數(shù)列求和常用的方法

曾益俊

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要知識，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考?？嫉膬?nèi)容之一，在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位，數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在求解數(shù)列求和問題時所使用的方法離不開問題的本質(zhì)，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。本文將數(shù)列求和的常用方法進(jìn)行了整理，供大家教學(xué)或復(fù)習(xí)時參考。

一、直接法

如果給定的是特殊的數(shù)列，可直接應(yīng)用公式求和。這是數(shù)列求和的最基本的方法。常用的數(shù)列求和公式有：

1.等差數(shù)列求和公式：；

2.等比數(shù)列求和公式：；

3.；

4.；

5.

例1.已知等差數(shù)列前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)和是1220。求Sn。

【解析】 由題意知S10=310，S20=1220

將他們代入公式，

得到

解這個方程組得

所以

二、分組求和法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，能分成幾個等差、等比或常見的數(shù)列和與差的形式，然后對拆開后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和.

例2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求其前項(xiàng)和.

[解析]

設(shè)

三、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將所求和式中的通項(xiàng)拆項(xiàng)，然后重新組合，使出現(xiàn)抵消達(dá)到求和目的。常見的拆項(xiàng)還有：

例3. 已知數(shù)列，且，求其前項(xiàng)和.

[解析]

四、錯位相減法

若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和時，一般用錯位相減法。即求和時一般可在已知和式兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得到的新式子與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。

例4. 求和.

[解析]由題意①

的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積。

設(shè)②

①-②得

五、倒序相加法

倒序相加法就是把數(shù)列正序?qū)懪c倒序?qū)懴嗉?，則對應(yīng)的兩項(xiàng)的和出現(xiàn)相同的常數(shù)，即出現(xiàn)個（常數(shù)），達(dá)到求和的目的.對某些前后具有對稱性的數(shù)列可倒序求和法求其前n項(xiàng)和。

例5.求證：

[解析]設(shè)①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得

又由可得②

①+②得

原命題得證。

六、并項(xiàng)求和法

針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，在數(shù)列求和時，可考慮把這些項(xiàng)放在一起先“配對”求和，然后再求出。

例6. 求和.

[解析]

當(dāng)n為奇數(shù)時

當(dāng)n為偶數(shù)時

七、通項(xiàng)分析法

先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和。這也是數(shù)列求和不可忽視的一中重要方法。

例7.

[解析]

對于以上的各種方法，大家應(yīng)注意體會其中所蘊(yùn)含的分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，數(shù)列求和的方法還有很多，大家平時還應(yīng)多注意總結(jié)。endprint