例談高年級學(xué)生數(shù)學(xué)思維斷層的成因與對策

紀(jì)勤杰

【摘 要】為了開發(fā)、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，教師往往會把具有探究意義的問題拋給學(xué)生，但遭遇的常常是集體性的沉默。究其原因，低效探究源于探究時思維的斷層。歸結(jié)出造成思維斷層的原因有三方面：缺乏有效的思維鏈接的方式；缺乏必要的思維基礎(chǔ)的儲備；缺乏后續(xù)的思維拓展的機會。針對這些成因，教師可以采用以下應(yīng)對策略：盤活經(jīng)驗，喚醒塵封的知識儲備；建構(gòu)體驗，墊高匱乏的思維起點；給予時空，激活高漲的探索欲望。

【關(guān)鍵詞】思維能力 思維斷層 成因 應(yīng)對策略

思維在數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻，它是數(shù)學(xué)的生命線。由此，如何開發(fā)、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力便成了我們數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題。而當(dāng)我們懷揣著讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的夢想辛苦耕耘時，卻常常會面臨這樣的尷尬：當(dāng)我們自以為是地把一個個具有探究意義的問題拋給學(xué)生試圖去發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維能力時，遭遇的常常是一次次無言的沉默。而當(dāng)我們無奈地減低思維的層次，讓他們毫無懸念地找到問題的答案時，心中又充滿著不甘，甚至讓自己感到萬分的失敗。是僅僅發(fā)展一小部分聰明學(xué)生的思維能力來體現(xiàn)課堂的靈動？還是降低思維的層次來實現(xiàn)教學(xué)的面向全體？這都不是我們想要的答案。讓更多的學(xué)生在面對挑戰(zhàn)性的問題時，主動參與到問題的探究發(fā)現(xiàn)中，在此歷練的過程中去發(fā)展他們的思維能力，提高他們解決問題的水平，才是我們永恒的追求。面對集體性的沉默，思維能力如何有效培養(yǎng)？剖析課堂，聚焦問題，無效探究或低效探究源于探究時思維的斷層，問題與探究之間正是有了這個斷層的存在導(dǎo)致上下不能疏通，知識與策略發(fā)生阻隔，思維便無法通暢。因此，如何預(yù)想這些斷層，如何建立有效通道？便成了我們教學(xué)設(shè)計時所面臨的一個極為重要的一個問題。對此，筆者試圖通過深究一些具體的教學(xué)內(nèi)容，延伸一些類似的教學(xué)知識，概括出一些導(dǎo)致思維斷層的原因，并力求找到一些具體的對策，以使更多的學(xué)生參與到醉人的再發(fā)現(xiàn)歷程中。

一、透視小學(xué)生探究時的思維斷層

【案例一】“圓柱的體積”教學(xué)片段

我們知道了長方體和正方體的體積公式，并且知道了它們的體積都可以用“底面積×高”進行計算，那么圓柱的體積該如何計算？

圓柱的體積=底面積×高，學(xué)生會這樣回答。

圓柱的體積如何推導(dǎo)？學(xué)生選擇沉默。

我們能不能把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長方體或正方體？教師引導(dǎo)。

【案例二】“雞兔同籠”教學(xué)片段

呈現(xiàn)課本例題：雞、兔共20只，共有腳56只。雞、兔各有多少只？

學(xué)生自行探究，可能個別的學(xué)生會出現(xiàn)方法的多樣性，但教師重點關(guān)注的肯定是假設(shè)法，后續(xù)的練習(xí)，也是用此種方法為主。

教師巡視，查找假設(shè)法解題的同學(xué)，要求板書，然后重點講評。

【案例三】“3的倍數(shù)的特征”教學(xué)片段

學(xué)生觀察一系列3的倍數(shù)的數(shù)，找到它們的共同特征：

一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

教師組織學(xué)生運用結(jié)論，進行判斷。

案例一中，當(dāng)學(xué)生面對“圓柱的體積如何推導(dǎo)”這樣的問題時，一般都會一片茫然，不知所措，因為他們在短時間里無法找到研究的方向。學(xué)生陷入雖然掌握了一些知識卻無從施展的尷尬。面對思維的短路，于是就有了“我們能不能把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長方體或正方體”的教師引導(dǎo)。而這樣粗放的引導(dǎo)方式雖然看似鏈接了學(xué)生思維的斷層，但實際剝奪了學(xué)生面對新問題時策略選擇的權(quán)利，有效的探究過程的延續(xù)固然重要，但策略的自我抉擇更是探究問題時的首要任務(wù)和核心問題，因為它才是發(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵所在。況且，憑你一句簡單的導(dǎo)語，真能如愿地建立起新舊知識的鏈接嗎？

