由學生的問題，引發(fā)“商不變性質(zhì)”教學的思考

朱學堯

【摘 要】教學中基于學生已有的認知經(jīng)驗，需要對“商不變性質(zhì)”教學進行重構。讓學生經(jīng)歷“余數(shù)”的“破”與“立”的“蟬變”過程，依托“同化”和“順應”，來幫助學生完善對整數(shù)除法中“余數(shù)”和“商”的認知?；谶@樣的思考，“淡抹”例7教學，“濃妝”探究“商不變性質(zhì)”中余數(shù)變化的特點，豐富、拓展對商和有余數(shù)除法的認知。

【關鍵詞】經(jīng)驗 理性 知識點 結構關聯(lián) 問題發(fā)現(xiàn)和研究

“商不變性質(zhì)”是四年級上冊的內(nèi)容，第一課時，是教學“商不變性質(zhì)”，第二課時，是教學“商不變性質(zhì)”運用，即運用“商不變性質(zhì)”進行簡算和解決簡單的實際問題。這一課教學的重難點是在運用“商不變性質(zhì)”進行豎式計算時，豎式的書寫過程以及判斷原算式中的余數(shù)問題。最近聽了第二課時（例8）的教學，在利用商不變性質(zhì)解決“小號每個40元，900元錢，最多可以買幾個小號？還余多少元錢？”這一問題時，學生在900÷40的豎式書寫和橫式的余數(shù)上，出現(xiàn)了不少問題。在交流環(huán)節(jié)，一個學生提出了這樣的疑問：“豎式下面明明是2，可是橫式后面為什么要改成20？”。之后，該教師通過兩種豎式（一般方法和簡便方法）以及驗算來幫助學生釋疑。筆者隨機看了十幾位同學作業(yè)紙上的先前練習，有近一半的同學或在書寫或在橫式的結果上出現(xiàn)問題。我想，課堂上通過教師對兩種方法的反復比對，再依托驗算或者像這位教師小結的那樣“被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時劃去幾個0，在余數(shù)的末尾就要添上幾個0”的方法，學生也能接受。但這種“知其然，不知其所以然”的背后，學生是否還會存在這樣的疑問：“900÷40和90÷4的結果應該一樣呀？這不是商不變性質(zhì)的運用嗎？可為什么橫式后面的結果不一樣呢？”學生為什么在例題學完之后，會提出這樣的疑問？課堂上學生出現(xiàn)問題的根源在哪里呢？

一、 問題的提出

（一）學生為什么會出現(xiàn)疑惑

課后，在研討時，幾位聽課教師，結合自己的教學體會，分析了學生產(chǎn)生這樣問題的原因。其一是：第一課時的教學，學生接觸的都是被除數(shù)和除數(shù)同時“劃0”時，“商”是不變的，“商”是“完全商”（沒有余數(shù)）的豎式計算題。其二是：學生認為“商”不變，就是計算結果不變，而計算結果，就是等號后面的全部（商和余數(shù)）。其三是：學生在用豎式計算時，根本不去考慮余數(shù)的變化。因為，在以往的有余數(shù)除法豎式計算中，豎式中的余數(shù)是幾，橫式中的余數(shù)就是幾。此時，盡管教師借助豎式，利用數(shù)位來幫助學生理解，還是很難“扭轉(zhuǎn)”學生多年積累的經(jīng)驗，很難從根本上幫助學生消除這種疑惑。

（二）釋疑”的“根”在哪里

筆者以為，要從“根”“上來幫助學生“釋疑”，一方面是要讓學生經(jīng)歷被除數(shù)和除數(shù)同時乘（除）一個數(shù)（0除外），余數(shù)是否變化的探究過程，另一方面要讓學生明確，“余數(shù)”的“相對性”，并滲透對“完全商”和“不完全商”的認知。這樣，也為后面學習小數(shù)除法時，利用余數(shù)特點來解決實際問題打下基礎。因而，在教學例7的同時，不妨增加讓學生探索“商不變性質(zhì)”中余數(shù)變化的特點，而把第二課時（例8），作為學生能否自覺運用“商不變性質(zhì)”來解決實際問題的練習課，把教學重心放在豎式的書寫上。這樣設想的依據(jù)是：其一，筆者以為學生在學習第一課時（例7）“商不變性質(zhì)”之前，已經(jīng)積累了相應的認知經(jīng)驗，如在二、三年級，學生常練習形如180÷20，70×20的口算，還有在三年級“兩位數(shù)除以一位數(shù)”練習里，出現(xiàn)了許多形如6÷2，60÷20，600÷2等題目，尤其在本單元例7前面的練習二中出現(xiàn)了如下題目（見表1）。

