“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料：促進(jìn)數(shù)學(xué)思考不可或缺的有效載體

邵珠利

【摘 要】在日常教學(xué)中，教師所呈現(xiàn)給學(xué)生的都是“對(duì)等信息”的學(xué)習(xí)材料，它是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的有效載體，無(wú)論是教師，還是學(xué)生，都已經(jīng)習(xí)慣并熟悉了這樣的學(xué)習(xí)材料。而“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)與使用較少，其實(shí)“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料能夠打破學(xué)生習(xí)以為常對(duì)于“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料思考的慣性，它更多指向“開(kāi)放”與“多元”的數(shù)學(xué)思考，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考不可或缺的有效載體?！胺菍?duì)等信息”學(xué)習(xí)材料的設(shè)計(jì)與使用策略可以從變觀察為探索、變應(yīng)用為設(shè)計(jì)、變發(fā)現(xiàn)為建構(gòu)三個(gè)方面著手。

【關(guān)鍵詞】非對(duì)等信息 學(xué)習(xí)材料 策略

在日常教學(xué)中，我們呈現(xiàn)給學(xué)生的都是“對(duì)等信息”的學(xué)習(xí)材料，它是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的有效載體，無(wú)論是教師，還是學(xué)生，都已經(jīng)習(xí)慣并熟悉了這樣的學(xué)習(xí)材料。而“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)與使用較少，其實(shí)“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料能夠打破學(xué)生習(xí)以為常對(duì)于“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料思考的慣性，它更多指向“開(kāi)放”與“多元”的數(shù)學(xué)思考，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考不可或缺的有效載體。

一、“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料的內(nèi)涵及意義

（一）“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料的內(nèi)涵

“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料是相對(duì)“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料而提出的。“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料是一次性提供給學(xué)生完整的條件信息，并且題目要求及所求問(wèn)題十分明確，學(xué)生可以根據(jù)所提供的完整條件信息，按照明確的要求運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算或解決問(wèn)題，即“條件信息”與“問(wèn)題解答”之間是對(duì)等的。而“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料則是提供給學(xué)生不完整的條件信息或提供給學(xué)生開(kāi)放的條件信息或題目要求不明確等，制造出“條件信息”與“問(wèn)題解答”之間不對(duì)等的現(xiàn)象，從而使學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)所運(yùn)用的策略、方法或所得到的答案更加“開(kāi)放”與“多元”。

（二）“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料的意義

由于受傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，在日常教學(xué)中，我們所呈現(xiàn)給學(xué)生的幾乎都是“對(duì)等信息”的學(xué)習(xí)材料，無(wú)論是教師，還是學(xué)生，都已經(jīng)習(xí)慣并熟悉了這樣的學(xué)習(xí)材料，而“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)與使用寥寥無(wú)幾。其實(shí)“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料能夠打破學(xué)生習(xí)以為常對(duì)于“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料思考的慣性，它更多指向“開(kāi)放”與“多元”。因此兩類(lèi)學(xué)習(xí)材料在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中均不可或缺，相得益彰。當(dāng)學(xué)生面對(duì)“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料時(shí)需要綜合所學(xué)知識(shí)才能做出分析與判斷，因此要求學(xué)生具有更強(qiáng)的思考能力，從某種意義上說(shuō)，“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料更能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考。

二、“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料的設(shè)計(jì)與使用策略

既然“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料能夠打破學(xué)生習(xí)以為常對(duì)于“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料思考的慣性，它更多指向“開(kāi)放”與“多元”，那么在日常教學(xué)中如何有效設(shè)計(jì)與使用呢？下面結(jié)合幾個(gè)案例進(jìn)行闡述。

（一）變觀察為探索：讓學(xué)生從被動(dòng)觀察者變?yōu)橹鲃?dòng)探索者

直接呈現(xiàn)“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)材料中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律或數(shù)學(xué)知識(shí)，這是日常教學(xué)中經(jīng)常采用的方式。其實(shí)在教學(xué)中也可以只呈現(xiàn)部分學(xué)習(xí)材料，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生探索所呈現(xiàn)的部分學(xué)習(xí)材料與所要解答問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生自主探究。

