平面團(tuán)簇穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的蒙特卡羅樹(shù)搜索?

何長(zhǎng)春 廖繼海 楊小寶

(華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510640)

平面團(tuán)簇穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的蒙特卡羅樹(shù)搜索?

何長(zhǎng)春 廖繼海 楊小寶?

(華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510640)

(2017年4月7日收到;2017年6月18日收到修改稿)

以平面團(tuán)簇為例提出了一種結(jié)合結(jié)構(gòu)識(shí)別和蒙特卡羅樹(shù)技術(shù)搜索穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的新方法.體系原子之間的相互作用由兩類(lèi)模型勢(shì)能函數(shù)來(lái)描述:Lennard-Jones二體勢(shì)函數(shù)與基于Lennard-Jones勢(shì)的三體勢(shì)函數(shù).考慮可能的三角晶格碎片作為候選結(jié)構(gòu),引入編號(hào)策略對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行快速識(shí)別,并運(yùn)用蒙特卡羅樹(shù)搜索研究穩(wěn)定結(jié)構(gòu)隨著原子數(shù)增大的演化過(guò)程;對(duì)于能量較低的候選結(jié)構(gòu),進(jìn)一步采取局域優(yōu)化來(lái)獲得對(duì)應(yīng)體系的穩(wěn)定結(jié)構(gòu).計(jì)算表明,Lennard-Jones二體勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)的三角晶格團(tuán)簇更穩(wěn)定;在特定的參數(shù)下,三體勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)的六角晶格團(tuán)簇更穩(wěn)定.結(jié)合結(jié)構(gòu)識(shí)別和蒙特卡羅樹(shù)搜索可以對(duì)候選結(jié)構(gòu)空間進(jìn)行高效掃描,在較短時(shí)間內(nèi)更容易搜索到穩(wěn)定的團(tuán)簇結(jié)構(gòu),并可以與第一原理計(jì)算結(jié)合實(shí)現(xiàn)材料的結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè).

團(tuán)簇,結(jié)構(gòu)識(shí)別,蒙特卡羅樹(shù),全局優(yōu)化

1 引 言

團(tuán)簇一般由從幾個(gè)到上千個(gè)原子組成,是宏觀世界與微觀世界的連接紐帶,結(jié)構(gòu)豐富并具有很多奇特的性質(zhì),在物理、化學(xué)、材料等領(lǐng)域具有重要的研究?jī)r(jià)值[1?4].幻數(shù)(magic number)是團(tuán)簇的重要特征之一[5],而幻數(shù)結(jié)構(gòu)的確定在原子團(tuán)簇的研究中具有相當(dāng)重要的作用[6].近些年來(lái),各種各樣的原子或分子團(tuán)簇陸續(xù)在實(shí)驗(yàn)中被制備出來(lái),也引起了理論工作者的廣泛關(guān)注[7].例如,實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)惰性氣體的團(tuán)簇往往呈現(xiàn)出高對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)[8];理論研究指出,金屬團(tuán)簇在尺寸較小的時(shí)候是高對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu),而Ru55,Rh55,Pd55等的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)不是高對(duì)稱(chēng)性的正二十面體結(jié)構(gòu),而是面心立方結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的晶格碎片[9].實(shí)驗(yàn)中制備了不同尺寸的石墨烯量子點(diǎn),發(fā)光頻率覆蓋所有可見(jiàn)光范圍,其對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)是平面六角結(jié)構(gòu)的晶格團(tuán)簇[10];在從石油中提取和分離出來(lái)的納米金剛石團(tuán)簇,也是金剛石結(jié)構(gòu)的晶格碎片[11,12].有趣的是,體相的硼是由正二十面體堆積起來(lái)的結(jié)構(gòu),而硼團(tuán)簇傾向于形成平面三角結(jié)構(gòu),隨著原子數(shù)的增大體系將出現(xiàn)空位,出現(xiàn)由原子和空位形成的“合金”結(jié)構(gòu)[13,14].