這些題目已經(jīng)不自覺地滲透了“商不變的性質(zhì)”的運用，也就是說，學生對“商不變性質(zhì)”的認知，是有一定的感知經(jīng)驗的。因而，例7的學習，對學生來說，沒有多大的認知障礙，學生會順利通過舉例、觀察、驗證和概括的環(huán)節(jié)，依托“同化”，來自我建構“商不變性質(zhì)”的。相反的是，學生由于之前學習的有余數(shù)除法，豎式下面的余數(shù)與橫式后面的余數(shù)都是一致的，是不需要調(diào)整的，這一認知經(jīng)驗，反而給學生學習例8帶來干擾，在例7的學習過程中，需要讓學生經(jīng)歷“余數(shù)”的“破”與“立”的“蟬變”過程，依托“同化”和“順應”，來幫助學生完善對整數(shù)除法中“余數(shù)”和“商”的認知?；谶@樣的思考，筆者“淡抹”了例7教學，留取一定時間，“濃妝”了讓學生探究“商不變性質(zhì)”中余數(shù)變化的特點。通過實踐，取得了很好的教學效果。

二、問題的解決

第一部分：教學例7，體會沒有余數(shù)時的“商不變性質(zhì)”。

環(huán)節(jié)一，經(jīng)歷觀察、舉例和驗證的過程，感知“變”與“不變”。

環(huán)節(jié)二，交流、概括和總結“商不變性質(zhì)”。

在學生觀察橫式中被除數(shù)和除數(shù)變化特點之外，要突出小結余數(shù)的特點，即余數(shù)都為0。

環(huán)節(jié)三，反思、回顧和體會“商不變性質(zhì)”的價值。

以前在口算時，是否運用過這樣的經(jīng)驗。此時，教師出示如6÷2，60÷20，600÷2以及40÷20 ，150÷30等口算題。最后，再出示練習二中的表格題（見表1）。

第二部分：豐富除法算式，體會有余數(shù)時“商不變性質(zhì)”中的“不變”與“變”。

師生交流：剛才我們研究的這些除法算式，商都是正好的，我們稱為“完全（整）商”，也就是沒有余數(shù)的（或余數(shù)是0）。想一想，如果兩個數(shù)相除，如果有余數(shù)，這個規(guī)律還存在嗎？

環(huán)節(jié)一：出示下表，讓學生填寫右邊的三列。

請同學們像第一部分那樣，經(jīng)歷舉例、發(fā)現(xiàn)和歸納的過程。

師生觀察上表，初步得出結論：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個數(shù)，商不變。但余數(shù)也同時隨著擴大或縮小。

環(huán)節(jié)二：請同學舉例或找反例，來驗證上面的結論。

環(huán)節(jié)三：深度反思，突出“不變”與“變”。

教師提出問題：在有余數(shù)除法里，利用“商不變性質(zhì)”，商的大小是否改變？余數(shù)呢？你能通過其他方式來解釋余數(shù)改變的道理嗎？

學生有以下幾種方法：分東西舉方法。如10個蘋果，分給3個人，每人3個，剩1個；20個蘋果，分給6個人，每人3個，剩2個。

用圖來說明方法（此時，教師借助圖來“以形解數(shù)”）：

還有個性化解讀的，如因為除數(shù)和余數(shù)都是被除數(shù)的一部分，被除數(shù)和除數(shù)擴大了2倍，余數(shù)也應該擴大2倍等。

師生交流：被除數(shù)和除數(shù)同時乘（除以）一個數(shù)（0除外），不變的是什么？變的是什么？

環(huán)節(jié)四：體會余數(shù)的本質(zhì)和其相對性。

第一層次，觀察橫式，發(fā)現(xiàn)“不變”與“變”。

如5÷2=2……1和10÷4=2……2。蘋果總數(shù)（被除數(shù)）擴大2倍，分的人數(shù)（除數(shù)）也擴大2倍，每人分的個數(shù)（商）不變，但余數(shù)是隨著擴大。

第二層次，體會余數(shù)的相對性，完善對余數(shù)的認知。

引導學生觀察（可借助上面的圖）并提出下面的問題：第一幅圖，余下1個蘋果，是分給幾個人余1個？如果剩下的這1個蘋果再分給這2個人，每人還能分幾個？學生通過觀察圖，借助圖分一分、畫一畫，都能說出：分給2個人，余1個，每人還能再分半個。同樣，學生看第二幅圖，都能說出：余下2個蘋果，再分給這4個人，每人也能再分到半個。之后，教師出示下面兩個算式：5÷2=2……1和10÷4=2……2，讓學生辨析這兩個算式的計算結果是否一樣？在辨析過程中，學生中出現(xiàn)了 “看起來結果不一樣，實際上是一樣的，因為余數(shù)的‘價值不一樣”“余數(shù)雖然不一樣，一是余1個，一是余2個，但要結合總數(shù)來看”的說法。還有的同學說出“要結合被除數(shù)和除數(shù)來看余數(shù)的實際大小”“余數(shù)要結合算式來看，余數(shù)是1，只能說是算式5÷2的，不能說是算式10÷4的”“余數(shù)是暫時存在的”等個性化的理解。此時，教師相機小結：如果把余數(shù)繼續(xù)分（除）下去，其實，這兩個計算結果實際上是一致的，每人都是2個整蘋果加上半個蘋果。只是因為，現(xiàn)在我們還沒有學過用小數(shù)來表示分得的結果（商），等到學過小數(shù)時，這兩個算式的商都統(tǒng)一用一個小數(shù)來表示了?，F(xiàn)在，用整數(shù)來表示除法算式中的商，我們稱這個商叫除法算式的“不完全商”。