【案例1】五（下）第一單元“觀察物體（三）”中的習(xí)題。

筆者認(rèn)為直接一次性呈現(xiàn)如上題所示的“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生通過(guò)觀察然后動(dòng)手?jǐn)[出這個(gè)圖形，對(duì)于學(xué)生積累觀察物體的經(jīng)驗(yàn)以及空間觀念的培養(yǎng)不夠落地，于是筆者對(duì)原學(xué)習(xí)材料進(jìn)行如下設(shè)計(jì)使用：

【環(huán)節(jié)1】只出示從上面看到的圖形（圖1），思考：搭成這樣的圖形最少（ ）塊。想好后動(dòng)手拼擺。

【環(huán)節(jié)2】在環(huán)節(jié)1的基礎(chǔ)上再出示從正面看到的圖形（圖2），思考：搭成這樣的圖形最少（ ）塊。再動(dòng)手操作、驗(yàn)證。

【環(huán)節(jié)3】最后在以上兩個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上出示從左面看到的圖形（圖3），思考：搭成這個(gè)圖形最少（ ）塊。再動(dòng)手操作、驗(yàn)證。

以上三個(gè)環(huán)節(jié)將原本“對(duì)等信息”的學(xué)習(xí)材料肢解為“非對(duì)等信息”的學(xué)習(xí)材料，在環(huán)節(jié)1與環(huán)節(jié)2中學(xué)生無(wú)法得到準(zhǔn)確答案，因?yàn)榇鸢付嘣?，只有在環(huán)節(jié)1、環(huán)節(jié)2的基礎(chǔ)上，再開(kāi)展環(huán)節(jié)3的活動(dòng)才能做出準(zhǔn)確判斷。通過(guò)三個(gè)相關(guān)環(huán)節(jié)的操作活動(dòng)，促使學(xué)生將想的過(guò)程與擺的過(guò)程相結(jié)合，雖提高了操作難度，但對(duì)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)起到了積極的促進(jìn)作用。

觀察是對(duì)“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料的靜態(tài)分析，可以培養(yǎng)學(xué)生觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)規(guī)律以及合情推理等能力，但由于觀察更多的是靜態(tài)的過(guò)程，所以不利于促進(jìn)學(xué)生深入思考與有效探索。將“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料轉(zhuǎn)換成“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料后，學(xué)生要對(duì)這些“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料進(jìn)行分析與判斷，在此基礎(chǔ)上還要進(jìn)一步探索“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料與所研究問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，它所關(guān)注的是學(xué)生的過(guò)程性探索，而不僅僅是思考的結(jié)果。

（二）變應(yīng)用為設(shè)計(jì)：讓學(xué)生從單純“做題者”轉(zhuǎn)變?yōu)榱?xí)題開(kāi)發(fā)“參與者”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)思考才是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價(jià)值的行為。題型模仿、類(lèi)型強(qiáng)化、技能訓(xùn)練在教學(xué)中也需要去做，但是這些訓(xùn)練如果離開(kāi)了數(shù)學(xué)思考而僅是一種機(jī)械訓(xùn)練，那就失去了意義。因此，數(shù)學(xué)思考是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中最需要做的事。從某種意義上說(shuō)，“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料更能有效促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

1.將指令性要求轉(zhuǎn)變?yōu)樽灾餍赃x擇，讓學(xué)生自主決斷

【案例2】簡(jiǎn)便計(jì)算（人教版四年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)算定律”中學(xué)習(xí)了“乘法分配律”后的練習(xí)題）。

用乘法分配律計(jì)算下面各題。

103×12 20×55 24×205

【案例剖析】原習(xí)題是“對(duì)等信息”的學(xué)習(xí)材料，題目要求明確：用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于學(xué)生而言，解答此題方向非常明確，只要考慮如何將這些習(xí)題轉(zhuǎn)換成如乘法分配律的形式，進(jìn)而計(jì)算即可。雖然在剛剛學(xué)習(xí)了乘法分配律后安排這樣的練習(xí)對(duì)于學(xué)生理解和掌握乘法分配律大有幫助，但類(lèi)似這樣的“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料易導(dǎo)致學(xué)生模仿與記憶，看似為學(xué)生指明了簡(jiǎn)便計(jì)算的方向，實(shí)則大大限制了他們的思維空間。