理論對(duì)團(tuán)簇的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)研究也有很多相關(guān)的工作,其中包括對(duì)結(jié)構(gòu)能量的評(píng)價(jià)以及不同結(jié)構(gòu)的變換和篩選.一般來(lái)說(shuō),第一原理計(jì)算對(duì)能量的評(píng)價(jià)精度高,但比較耗時(shí),同時(shí)局域優(yōu)化方法(準(zhǔn)牛頓法、共軛梯度法等)對(duì)初始結(jié)構(gòu)依賴(lài)嚴(yán)重.在做結(jié)構(gòu)搜索時(shí),我們通常需要借助勢(shì)能函數(shù)簡(jiǎn)化能量的計(jì)算來(lái)提高搜索效率;然而,即使在給定的勢(shì)能函數(shù)的條件下,尋找原子團(tuán)簇的最優(yōu)結(jié)構(gòu)在理論上被證明為NP-Hard問(wèn)題,通常需要利用啟發(fā)式智能算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,使得候選結(jié)構(gòu)中不陷入局域最小值,實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)的結(jié)構(gòu)搜索,常見(jiàn)的方法包括遺傳算法[15]、粒子群算法[16]、蒙特卡羅模擬退火算法[17]、分子動(dòng)力學(xué)模擬[18,19]等.邵桂芳等[20]選擇經(jīng)驗(yàn)勢(shì)能來(lái)描述原子間相互作用,運(yùn)用改進(jìn)的Basin-Hopping Monte Carlo算法,研究了不同尺寸和不同比例下的Fe-Pt二元合金團(tuán)簇.張林等[21]結(jié)合遺傳算法和基于密度泛函理論的緊束縛方法(density functional tight binding,DFTB),搜索發(fā)現(xiàn)SimGe9?m團(tuán)簇存在的兩種低能原子堆積穩(wěn)定構(gòu)型.潘必才等[22]運(yùn)用兩種結(jié)構(gòu)搜索方法(壓縮液態(tài)法、遺傳算法)與鍺的緊束縛模型勢(shì)相互結(jié)合,確定了Ge65,Ge70,Ge75的能量較低的可能結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)這三種團(tuán)簇均具有兩類(lèi)穩(wěn)定、能量相近的異構(gòu)體:類(lèi)球形和類(lèi)橢球形.值得注意的是,在結(jié)構(gòu)搜索過(guò)程中,如果不進(jìn)行結(jié)構(gòu)檢查容易導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算而降低搜索效率.基于微粒群和遺傳算法等全局優(yōu)化方法,兩類(lèi)常用的搜索軟件Calypso[23]和Uspex[24]都提出了表征結(jié)構(gòu)相似性的算法,可以實(shí)現(xiàn)高效的結(jié)構(gòu)搜索.

理論上要確定團(tuán)簇的幻數(shù)結(jié)構(gòu),我們需要在給定原子數(shù)的條件下搜索能量最低結(jié)構(gòu),再根據(jù)能量隨原子數(shù)變化曲線的局域極值來(lái)實(shí)現(xiàn).Greiner等[25]選擇Lennard-Jones勢(shì)描述原子之間的相互作用,運(yùn)用團(tuán)簇生長(zhǎng)模型,在 N 個(gè)原子的最穩(wěn)定團(tuán)簇基礎(chǔ)上尋找 N+1個(gè)原子團(tuán)簇的最穩(wěn)定結(jié)構(gòu),被證明是一種效率較高的搜索方法.以平面團(tuán)簇的結(jié)構(gòu)搜索為例,我們用Lennard-Jones勢(shì)函數(shù)描述原子之間相互作用.我們選擇三角晶格團(tuán)簇作為初始結(jié)構(gòu),引入編號(hào)方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行識(shí)別檢查,避免相同結(jié)構(gòu)重復(fù)的能量評(píng)價(jià),可以很好地提高搜索效率.考慮到不同大小的晶格團(tuán)簇互相聯(lián)系,我們采用蒙特卡羅樹(shù)技術(shù)[17],以低能量為目標(biāo)進(jìn)行搜索.該方法可以同時(shí)兼顧到搜索的深度和廣度,可以很好地增加樣本的多樣性,提高低能量結(jié)構(gòu)搜索的成功率.在找到能量較低的結(jié)構(gòu)后,我們進(jìn)一步對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行局域優(yōu)化,獲得體系的最穩(wěn)定結(jié)構(gòu).

2 計(jì)算方法

我們的搜索方法主要包括結(jié)構(gòu)識(shí)別和蒙特卡羅樹(shù)技術(shù).選擇的初始結(jié)構(gòu)是晶格團(tuán)簇,可以根據(jù)對(duì)稱(chēng)性嚴(yán)格檢查兩個(gè)結(jié)構(gòu)是否全同;蒙特卡羅樹(shù)技術(shù)可以建立不同原子數(shù)構(gòu)型之間的聯(lián)系,同時(shí)根據(jù)體系能量的高低對(duì)不同分枝進(jìn)行重要性抽樣.