思維斷層成因一：缺乏有效的思維鏈接的方式。

案例二中，教師大氣的處理方式，仿佛行云流水般地就讓學(xué)生自主探索到了假設(shè)法解題的方法。孰不知，能夠用此種方法解題的學(xué)生能有幾位？他們又是如何找到的？學(xué)生因為沒有體驗過消去法的意義、價值與好處，沒有知識儲備，就不會在這個點上進行思考，而缺乏消去原理對假設(shè)法解題策略的支撐，哪來嚴謹?shù)募僭O(shè)法解題的思維過程？用這種缺乏知識與策略基礎(chǔ)的教學(xué)方式去探究“雞兔同籠”，要么學(xué)生原本就會，要么純屬偶然。在交流的過程中，“猶抱琵琶半遮面”的分析方式，也屏蔽了假設(shè)的真正目的。他們能學(xué)會的只是對橫空出現(xiàn)的假設(shè)法解題方法依葫蘆畫瓢。

思維斷層成因二：缺乏必要的思維基礎(chǔ)的儲備。

案例三是一堂典型的課例，因為結(jié)論的隱蔽性，所以可以充分體現(xiàn)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力，也有較多的教師非常深入地研究過這堂課。之所以還有探討的必要是因為學(xué)生千辛萬苦得到的結(jié)論缺少一個存在的理由。學(xué)生心中不免有這樣的疑惑：為什么存在一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)？隱藏在這個迥異的規(guī)律背后的原因又是什么？面對這樣的疑惑，我們真的就可以無視這個知識斷層的存在，放棄發(fā)展他們數(shù)學(xué)思維的機會？

思維斷層成因三：缺乏后續(xù)的思維拓展的機會。

三個簡單、具體的教學(xué)案例，透視出學(xué)生產(chǎn)生思維斷層的三個成因，而在我們煩瑣的教學(xué)中，類似的案例還有很多，在下面的找尋對策中還將有所衍生。

二、應(yīng)對思維斷層的策略

（一）盤活經(jīng)驗，喚醒塵封的知識儲備

因為時間的流逝和思維的混亂，使學(xué)生在探究時迷失方向而不能進行新舊知識的鏈接時，我們既不能一語點破，也不能放任自流。而應(yīng)在學(xué)生思維的斷層上，在策略選擇、目的意義上了無痕跡地加以輔助，加以喚醒，使他們的思維得以深入，讓他們的探究得以延續(xù)。

1.巧設(shè)情境，喚醒策略。

當(dāng)學(xué)生的探究由于策略選擇的斷層而陷入僵局時，巧設(shè)一個簡單的緊扣教學(xué)內(nèi)容的情境，采用猜謎、游戲等互動的形式，喚醒他們與之教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的研究策略，在強烈的策略意識的指導(dǎo)下，目的明確地開展有效探究。

“圓柱的體積”教學(xué)片段2：

出示：“百變魔王”（很多小朋友玩過的玩具，可以通過彎曲，變成很多的形體）

讓幾個學(xué)生把它變成各種各樣的形體。

在幾番變化后，詢問：什么變了？什么不變？（板書：體積不變）要想知道它們的體積，怎么變化最簡單？（板書：長方體）讓我們一起來研究一下它的體積。

師：（出示圓柱體）它的體積我們研究過嗎？怎么研究？（板書：長方體）它可不像玩具可以隨便變形，怎么變化呢？（板書：切割）

此教學(xué)片段中，教師緊緊抓住數(shù)學(xué)探究最重要的策略——轉(zhuǎn)化思想。通過學(xué)生耳熟能詳?shù)挠螒?，清晰、充分地讓學(xué)生體驗到等積變形的好處，喚醒了曾經(jīng)經(jīng)歷過的把復(fù)雜形體簡單化、熟悉化，是推導(dǎo)形體面積與體積計算公式和原理的有效策略，一舉沖破無序思維的斷層。

2.妙用學(xué)具，鏈接意義。

學(xué)具即幫助學(xué)生探究的工具。在他們探究的過程中感到困頓時，適時地提供形象的可直觀操作的學(xué)具，可以使他們在自覺與不自覺的操作中，再憶與所研究內(nèi)容相關(guān)的意義、方式，建立有效鏈接，從而使他們的思維在正確意識的指導(dǎo)下得以延續(xù)。

在教學(xué)“平行四邊形的面積”時，很多教師為了更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力，常常會讓他們自行去探究一個沒有數(shù)據(jù)的平行四邊形的面積。而作為圖形切割、轉(zhuǎn)化的第一課時，只有幾個學(xué)生能根據(jù)等積變形的原理，把它轉(zhuǎn)化成長方形來加以計算，更多的學(xué)生因為面積意義的忘卻和轉(zhuǎn)化思想的未知，所能做的只是思維價值低下的猜測罷了。面對大多數(shù)學(xué)生無從思考的斷層，如果適時地給這些學(xué)生提供格子圖的學(xué)具，他們便會在擺一擺、比一比中再憶面積大小的意義在于面積單位的數(shù)量上。也使得他們更加容易體會到出現(xiàn)“底×鄰邊”錯誤算法的道理，一舉突破知識的難點。也只有在根植于面積意義上的探究才是深刻理解和體會等積變形原理的本質(zhì)。

