)出發(fā)，一是通過對試題的背景情節(jié)、數(shù)據(jù)形態(tài)、數(shù)學關(guān)系等進行加工、變換，二是繼承或改變題胚解題思想方法或者添加解題技巧等，對題胚進行改造。

（二）改造法命題方法題源特點分析

總結(jié)改造法命題方法來看，在實際應用中可以分為三種表現(xiàn)形式，即條件結(jié)論改造、類比改造、背景改造三類。

1）條件或結(jié)論改造

條件改造是對問題條件進行改造的方式，數(shù)學題一般有四種命題關(guān)系，即命題、逆命題、否命題、逆否命題，四種名題關(guān)系不一定為真。對此類命題進行逆向、變通式的改造就很容易出現(xiàn)新穎的題目。當然也可以從信息的描述形式、熟練關(guān)系、數(shù)學內(nèi)容等角度盡心改變，從而得出新穎的命題。

下題為2014年廣東高科理科8。

例1：設集合 ，那么集合 中滿足條件“ ”的元素個數(shù)為：

A.60 B.90 C.120 D.130

該題主要考察分類計數(shù)原理和牌例組合知識，相對而言更側(cè)重于分類討論的思想以及邏輯思維嚴謹性的考察。在實際解析過程中，很容易出現(xiàn)忽略條件的問題。在今年許多教師對本題的分析和評價中都認為，自定義題目很容易讓考生產(chǎn)生錯愕感，進而在階梯過程中忽略某些重要的條件。本題雖然被列為集合創(chuàng)新題，但筆者在翻閱歷年各地高考試卷與名校模擬卷發(fā)現(xiàn)，本題實際上就是對2012年安徽知名的合肥一中第二季度模擬考試數(shù)學卷7進行的條件改造，改造了原題中集合A所滿足的條件，進而改造結(jié)論，本質(zhì)上兩題并無明顯差別，這就是一種條件和結(jié)論改造的典型用例。

2）類比改造

類比改造是通過邏輯方法，將兩個特殊的對象一同比較，對其中一個相對特殊的條件或?qū)ο筮M行高在。例如題源已有條件a、b、c，有結(jié)論d，某新題有條件a、b、c但尚未制定結(jié)論時，可參照題源的模式進行分析，進而針對結(jié)論d制定完整的題目。由于類比法得到的結(jié)論具有或然性，因此所得的新題其科學性必須經(jīng)過嚴格的推敲在命制新題的過程中，要對源題的核心問題進行深入分析，抓住其本質(zhì)，對已知條件中部分信息加以改變，從而得到對應的結(jié)論，最后，要考察新題的科學性，這樣才能得到一個形式新穎結(jié)構(gòu)完整的新題。下題為2014年廣東高考理科數(shù)學13。

例2：等比數(shù)列 的各項均為正數(shù)，且 則 =________.

該題目考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)的基本運算，在難度上相對較高，在命題目標上側(cè)重于考察等差、等比數(shù)列性質(zhì)的裂解，以及對其基本運算的考量。該題目源題為2012年上海較大附中數(shù)理總復習季終練習題9，原題與本體條件一致，采用了選擇題，本題在原題的基礎上變更了題源數(shù)學條件的數(shù)值，并選取原題正確答案為本題結(jié)論，從而制定為一個新題。這樣就在不改變題目考核目標的情況下，修改了題目類型、描述，將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€新的題目。

3）背景改造

所謂背景改造法就是先后不同的高考題，對其賦予不同的背景，這些背景可以是生活背景，或者某些數(shù)學專題材料等，但背景的改變不會影響到試題的解題思想方法，即前后試題來源于同一內(nèi)容，其本質(zhì)是類似或相同的。下題為2009年廣東高考21題。endprint

例3：已知過原點的動直線 與圓 相交于不同的兩點 。

（1）求圓 的圓心坐標；

（2）求線段 的中點 的軌跡 的方程；

（3）是否存在實數(shù) ，使得直線 與曲線 只有一個交點？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，說明理由。

該題目重點圓錐曲線以及直線與圓的關(guān)系。本題問題3實際上與2012年重慶理科高考數(shù)學3的考察目標相似，原題在已知k條件存在的前提下分析直線與圓的相對關(guān)系，且原題的描述沒有經(jīng)過題目背景的現(xiàn)實化描述。本題雖然也未做相關(guān)現(xiàn)實性描述，但構(gòu)建了不同與原題選擇題的形式，而是設計了三個問題目標，在解決問題的過程中首先要完成題目背景的思考，實現(xiàn)了背景轉(zhuǎn)換；其次本體也對問題的條件和結(jié)論進行了置換。由此，此題實現(xiàn)了較為新穎的創(chuàng)新過程。

（三）近五年廣東高考數(shù)學試卷試題規(guī)律總結(jié)

自2004年開始廣東已經(jīng)開始嘗試高考自主命題，自從新課標實行依賴，試卷結(jié)構(gòu)逐漸趨于完善，結(jié)構(gòu)與內(nèi)容均有一定變化，但實際上始終存在內(nèi)在規(guī)律?；诖颂攸c，筆者對近五年廣東高考數(shù)學卷進行了分析，總結(jié)了如下幾個較為側(cè)重的傾向性要點：

第一，07、08、09、11、13年廣東高考卷均出現(xiàn)了模塊交匯式解答題，此類試題的切入點主要集中在概率的分布列以及等比數(shù)列中的錯位相減，兩類知識點存在交匯，試題看似新穎，但考點并未脫出課標重點，僅通過條件改造等方法對一些原題進行改造。針對這類試題，可多練習交叉式解答題，對解答題中常用的考察知識點進行組合，然后練習相應解法；對于高三教師而言，應注意模塊交叉和綜合性的試題練習應盡量避免使用舊的復習資料，盡量精選素材，針對交叉性試題進行有目標性的訓練練習，大面積提高教學成效；對于高考組卷而言，這種條件改造方法也極具特色，值得長期使用。

第二，11年以后開始逐漸出現(xiàn)的對高中傳統(tǒng)數(shù)學知識體系中主干知識點的重點考察。這類試題多以一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式等重點方程知識點的重復考察，一方面表現(xiàn)在每年試卷中均有此類試題，另一方面表現(xiàn)在單年試卷中此類知識點出現(xiàn)次數(shù)相對頻繁（一般在三次以上）。針對此類問題，可以著重對重點知識點進行重復練習，精講多練，以求熟能生巧；對于組卷命題方而言，對于重點知識的考察要始終遵循課標要求，可優(yōu)先采用類比改造法進行命題，保證命題新穎的同時也不過分提升對主干知識點考察的難度。

第三，12年廣東高考文科卷出現(xiàn)了重點考察學生閱讀能力的試題，這在以往很少出現(xiàn)（僅有07年廣東高考理科第7題），隨后三年試卷中均出現(xiàn)同類型試題。此類試題難度相對較高，但重點在于對題干文字、語言、圖形等的理解，考察考點分布雜亂，規(guī)律性不足。針對此類試題，教學中可采用增加學生閱讀式訓練的方式進行練習，發(fā)現(xiàn)學生多元智能背景下理解能力的差異性，提升學生閱題能力；對于高考組卷而言，此類試題應多采用背景改造法進行命題，緊密聯(lián)系生活實際和時事，避免題目本身過于繁復。

第四，14、15年廣東高考中卷尾出現(xiàn)的類似初中考題的壓軸性題目。這類題目在2005年廣東高考中出現(xiàn)過，隨后數(shù)年高考試卷中少有出現(xiàn)，此類試題題源源自一般性的初中數(shù)學試題，但考察知識點改造為高中重點問題，05、14、15年考察的此類題目均為初中平面幾何背景下的改造題目。綜合對比此類題目可以發(fā)現(xiàn)，改造方法多以初中平面幾何題為基礎，備考過程中可通過整理類似試題進行多點訓練，無需進行專題練習。

第五，少量的數(shù)學競賽改造題。此類試題的比例有明顯下降，可適當整理歷年廣東卷、全國卷或重點名校試卷的壓軸題，增加學生對采用競賽類階梯思想的試題的解題能力，為優(yōu)等生提供更為充足的保障，為普通學生提升加分空間。

總體對比2011—2015年廣東高考理科卷試題來看，考察重點集中在函數(shù)導數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計幾個方面，備考可著重傾向此類試題進行練習；縱向?qū)Ρ纫部砂l(fā)現(xiàn)廣東高考數(shù)學試卷難度呈現(xiàn)逐年下降趨勢，因此可將以往重點練習壓軸題做法進行變革，向主干性知識點靠攏，保證學生基本知識的掌握以及解題能力的穩(wěn)定性。

三、基于高考數(shù)學題源與命題特點提出的教學與學習建議

高考數(shù)學命題方法的研究是一項系統(tǒng)而又影響深遠的艱巨工作，它不僅建立在對解題方法的深入研究上，而且要求研究者全面而系統(tǒng)地掌握試題資料。另外它還要求研究者對高考試題的特征，高考數(shù)學命題的理論、原則和方法有深刻的理解。對于教師和學生而言，如果能夠?qū)Ω呖济}方法、題源特點有更好的理解，也有助于學生更好的應對高考這一重要的考試項目。由此，筆者也結(jié)合本文分析，提出了教師以及學生的應對建議。

對教師而言，應對教材上的例題、習題及高考試題進行認真分析講評，注意換位思考，如果自己命題，可將教材上的例題、習題作怎樣的變化能否通過對已有題目的進行改造變式，從而命制出新的，適合學生當前學習水平的題目并將這些變式的思想應用于日常的教學當中，培養(yǎng)學生的應變能力。在教學中采取變式教學變，就是采用變式的方式進行教學變式，也可以看作是一種“改造”。變式教學的具體實施方法有很多，如題組辨誤、姐妹題對比、條件一般化、逆向設問、延伸拓展等等

對于學生而言。首先要樹立換位思考的觀念，可以把自己當做高考試題的命題者，在平時的練習、考試、題目評講或者是遇到典型的試題時候，試著想一下自己可以如何變化這個題目使其成為一道新的高考試題，從而培養(yǎng)自己這種變式求新的意識，使自己牢牢掌握高考的主動權(quán)。其次要善于總結(jié)和反思，復習有關(guān)的數(shù)學知識和解題方法，注意進行解題反思，盡力做到積累解題經(jīng)驗?？偨Y(jié)知識提取是否熟練。題目涉及到哪些知識。題目特殊在哪里；思考學習和應用的方法，用到哪些數(shù)學思想方法，為什么要用這種方法，解題的關(guān)鍵是什么，突破口在何處，能否推廣方法，是否具有一般性；總結(jié)自身弱點，為什么自己沒有解出題目，自己存在那些錯誤，為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤，通過反思總結(jié)，培養(yǎng)直覺猜想、歸納抽象、演繹證明、運算求解等理性思維能力，每題必思，終有收獲。

以廣東高考數(shù)學考試為例，命題組組長在2014年換任，在命題方法、命題傾向、考核內(nèi)容權(quán)重分配上較之以往有了較為顯著的改變，尤其是概率統(tǒng)計、圓錐曲線、函數(shù)和導數(shù)等命題特點和方向有所變化，但我們無法判斷這樣的改變會持續(xù)幾年?？v向?qū)Ρ?013年、2014年廣東高考數(shù)學試題可以發(fā)現(xiàn)，試卷結(jié)構(gòu)并未發(fā)生改變，但題目沒有出現(xiàn)相鄰兩年間試題的改造和基于前一年試題的創(chuàng)新命題，大題難度變化不大，但總體難度有所提升；其中考察重點依舊分布在附屬基本運算、幾何相關(guān)勻速、向量或統(tǒng)計計算、函數(shù)判斷或計算、幾何三視圖、計數(shù)原理與古典概率、向量的數(shù)量積及相關(guān)推理論證、絕對不等式、二項式相關(guān)運算、圓與直線等方程、倒數(shù)計算、三角函數(shù)、升降冪、回歸分析、頻率分布與超幾何分布等數(shù)學期望、垂直關(guān)系變化、通項公式求解、幾何交集極值求解等重點項目。由此可見，高考試題考察重點的變化相對較小，如果能夠把握重點，掌握理論本質(zhì)，就能夠做到一通百通，及時面對花樣繁多的命題創(chuàng)新依然可以快速尋求高效準確的解題方法。對于教師和能夠而言，無論命題方式如何改變，考試所考察的內(nèi)容和重點始終實在大綱之內(nèi)，堅持采用合理的教學總結(jié)、學習總結(jié)方法，對高考試題題源和命題特點進行整理，就能夠在本質(zhì)上解決上述問題，實現(xiàn)更佳的全面應對能力。

參考文獻：

[1]韋莉，張兵.2009年高考創(chuàng)新題的欣賞與品味[J].數(shù)學教學研究.2009（11）

[2]馮紅果.福建省教育廳重點課題《新課程背景下高考數(shù)學命題改革》研究成果（三十五）高考命題中的“推陳出新”[J].福建中學數(shù)學.2009（11）

[3]白薇.高中數(shù)學應用題的原創(chuàng)題型教學研究[D].華東師范大學2007

[4]唐銳光.一道高考題的新解法引發(fā)的命題——兼對文[1]質(zhì)疑，并解決文[2]的問題[J].中學數(shù)學雜志.2008（11）endprint