2.1 結(jié)構(gòu)識(shí)別

使用坐標(biāo)描述給定團(tuán)簇的構(gòu)型是簡(jiǎn)單易行的方法,但在結(jié)構(gòu)識(shí)別時(shí)很不方便.以平面三角晶格團(tuán)簇為例,我們按照編號(hào)的方法對(duì)結(jié)構(gòu)命名,可以實(shí)現(xiàn)快速的結(jié)構(gòu)檢查.首先,我們?cè)谌蔷Ц衿矫嫔线x擇一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn),根據(jù)其他格點(diǎn)到原點(diǎn)距離由小到大進(jìn)行編號(hào):對(duì)于距離相同的格點(diǎn),我們從極角最小者開(kāi)始,按照逆時(shí)針?lè)较驈男〉酱筮M(jìn)行編號(hào),格點(diǎn)的編號(hào)如圖1(a)所示.接著,對(duì)于給定的三角晶格團(tuán)簇,我們可以在已經(jīng)有編號(hào)的平面上,通過(guò)各個(gè)原子的坐標(biāo)分別找到對(duì)應(yīng)的編號(hào),并從小到大排序,獲得一組編號(hào)表示該結(jié)構(gòu)(注意:此時(shí)等價(jià)的結(jié)構(gòu)有多個(gè)可能的編號(hào)).最后,我們考慮可能的平移、反演、旋轉(zhuǎn)等平面三角晶格允許的對(duì)稱(chēng)操作,并記錄所有可能的編號(hào)數(shù)組,找出最小的編號(hào)作為該結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的編號(hào)(我們從第一個(gè)分量開(kāi)始逐次比較大小,如果第一個(gè)的分量相同就考慮下一個(gè)分量,以此類(lèi)推,比如[1-2-3]小于[1-3-4]),此時(shí)獲得的編號(hào)和結(jié)構(gòu)一一對(duì)應(yīng).結(jié)構(gòu)檢查時(shí)只需要比較兩個(gè)編號(hào)是否完全相同即可,從而有效提高了程序的運(yùn)行效率.當(dāng)原子數(shù)為4時(shí),共有七種同分異構(gòu)體,其結(jié)構(gòu)以及對(duì)應(yīng)的編號(hào)如圖1(b)所示.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)(a)三角晶格背景格點(diǎn)編號(hào);(b)原子數(shù)為4時(shí)的七種同分異構(gòu)體及其對(duì)應(yīng)的編號(hào)Fig.1.(color on line)(a)The nuMbered triangu lar lattice;(b)seven isoMers With 4 atoMs and the corresponding nuMber series.

2.2 蒙特卡羅樹(shù)搜索技術(shù)

對(duì)于平面三角晶格團(tuán)簇,我們根據(jù)編號(hào)方法可以很快遍歷得到原子數(shù)不大于10的全部結(jié)構(gòu)(其中原子數(shù)是10時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)數(shù)為30490),并根據(jù)勢(shì)能函數(shù)計(jì)算獲得體系的最優(yōu)結(jié)構(gòu).隨著原子數(shù)的增多,可能的候選結(jié)構(gòu)數(shù)目急劇上升,這要求我們只能選擇有限數(shù)量結(jié)構(gòu)來(lái)繼續(xù)增加原子.然而,簡(jiǎn)單選擇一些能量較低的結(jié)構(gòu),容易讓體系陷入局域最優(yōu);過(guò)多選擇結(jié)構(gòu),在有限的時(shí)間內(nèi)很難得到較為穩(wěn)定的結(jié)構(gòu).因此,我們借鑒了用于處理連續(xù)決策優(yōu)化問(wèn)題的上限信心策略(upper confidence bound).該算法最初是為了研究多臂賭徒模型(mu lti-armed bandit Model)[26,27],核心在于計(jì)算其信心索引Ij:

本文算法的流程圖如圖2(a)所示:我們根據(jù)初始的原子數(shù)為N的結(jié)構(gòu),按照能量的大小,依照玻爾茲曼分布進(jìn)行重要性抽樣得到一定數(shù)目的樣本,樣本j被抽到的概率Pj表示為