由于新舊知識、策略的無法鏈接而使學(xué)生陷入無序思維狀態(tài)是我們教學(xué)中最常見的問題，在此僅舉兩例，說明充分展現(xiàn)教具、學(xué)具對鏈接有效知識儲備的作用。面對成因相同內(nèi)容不同的問題，我們采用的方式也會用所不同。總之，我們所能提供的探究前提，要盡量有利于學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，使他們體會到，只要是英雄便會有用武之地。

（二）建構(gòu)體驗，墊高匱乏的思維起點

由于教材編排及教師對教材編排理解上的差異的緣故，很多知識的教學(xué)，學(xué)生由于缺乏必要的知識基礎(chǔ)和策略體驗，探究時造成思維斷層，探究就無法延續(xù)。這時合理的補充和強化便顯得尤為重要。

1.前置體驗，墊高思維起點。

前置體驗即在學(xué)生探究新課內(nèi)容前，通過一項簡單的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生提前體驗一種策略、一種方法。當(dāng)學(xué)生的探究活動由于基礎(chǔ)的薄弱而無法開展時，前置體驗變成了一種必然的需要。前置的目的是為了補缺學(xué)生思維基礎(chǔ)的斷層，墊高他們思維的起點，讓他們可以在先前的策略、方法的指導(dǎo)下完成對新知的探究。

“雞兔同籠”教學(xué)片段2：

師出示：學(xué)校買來2個籃球和4個排球，共用了100元。已知1個籃球比1個排球貴20元，那么籃球每個多少元？排球每個多少元？

學(xué)生自行解答：

（100+20×4）÷（2+4） （100-20×2）÷（2+4）

劃線部分明確：根據(jù)題意，利用假設(shè)把一種球進行抵消，使題中只剩一個未知量，這樣就可以解答了。 （板書：兩種球→一種球）

出示：雞、兔共20只，共有腳56只。雞、兔各有多少只？

怎么辦？學(xué)生會想到，利用假設(shè)，把一種動物進行抵消，使之只剩下一種動物。

圍繞如何假設(shè)、如何抵消展開研究討論。

此教學(xué)片段中，教師巧妙地前置了一個符合學(xué)生探究基礎(chǔ)的情境，緊扣消去的原理與作用，把學(xué)生的思維緊緊圍繞在“為什么要假設(shè)”“如何假設(shè)”“假設(shè)后的情況與原本的情況相比如何消去其中的一個量”上。力圖使假設(shè)法解題的策略由原來的偶發(fā)性探究變?yōu)橛尚瓒谋厝恍蕴骄?，在探究前及時消除了學(xué)生探究時的思維斷層，使他們的思維有據(jù)可尋。

2.強化運用，夯實方法習(xí)得。

由于教材編排的緣故，也由于教師追求短期成效的原因，有些數(shù)學(xué)知識、策略意識學(xué)生步入高年級后就顯得異常薄弱，而這些內(nèi)容在高年級又顯得尤為重要。那么，通過及時的強化刺激，改變他們的思維習(xí)慣，補全他們的知識短板，夯實他們的方法策略，可以打通他們思維上的斷層。

在教學(xué)三步、四步解決問題時，我們會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯誤率很高。更重要的是，探討時，大多數(shù)學(xué)生只能依靠綜合法對題目進行分析和思考。不可否認，小學(xué)的低、中段，因為解決問題情境的單一，相對于分析法，學(xué)生憑借綜合法便能更簡潔的解決問題，因此從條件入手進行分析，成了他們解決問題時的一種思維習(xí)慣。而到了高年級，當(dāng)他們在面對一個有諸多數(shù)據(jù)的問題時，還是用此種方式來研究，很多學(xué)生找不到解決問題所關(guān)聯(lián)的條件，這也決定了他們居高不下的錯誤率。從問題入手的分析法的缺失導(dǎo)致了他們思維上的斷層，導(dǎo)致了問題與條件的割裂，導(dǎo)致了他們的研究成為缺乏因果聯(lián)系的低效探究。面對這樣的現(xiàn)狀，在教學(xué)前、教學(xué)中、教學(xué)后，我們可以補充用分析法思考解決問題的練習(xí)，通過同質(zhì)思維的縱向與橫向的訓(xùn)練，沖破他們慣有思維所造成的斷層，使他們自覺地改變思維的習(xí)慣，形成新的策略體系。