基于以上思考，筆者對(duì)習(xí)題進(jìn)行如下設(shè)計(jì)。這樣改編以后，學(xué)生失去了明確的計(jì)算方向，要自己進(jìn)行判斷，選擇合適的計(jì)算方法。

計(jì)算下面各題，怎樣簡(jiǎn)便就怎樣算。

①103×12 ②20×55 ③24×205

因?yàn)閯倓倢W(xué)習(xí)了乘法運(yùn)算定律，所以學(xué)生普遍采用了乘法結(jié)合律或乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。

從學(xué)生的做法可以看出，因?yàn)閷⒅噶钚砸笞兂闪俗灾餍赃x擇，所以學(xué)生的思維更開(kāi)闊了，他們會(huì)根據(jù)自己的理解選擇合適的方法解題，運(yùn)用乘法運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算的過(guò)程中學(xué)生不但更加深入地理解了乘法的運(yùn)算定律，而且在比較各位同學(xué)不同方法的過(guò)程中進(jìn)一步明晰了乘法運(yùn)算定律的異同。

指令性要求便于學(xué)生在明確的要求下實(shí)施有效操作，但缺點(diǎn)是容易框住學(xué)生思維，而自主性選擇把主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生，他們完全可以根據(jù)自己的理解創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

2.將解答習(xí)題過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)檠杏懛桨概c策劃設(shè)計(jì)的過(guò)程，讓學(xué)生成為主動(dòng)參與者

【案例3】組合圖形的面積計(jì)算（人教版五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元中的練習(xí)題）。

【案例剖析】該習(xí)題是典型的“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料。如果僅僅是為了計(jì)算圖形的面積，學(xué)生根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可以直接進(jìn)行計(jì)算。主要有三種方法：

方法一：縱向分割得長(zhǎng)方形+梯形，（5+10）×（12-6）÷2+5×6

方法二：橫向分割得長(zhǎng)方形+三角形，5×12+（12-6）×（10-5）÷2

方法三：補(bǔ)全相減得長(zhǎng)方形-梯形，12×10-（6+12）×（10-5）÷2

應(yīng)該說(shuō)如果學(xué)生能夠考慮到這三種方法并正確解答，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)對(duì)多邊形面積計(jì)算掌握得非常好了。但筆者認(rèn)為，此“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料雖然能夠考察學(xué)生空間觀念，但因?yàn)樘峁┝巳繑?shù)據(jù)信息，所以最終落腳點(diǎn)還是應(yīng)用公式計(jì)算，而不是解題方法的策劃。

基于以上分析，筆者進(jìn)行了改編（圖4），不提供任何數(shù)據(jù)信息，只呈現(xiàn)圖形。

【話題1】要計(jì)算該圖形面積，你有幾種方案？分別涉及哪些平面圖形的面積計(jì)算？

【話題2】如果要計(jì)算出這個(gè)圖形的面積，你認(rèn)為至少需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？請(qǐng)你標(biāo)出需要的數(shù)據(jù)并依此進(jìn)行計(jì)算。

改編后的習(xí)題就是筆者文中講到的“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料。對(duì)于“話題1”不需要學(xué)生進(jìn)行具體計(jì)算，重點(diǎn)關(guān)注的是學(xué)生解決問(wèn)題的思路與方法，是策劃解題方案的過(guò)程。同時(shí)在策劃解題方案的過(guò)程中，也有效地復(fù)習(xí)回顧了相關(guān)平面圖形的面積計(jì)算問(wèn)題。

“話題2”則進(jìn)一步把計(jì)算面積的主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生。但想要計(jì)算出這個(gè)圖形的面積也非易事，學(xué)生要有較強(qiáng)的整體觀察與思考能力，相當(dāng)于要自己設(shè)計(jì)所需數(shù)據(jù)，再據(jù)此進(jìn)行計(jì)算，全方位促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

提供“對(duì)等信息”的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生解答相應(yīng)習(xí)題，學(xué)生更多處于操練層面，一味呈現(xiàn)這種形式的學(xué)習(xí)材料，容易導(dǎo)致學(xué)生形成思維定勢(shì)，不利于學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)上對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題本原進(jìn)行思考。而“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料有利于打破學(xué)生形成的思維定勢(shì)，開(kāi)拓學(xué)生視野，讓學(xué)生不再充當(dāng)做題的機(jī)器，而讓學(xué)生成為習(xí)題設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)的主動(dòng)參與者。

（三）變發(fā)現(xiàn)為建構(gòu)：讓學(xué)生從被動(dòng)接受者變?yōu)橹鲃?dòng)建構(gòu)者

【案例4】軸對(duì)稱(chēng)（人教版四年級(jí)下冊(cè)第七單元第82頁(yè)至第83頁(yè)“圖形的運(yùn)動(dòng)”第一課時(shí)）。

【教學(xué)方案1】

首先呈現(xiàn)“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料（例1），引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸互相垂直兩條重要性質(zhì)。

然后利用得到的兩條重要性質(zhì)完成例2及相應(yīng)練習(xí)。

【教學(xué)方案2】

呈現(xiàn)“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料（小樹(shù)的一半）。

首先獨(dú)立補(bǔ)全小樹(shù)的另一半，學(xué)生在補(bǔ)全另一半的過(guò)程中，不自覺(jué)地運(yùn)用了對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸距離相等以及對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸互相垂直這兩條重要性質(zhì)，而此時(shí)學(xué)生對(duì)這兩條性質(zhì)的認(rèn)知只不過(guò)是一種無(wú)意識(shí)的狀態(tài)，并不十分清晰。

然后采用小組合作討論的形式，說(shuō)說(shuō)各自是怎樣補(bǔ)全另一半的，在這個(gè)討論、交流的過(guò)程中，逐漸清晰了對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸距離相等以及對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸互相垂直這兩條重要性質(zhì)的認(rèn)知。

最后利用這兩條重要性質(zhì)完成相應(yīng)練習(xí)。

【案例剖析】

教學(xué)方案1遵循觀察—發(fā)現(xiàn)—應(yīng)用的教學(xué)思路，學(xué)生主體地位不明顯，學(xué)生的思維處于淺層次水平；而教學(xué)方案2遵循嘗試—探究—發(fā)現(xiàn)—應(yīng)用的教學(xué)思路，體現(xiàn)了“做中學(xué)”思想，學(xué)生是主動(dòng)的建構(gòu)者，學(xué)生的思維位于較高層次水平。

“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料往往會(huì)削弱學(xué)生的主體地位，學(xué)生可以通過(guò)直觀觀察、直接運(yùn)用所學(xué)知識(shí)便能比較容易地解決問(wèn)題；而“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料則會(huì)大大加強(qiáng)學(xué)生的主體地位，這樣的學(xué)習(xí)材料會(huì)使學(xué)生更主動(dòng)地思考學(xué)習(xí)材料的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，可以有效促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料使用時(shí)需要注意的問(wèn)題

“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料中不可或缺的重要部分，但因小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)及小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，所以在日常教學(xué)中設(shè)計(jì)與使用“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料時(shí)需要注意以下三點(diǎn)問(wèn)題：

1.所提供給學(xué)生的學(xué)習(xí)材料應(yīng)以“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料為主，以“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料為輔，二者相輔相成、相得益彰。

2.在提供“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料時(shí)，應(yīng)特別加強(qiáng)對(duì)學(xué)困生的指導(dǎo)與幫助。

3.針對(duì)“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料的組織學(xué)習(xí)，要特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探究，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，突出學(xué)生的主體地位。

“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料有利于打破學(xué)生習(xí)以為常對(duì)于“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料思考的慣性，它更加指向“開(kāi)放”與“多元”的數(shù)學(xué)思考，與“對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料相輔相成、相得益彰，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考不可或缺的有效載體。那么，就讓我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中重視設(shè)計(jì)與使用“非對(duì)等信息”學(xué)習(xí)材料吧！

（浙江省杭州市拱墅區(qū)大關(guān)小學(xué) 310011）