這里Ej是結(jié)構(gòu)樣本中第j個(gè)結(jié)構(gòu)的能量;k是玻爾茲曼常數(shù);T是溫度,用來(lái)調(diào)節(jié)搜索的廣度與深度.在這些樣本上增加一個(gè)原子拓展得到N+1個(gè)原子的結(jié)構(gòu),最后對(duì)能量最低的100個(gè)候選結(jié)構(gòu)進(jìn)行局域優(yōu)化.圖2(b)給出原子數(shù)為3的結(jié)構(gòu)通過(guò)選擇-拓展-選擇得到原子數(shù)為4的結(jié)構(gòu)的示例.首先,原子數(shù)N=3時(shí)有三個(gè)不等價(jià)結(jié)構(gòu),根據(jù)(2)式進(jìn)行重要性抽樣得到兩個(gè)結(jié)構(gòu),然后對(duì)這兩個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行完全拓展得到原子數(shù)N=4的六個(gè)結(jié)構(gòu),再根據(jù)(2)式進(jìn)行重要性抽樣得到三個(gè)結(jié)構(gòu),實(shí)際操作中我們選取每次抽樣的樣本數(shù)目隨著原子數(shù)的增加而相應(yīng)增加,重復(fù)進(jìn)行上述操作得到原子數(shù)更多的結(jié)構(gòu).

圖2 (a)搜索算法流程圖;(b)原子數(shù)從3到4的操作舉例Fig.2.(a)The fl oWchart of the search algorithm;(b)the exaMp le for the case froMN=3 to N=4.

相鄰原子數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)互相關(guān)聯(lián),我們可以得到類(lèi)似“樹(shù)”一樣的結(jié)構(gòu),在10個(gè)原子以?xún)?nèi)通過(guò)遍歷得到的是完整的“樹(shù)”.之后,我們根據(jù)能量的高低進(jìn)行了剪枝,使得“樹(shù)”出現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)性隨機(jī)生長(zhǎng),傾向于保留能量較低的結(jié)構(gòu),可以有效縮小范圍并提高搜索效率.這里,我們?cè)跇?shù)的每一層以一定概率選取初始的父結(jié)構(gòu),然后在這些結(jié)構(gòu)中進(jìn)行拓展計(jì)算出能量最低的結(jié)構(gòu),并根據(jù)概率選擇作為下一層的初始結(jié)構(gòu),并通過(guò)循環(huán)操作不斷增加體系的原子數(shù).其中概率是按照玻爾茲曼分布設(shè)置的,如(2)式所示.可以看到,能量越低的結(jié)構(gòu)被選中的概率越大,但是能量較高的結(jié)構(gòu)仍有被選中的概率,可以保證樣本的多樣性,避免陷入局域極小值.(2)式中的T類(lèi)似于模擬退火算法中的溫度,溫度越小則全局最小的結(jié)構(gòu)被搜索出來(lái)的概率越高.當(dāng)T趨于零時(shí),該算法將趨于完全的深度搜索;T趨于無(wú)窮大時(shí),該算法將趨于完全的廣度搜索.

3 結(jié)果與討論

為了檢驗(yàn)算法的有效性,我們選擇了兩類(lèi)勢(shì)能函數(shù)描述原子之間的相互作用,并搜索了給定勢(shì)函數(shù)下不同原子數(shù)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu).

3.1 Lennard-Jones勢(shì)

首先,我們考慮體系中粒子之間的相互作用符合Lennard-Jones勢(shì)函數(shù),則體系的總能量V為

其中rij為原子i,j之間的距離.圖3給出了我們搜索得到的最低的平均能量趨勢(shì)圖以及幻數(shù)所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu).在該勢(shì)能函數(shù)下,原子傾向于形成盡可能多的最近鄰,在平面結(jié)構(gòu)中對(duì)應(yīng)的是六個(gè)最近鄰,同時(shí)要求團(tuán)簇的邊界呈凸包絡(luò),可以使得邊緣的懸掛鍵數(shù)目比例最低,增加體系穩(wěn)定性.圖4給出了原子數(shù)較多時(shí)對(duì)應(yīng)的幻數(shù)結(jié)構(gòu).可以看出,幻數(shù)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)往往具有較高的對(duì)稱(chēng)性,邊界對(duì)應(yīng)的是六邊形;隨著原子數(shù)的增多,穩(wěn)定結(jié)構(gòu)包含了所有的正六邊形的結(jié)構(gòu),例如原子數(shù)為19,37,61,91時(shí),分別對(duì)應(yīng)于邊長(zhǎng)為2,3,4,5的正六邊形.