我們對課堂教學(xué)的定位是讓更多的學(xué)生在探究中有所收獲，有所發(fā)展。那么，只有在正確的意識形態(tài)下，在充分的知識儲備中，他們的探究才會有不同程度的成功，所以，必要的體驗和強化正好可以墊高他們匱乏的思維起點。我們的教學(xué)也不能僅僅把解決某一具體問題作為教學(xué)目標(biāo)，而是應(yīng)讓他們在“轉(zhuǎn)化、消去、假設(shè)、因果聯(lián)系”等“中心問題”的支撐中形成對策略、方法的體驗，使他們在面對更多的問題時，有更多的從容，有更多自主探究找到解決問題方法的能力。

（三）給予時空，激活高漲的探索欲望

不可否認，由于小學(xué)生的心理特點和認知水平，很多教學(xué)內(nèi)容都是以學(xué)生的初步感知為教學(xué)目標(biāo)定位的，所以導(dǎo)致了有些看似頗有難度的知識其規(guī)律的得出具有偶發(fā)性和不知其所以然的特點。當(dāng)我們所涉及的教學(xué)內(nèi)容有不容忽視的盲區(qū)時，及時掃除這個思維斷層，往往正是發(fā)展他們思維能力與品質(zhì)的大好時機。

1.課外尋覓，拓展釋疑能力。

當(dāng)隱藏在結(jié)論背后的原因讓學(xué)生迷惘時，當(dāng)這些迷惘只能通過教師強行講述才能釋疑時，我們不妨把目光放到課外，讓學(xué)生通過自己尋找的途徑去獲取相應(yīng)的答案，拓展他們自主釋疑的能力。

“3的倍數(shù)”教學(xué)片段的補充：

圍繞學(xué)生心中的疑惑布置作業(yè)：去百度查找或請教別人，找到這個結(jié)論存在的背后原因。

反饋舉例：

假設(shè)一個三位數(shù)為（abc），那么也就是 100a+10b+c，如果該數(shù)是3的倍數(shù)，又因為 99a+9b 是3的倍數(shù)，所以它們的差a+b+c也一定是3的倍數(shù)。

這個通俗的解釋學(xué)生應(yīng)該還是好理解的，當(dāng)然，或許還有更為通俗的解釋，只有把權(quán)利下發(fā)給學(xué)生時，我們才能知道他們的真實能量。

此課外作業(yè)，看似頗有難度，但因為發(fā)現(xiàn)自己辛辛苦苦得來的結(jié)論，解釋不出所以然來，心中必有不明不休的想法，而在高漲的學(xué)習(xí)熱情的支配下，很多我們看似不可能的結(jié)果都有可能發(fā)生。因果性是數(shù)學(xué)美的一大體現(xiàn)，而學(xué)生通過自己的努力，去揭示發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系的過程，更是數(shù)學(xué)美的一大體現(xiàn)。

2.課內(nèi)分析，構(gòu)建因果聯(lián)系。

與上相似，不同的是學(xué)生可以通過教師補充的后續(xù)環(huán)節(jié)去頓悟、去透視結(jié)論產(chǎn)生的成因，自主地建立起因果聯(lián)系，這時，不妨及時地在課內(nèi)掃除他們知識上的思維斷層。

與此相似的例子還有“分數(shù)能否化成有限小數(shù)的規(guī)律”，學(xué)生通過若干分數(shù)的分母的分解質(zhì)因數(shù)，得到：一個最簡分數(shù)的分母中只含有質(zhì)因數(shù)2或5以及2和5，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)，如果分母中含有其他的質(zhì)因數(shù)，就不能化成有限小數(shù)。而至于為何是這樣缺乏理論上的支持，腦海中很難建立起立體的結(jié)構(gòu)。此時，面對學(xué)生思維上的斷層，教師可以嘗試著讓他們把那些能化成有限小數(shù)的分數(shù)化成分母是整十、整百、整千……的分數(shù)，再和不能化成有限小數(shù)的分數(shù)進行比較，他們就會有茅塞頓開的感覺。教學(xué)一小步，清晰一大步，我們何樂而不為。

在探索發(fā)現(xiàn)的過程中，導(dǎo)致學(xué)生思維斷層的成因還有很多，我們相應(yīng)的對策也會不盡相同。好在我們處在課堂教學(xué)的第一線，可以隨時隨地去洞察和發(fā)現(xiàn)，隨時隨地去分析和研究。學(xué)生每一次的沉默，每一個思維斷層的產(chǎn)生，都是我們薄發(fā)的一個契機，都是實現(xiàn)我們課堂教學(xué)夢想的一塊基石。

（浙江省平湖師范附屬小學(xué) 314200）