第三層次，辨一辨，內(nèi)化對余數(shù)的認知。

教師出示下面兩題：（1）200÷30 20÷3 （2）40÷6 400÷60先觀察兩組算式的特點，當商為6時，余數(shù)2、20、4、40分別是哪個算式中的余數(shù)？課后，利用這三個算式，編一道解決實際問題的題目，并列出算式解答。

三、 教后反思

（一）從“經(jīng)驗”的感知，走向理性的分析

課后，筆者把課堂中學生出現(xiàn)的問題，掛在四年級數(shù)學教師QQ群中，參與跟帖的教師，都談及自己的課堂也出現(xiàn)過這樣的問題，但給出解決問題的辦法，均是以下兩點：一是認為學生在用豎式簡便計算時，出現(xiàn)書寫上的問題，主要是學生在豎式對位上出現(xiàn)了問題，給出的辦法就是借助豎式，來強調(diào)數(shù)位問題。二是學生在余數(shù)上出現(xiàn)問題，主要還是沒搞清余數(shù)在豎式中所處的位置。至于如何解釋余數(shù)后面要添0，給出的辦法是：一是靠驗算，二是讓學生記住“被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時劃去幾個0，在余數(shù)的末尾就要添上幾個0”這一經(jīng)驗。顯然，這是憑借多年教學的“經(jīng)驗”，主觀判斷學生出現(xiàn)錯誤的原因以及“經(jīng)驗”傳遞的表現(xiàn)。卻很少能跳出“經(jīng)驗”的窠臼，從學生的認知特點和已有的認知經(jīng)驗去理性的分析。如上述案例中，學生對余數(shù)和豎式書寫出現(xiàn)問題，不能簡單地歸結為豎式中數(shù)位對齊問題。要讓學生“知其然，知其所以然，規(guī)避其不然”，需要幫助學生完善和豐富對整數(shù)除法中商和余數(shù)的認知。搞清在運用商不變性質(zhì)時，有余數(shù)除法和沒有余數(shù)（余數(shù)為0）除法計算各部分之間的聯(lián)系。教學之前，我們常習慣于依靠“經(jīng)驗”來專研教材，而研究學生成為多數(shù)教師的盲區(qū)，教師對學生的研究往往訴諸偶然的經(jīng)驗，缺乏必要的理性思考和理論支撐。

（二）從教單一的知識點，走向教關聯(lián)的知識結構

教材在編排上多是體現(xiàn)知識的點狀特征。教材好多章節(jié)的編排是割裂了知識整體之間的內(nèi)在聯(lián)系，割裂了知識發(fā)生、發(fā)展的來龍去脈的。教師受教材點狀編排的束縛，在例題的教學上，僅有改變例題的情境創(chuàng)設意識和能力，缺乏新舊知識整體的結構關聯(lián)意識，教學時，常出現(xiàn)割裂知識間內(nèi)在聯(lián)系的現(xiàn)象。如該節(jié)課的例題以表格形式直接給出一組除法算式，在“提示語”的指導下，讓學生把精力集中在觀察、舉例、驗證和概括的過程中。但教師都會把“創(chuàng)造性使用教材”用在情境的改變和創(chuàng)設上，以激發(fā)學生的學習興趣。卻很少從知識的框架結構以及學生的認知特點和已有的認知經(jīng)驗來靈活地整合教材，進行視角上的轉(zhuǎn)換。如果教師有了這種意識，在預設學生的問題時，會在“瞻前”學生已有的經(jīng)驗和“顧后”待學習的知識之間，建立某種聯(lián)系，進而進行策略上的轉(zhuǎn)換。

（三）從常規(guī)性的問題發(fā)現(xiàn)，走向個性化的問題研究

新課標強調(diào)“要培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力”的要求。教師要想培養(yǎng)學生這四種能力，首先要有這方面的自我意識和能力。如今，教師在常規(guī)工作中，不乏發(fā)現(xiàn)問題的眼光，但常持有回避問題或視問題為應然的態(tài)度。關于“商不變性質(zhì)”的問題研究，筆者打開QQ“數(shù)學研討”群，發(fā)現(xiàn)多數(shù)教師的留言是反映自己在教學這一內(nèi)容時，曾多次遇到類似的問題，相同的“經(jīng)驗”告訴他們，解決問題的最好辦法就是告訴學生記住“被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時劃掉幾個0，就要在余數(shù)的末尾添上幾個0”。研究課堂中的問題，是改造和提升經(jīng)驗的抓手。德國古典主義思想家黑格爾曾說過：“熟知并非真知”“人死于習慣?！苯o我們的教學啟示是：要走出教學的慣性，莫讓“經(jīng)驗”羈絆了我們的手腳，要讓研究成為我們的教學習慣。

參考文獻：

[1]吳亞萍.課堂教學轉(zhuǎn)型變革的策略研究[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

（安徽省蚌埠禹會區(qū)教體局教研室 233010）