圖3中用×表示的即為在搜索空間下所訪問(wèn)過(guò)的結(jié)構(gòu)的平均原子能量,我們稱(chēng)之為候選結(jié)構(gòu).這里在每一次的循環(huán)操作中將會(huì)以(2)式的概率隨機(jī)選取一定數(shù)量的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓展,以生成N+1個(gè)原子的結(jié)構(gòu),在N≤100時(shí)一共計(jì)算了8×105個(gè)結(jié)構(gòu).將給定原子數(shù)的最低能量的平均值連接起來(lái)即為圖3中的折線.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)Lennard-Jones勢(shì)函數(shù)下原子團(tuán)簇平均能量的變化趨勢(shì)Fig.3. (color on line)The average energy of clusters as a function of the nuMber of atoMs under the Lennard-Jones potential.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)Lennard-Jones勢(shì)函數(shù)下的幻數(shù)Fig.4.(color on line)TheMagic nuMber structures.

利用蒙特卡羅樹(shù)搜索,我們可以得到能量較低的三角晶格團(tuán)簇,屬于平面密堆結(jié)構(gòu),與Yang和Zhang[29]之前工作相符合.在本文的算法中,35個(gè)原子以?xún)?nèi)的體系通常需要計(jì)算體系的勢(shì)函數(shù)1000—3000次就可以搜索到基態(tài)結(jié)構(gòu),而36—50個(gè)原子的體系則需要評(píng)價(jià)3000—5000次,但是一般的微粒群算法需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行8000次的評(píng)價(jià)才可以搜索出基態(tài)結(jié)構(gòu),可見(jiàn)本文的算法在結(jié)構(gòu)搜索的效率上有了一定的提升.我們可以進(jìn)一步對(duì)能量較低的候選結(jié)構(gòu)進(jìn)行局部?jī)?yōu)化,這里我們使用的是最速下降法.由圖3可以看出,局部?jī)?yōu)化后的結(jié)構(gòu)的能量均有所下降(如圖3中的點(diǎn)劃線所示),但原子位置沒(méi)有很大的變動(dòng),對(duì)應(yīng)的幻數(shù)也沒(méi)有變化.

3.2 Lennard-Jones三體勢(shì)函數(shù)

作為比較,我們接下來(lái)考慮的體系中,粒子之間的相互作用包括二體作用與三體作用,此時(shí)體系的總能量V為

這里θjik表示向量rij,rik之間的夾角,Vij和Vik分別表示為原子i與原子j和k之間的二體作用勢(shì). 特別地,這里我們?nèi)(θ)=|θ? 2π/3|,所以θ=2π/3時(shí)f(θ)最小,從而使得基態(tài)體系容易形成角度為2π/3的鍵角.

我們利用類(lèi)似的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)搜索,對(duì)應(yīng)的幻數(shù)結(jié)構(gòu)和能量變化曲線如圖5所示.該勢(shì)函數(shù)由兩部分貢獻(xiàn),第一部分使得體系原子之間距離傾向于為1,第二部分使得體系的成鍵鍵角傾向于2π/3.在該勢(shì)函數(shù)下,原子團(tuán)簇傾向于形成類(lèi)似石墨烯的碎片結(jié)構(gòu).由圖5可見(jiàn),這些較為穩(wěn)定的原子團(tuán)簇結(jié)構(gòu)是不斷向外生長(zhǎng)出來(lái)的正六邊形.比如S10,S14,S16分別對(duì)應(yīng)的是萘、蒽、芘的結(jié)構(gòu),S24對(duì)應(yīng)于輪烯的結(jié)構(gòu).需要說(shuō)明的是,基態(tài)結(jié)構(gòu)和f(θ)的具體形式有關(guān),當(dāng)改變f(θ)的極值點(diǎn),基態(tài)的結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生較大的變化.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)Lennard-Jones三體勢(shì)函數(shù)下原子團(tuán)簇的平均能量變化趨勢(shì)Fig.5. (color on line) The average energy of clusters as a function of the nuMber of atoMs under the Lennard-Jones th ree body interaction potential.

