平面向量解題策略例析

唐學(xué)寧

【摘要】平面向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.近幾年高考試題中多以基底法、坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合法等考查平面向量的知識(shí)，下面分類(lèi)介紹這幾種方法.

【關(guān)鍵詞】平面向量；解題；策略

一、基底法

平面上任意一組不共線的向量構(gòu)成一組基底，用基底可以表示平面上的所有向量.解決平面向量問(wèn)題時(shí)，如果我們有意識(shí)地把一些向量轉(zhuǎn)化為基底，往往能讓問(wèn)題變得直接明了，易于解決.

例1設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD=12AB，BE=23BC，DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2為實(shí)數(shù)），則λ1+λ2的值為（）.

A.1

B.12

C.13

D.14

分析根據(jù)題意，只需要把DE用一組基底AB，AC表示出來(lái)即可，而DE可以表示成DA+AE，所以只要用AB，AC表示出AE即可.

解因?yàn)锽E=23BC，所以AE=13AB+23AC，而DE=DA+AE=-12AB+13AB+23AC=-16AB+23AC，故λ1+λ2=-16+23=12，故選B答案.

點(diǎn)評(píng)：若D在△ABC的邊BC上，且BD∶DC=λ∶μ，則AD=μλ+μAB+λλ+μAC.特別地：當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，BD∶DC=1∶1，則AD=12AB+12AC.

例2如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，且AE∶EB=2∶1，BD與CE交于點(diǎn)P，若AP=xAB+yAC，則x-y=.

分析本題其實(shí)是利用基底AB，AC表示出AP，注意到B，P，D與E，P，C三點(diǎn)共線，因此，使用三點(diǎn)共線來(lái)解.

解AP=xAB+yAC=xAB+2yAD，而B(niǎo)，P，D三點(diǎn)共線，所以x+2y=1；同理，AP=xAB+yAC=32xAE+yAC，所以32x+y=1.

因此，x+2y=1，3x2+y=1， 解得x=12，y=14， 因此，x-y=14.

點(diǎn)評(píng)：如果A，B，C三點(diǎn)共線，且OA=xOB+yOC，則必有x+y=1，利用這個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題有時(shí)候可以達(dá)到事半功倍的效果.

二、數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，它們之間存在著對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系.數(shù)形結(jié)合思想，就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形轉(zhuǎn)化，以提高思維的靈活性、形象性、直觀性，使問(wèn)題化難為易，化抽象為具體.

例3向量a=（2，0），b=（x，y），若b與b-a的夾角為π6，則|b|的最大值為（）.

A.4

B.23

C.2

D.433

分析本題如果根據(jù)題目意思直接來(lái)解決，那首先求出向量b-a=（x-2，y），接著求數(shù)量積（b-a）·b=x2-2x+y2，利用夾角為30度得關(guān)系式x2-2x+y2x2+y2（x-2）2+y2=32，在此條件下求|b|=x2+y2的最大值.顯而易見(jiàn)的繁、雜、難.

解如圖，因?yàn)閎與b-a的夾角為π6，所以b的終點(diǎn)B構(gòu)成以O(shè)A為一條固定弦、∠OBA=π6的圓，易知當(dāng)OB為直徑時(shí)最長(zhǎng)，因此，由正弦定理得2R=OAsin30°=4.所以|b|的最大值為4.

點(diǎn)評(píng)：向量融“數(shù)”“形”于一體，因此，向量中數(shù)形結(jié)合法使用非常多，比如，若條件給出|a+b|=|a-b|，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形為矩形.若條件給出|a|=|b|=|a-b|，則以a、b為鄰邊構(gòu)成的三角形為等邊三角形等等.

三、特殊圖形法

數(shù)學(xué)中通過(guò)設(shè)題中某個(gè)未知量為特殊值，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法稱(chēng)之為特殊值法.

例4如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則AP·AC=.

分析初看本題，好似少了一個(gè)條件，使用基底法發(fā)現(xiàn)可以求出AP·AC=AP·（AB+AD）=AP·（AP+PB+AP+PD）=AP·（2AP+PB+PD）=2AP·AP+AP·PB+AP·PD=18，但是顯得不夠簡(jiǎn)便，考慮到平行四邊形ABCD，如果我們選擇最特殊的平行四邊形，也就是正方形呢？

解把平行四邊形特殊化，取成如圖所示正方形，滿足題設(shè)條件AP⊥BD，又AP=3，所以AC=6，由此可知AP·AC=|AP|·|AC|=18.

點(diǎn)評(píng)：如果使用向量數(shù)量積的幾何意義解決本題也是不錯(cuò)的方法：記AC與BD交點(diǎn)為O，則AP·AC=2AO·AP=2|AO|·cosθ·|AP|=2|AP|·|AP|=2×3×3=18.

四、坐標(biāo)法

直角坐標(biāo)是平面向量中的一個(gè)重要工具，它將向量中的圖形和代數(shù)巧妙地聯(lián)系起來(lái)，不僅使一部分問(wèn)題的解決變得容易，而且會(huì)給你一種新的啟迪和數(shù)學(xué)美感.

例5在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N為AC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|MN|=2，則BM·BN的取值范圍為.

分析如果采用基底法，由于CM與MA及CN與NA的比例不確定，因此，用BA與BC表示向量BM與BN較為煩瑣.考慮到△ABC為等腰直角三角形且|MN|=2，如果使用坐標(biāo)法可以很簡(jiǎn)單地建立坐標(biāo)系，因此，可以考慮坐標(biāo)法.

解以B為原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)M為靠近y軸的點(diǎn)，坐標(biāo)為M（x，y）（0≤x≤1）；可知N（x+1，y-1），直線AC的方程為y=-x+2，于是

BM·BN=x（x+1）+y（y-1）=x2+x+y2-y，

=x2+x+（-x+2）2-（-x+2）

=2x2-2x+2（0≤x≤1）.

當(dāng)x=12時(shí)，（BM·BN）min=32，當(dāng)x=0或x=1時(shí)，（BM·BN）max=2；即知BM·BN的取值范圍32，2.

近六年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷中對(duì)平面向量的考查，均為1個(gè)題，分值5分，其中2011年與2015年為選擇題，其他年份均為填空題，題型結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定.從考點(diǎn)分布來(lái)看，均以向量的模與夾角、坐標(biāo)運(yùn)算、基底、共線等知識(shí)為主，本文拋磚引玉，希望大家舉一反三.