4 結(jié) 論

本文提出了一種結(jié)合結(jié)構(gòu)識(shí)別和蒙特卡羅樹(shù)技術(shù)搜索穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的新方法.以平面團(tuán)簇為例,我們考慮了包含二體和三體相互作用的Lennard-Jones勢(shì)函數(shù),并搜索確定了不同原子數(shù)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu).我們選擇三角晶格團(tuán)簇作為候選結(jié)構(gòu),引入編號(hào)策略對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行快速識(shí)別,并選擇能量較低的候選結(jié)構(gòu)進(jìn)行局域優(yōu)化來(lái)獲得對(duì)應(yīng)體系的穩(wěn)定結(jié)構(gòu).我們的算法避免了相同結(jié)構(gòu)的重復(fù)計(jì)算,建立了相鄰原子數(shù)的晶格團(tuán)簇的互相聯(lián)系,采用蒙特卡羅樹(shù)技術(shù)兼顧搜索的深度和廣度.該方法可以對(duì)候選結(jié)構(gòu)空間進(jìn)行高效掃描,在較短時(shí)間內(nèi)更容易搜索到穩(wěn)定的團(tuán)簇結(jié)構(gòu),并可以與第一原理計(jì)算方法結(jié)合,進(jìn)行真實(shí)材料體系的結(jié)構(gòu)搜索.

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*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant No.11474100)and the FundaMental Research Fund for the Central Universities,China(G rant No.2017MS119).

?Corresponding author.E-Mail:scxbyang@scut.edu.cn

Monte-Carlo tree search for stab le structu res of p lanar clusters?

He Chang-Chun Liao Ji-Hai Yang Xiao-Bao?

(DepartMent of Physics,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China)

7 Ap ril 2017;revised Manuscrip t

18 June 2017)

Illustrated by the case of the p lanar clusters,we propose a neWMethod to search the possible stable structures by combining the structural identification and Monte-Carlo tree algorithm.We adopt two kinds of Model-potential to describe the interaction between atoMs:the pair interaction of Lennard-Jones potential and three-body interaction based on the Lennard-Jones potential.Taking the possible triangular lattice fragMent as candidates,we introduce a neWnomenclature to distinguish the structures,which can be used for the rapid congruence check.1)We label the atoMs on the triangu lar lattice according to the distances and the polar angles.where a given triangular structure has a corresponding serial number in the numbered p lane.Note that the congruent structures can have a group of possible serial numbers.2)We consider all the possible symmetrical operations including translation,inversion and rotation,and obtain the sMallest one for the unique noMenclature of the structure.In conventional search ofMagic clusters,the global optiMizations are perforMed for the structures With given number of atoMs.Herein,we perforMthe Monte-Carlo tree search to study the evolution of stab le structures With various numbers of atoMs.FroMthe structures of given number of atoMs,we saMp le the structures according to their energy With the iMportance saMp ling,and then expand the structures to the structures With oneMore atom,where the congruence check With the noMenclature is adop ted to avoid numerous repeated evaluations of candidates.Since the structures various numbers of atoMs are correlated With each other,a searching tree Will be obtained.In order to prevent the over-expansion of branches,we prove the“tree”according to energy to Make the tree asymMetric groWth to retain the loWenergy structure.The Width and dep th of search is balanced by the control of teMperature in the Monte-Carlo tree search.For the candidatesWith lower energies,we further perforMthe localop tiMization to obtain theMore stable structures.Our calculations shoWthat the triangular lattice fragmentsWill bemore stab le under the pair interaction of Lennard-Jones potential,which are in agreement With the previous studies.Under the three body interaction With the specifi c paraMeter,the hexagonal lattice fragMentsWill be More stable,which are siMilar to the configurations of graphene nano-flakes.Combining the congruence check and Monte-Carlo tree search,we provide an eff ective avenue to screen the possible candidatesand obtain the stab le structures in a shorter period of tiMe coMpared With the comMon global op tiMizationsWithout the structural identification,which can be extended to search the stable structure for Materials by the fi rst-princip les calculations.

cluster,structural identification,Monte-Carlo tree,global optiMization

10.7498/aps.66.163601

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11474100)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(批準(zhǔn)號(hào)：2017MS119)資助的課題．

?通信作者.E-Mail:scxbyang@scut.edu.cn

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn