播種符號(hào)，開(kāi)啟兒童的“準(zhǔn)代數(shù)式”思維

楊偉琴

摘 要：數(shù)學(xué)符號(hào)具有一般文字所不具備的簡(jiǎn)潔、直觀、形象、概括等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要相繼滲透、播種、啟蒙學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，開(kāi)啟學(xué)生的符號(hào)思維，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“準(zhǔn)代數(shù)式”的思考。要孕育學(xué)生的符號(hào)化思想、敏銳學(xué)生的符號(hào)感覺(jué)，讓符號(hào)在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生根、發(fā)芽、開(kāi)花、結(jié)果。引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)捕捉學(xué)習(xí)、生活中的符號(hào)信息，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)的誕生、生長(zhǎng)、應(yīng)用的全過(guò)程，以此發(fā)展學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式思維”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)符號(hào)；準(zhǔn)代數(shù)式思維

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】1008-1216（2017）07B-0079-02

符號(hào)是人類文明發(fā)展的重要標(biāo)志之一，符號(hào)的產(chǎn)生，意味著人類思維從感性走向理性，從具象走向抽象。而在我們的數(shù)學(xué)三大基本語(yǔ)言——文字、圖像與符號(hào)中，數(shù)學(xué)符號(hào)優(yōu)于一般文字語(yǔ)言的特點(diǎn)是簡(jiǎn)潔、直觀、形象、概括。難怪著名數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家羅素這樣說(shuō)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯”。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中也明確指出“要用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”?？梢?jiàn)，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式”思維是數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，播種符號(hào)，開(kāi)啟學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式”思維，筆者認(rèn)為其要義有三：其一，是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的準(zhǔn)確理解；其二，是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行科學(xué)表達(dá)；其三，是主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)分析和解決問(wèn)題。下面筆者結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中向?qū)W生滲透符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式思維”。

一、貼合學(xué)生實(shí)際，豐富學(xué)生的符號(hào)語(yǔ)言

與一般表述性的文字以及形象具體的圖畫相比，數(shù)學(xué)符號(hào)更加簡(jiǎn)約、清晰，一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)往往可以涵蓋成段的文字表述或幾組復(fù)雜的圖像內(nèi)容。如一個(gè)小小的乘號(hào)“×”，便有著“表示幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”這么豐富的內(nèi)容，而“a+b=b+a”這個(gè)符號(hào)的小組合，則概括了加法交換律“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”這樣的具體內(nèi)容。因此，從學(xué)生實(shí)際生活和認(rèn)知出發(fā)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中合理滲透、播種、啟蒙學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，開(kāi)啟學(xué)生的符號(hào)思維，孕育學(xué)生的符號(hào)化思想，是有必要而且是必需的。著名語(yǔ)言學(xué)家皮埃爾·吉羅說(shuō)：“我們生活在符號(hào)的世界之中。”在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中借助合適的方式適時(shí)滲透日常生活中蘊(yùn)含著的豐富的符號(hào)因子，可以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，主動(dòng)吸納，積極運(yùn)用。例如，在小學(xué)低年級(jí)，由于學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)未知數(shù)，教師可以采用填空的形式，如（ ）+3=5；7-（ ）>3；1、4、9、（ ）、（ ）、36等等。學(xué)生在填寫這些（ ）時(shí)，能夠形成一種最初的符號(hào)意識(shí)。除此而外，教師對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，都需要讓學(xué)生理解其深刻的含義，如“=”表示相等、一樣多；“>”“<”，開(kāi)口端表示多，尖端表示少；到了小學(xué)高年級(jí)，就應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)未知符號(hào)“x”的真正內(nèi)涵，即“x”不僅可以表示已知的、確定的數(shù)，還可以表示未知的、不確定的數(shù)。教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生感受符號(hào)的存在意義。教學(xué)中，教師還可以聯(lián)系數(shù)學(xué)歷史，講解數(shù)學(xué)符號(hào)的小故事，如“負(fù)號(hào)”的誕生歷程等，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)符號(hào)的魅力。

二、經(jīng)歷符號(hào)化過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生理解符號(hào)

數(shù)學(xué)符號(hào)的不同組合，可以準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)量間的邏輯關(guān)系，體現(xiàn)深刻的數(shù)學(xué)思想和方法。如S=ab中，S表示面積，a表示長(zhǎng)，b表示寬，合起來(lái)它就表示著長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，這種靈活變化的建構(gòu)性，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)符號(hào)的豐富內(nèi)涵。著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說(shuō)得好：“與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)字化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)公理化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)形式化”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“形象——表象——抽象符號(hào)”的全過(guò)程。在學(xué)生形成數(shù)學(xué)的符號(hào)表征后，還要啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解。例如，在教學(xué)《用字母表示數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊(cè)），對(duì)于“老師的年齡比王芳的年齡大25歲”這一句子，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)。

師：要知道老師今年的年齡，必須知道什么？

生：王芳今年的年齡。

師：不知道王芳今年的年齡，你能夠進(jìn)行推算嗎？

生1：王芳1歲，老師26歲。

生2：王芳10歲，老師36歲。

生3：老師的年齡可以用1+25、2+25、3+25……算式表示。（生鼓掌）

生：這樣表示怎么樣呢？

生4：麻煩。

師：王芳的年齡在不斷地變化，老師的年齡也在變化，但老師的年齡和王芳年齡之間的關(guān)系是怎樣呢？（生恍然大悟）

生5：如果王芳的年齡是△歲，老師的年齡就是（△+25）歲。

生6：如果王芳的年齡師α歲，老師的年齡就是（α+25）歲?！?/p>

在教師有意識(shí)地引領(lǐng)下，學(xué)生由原來(lái)的具體數(shù)舉例逐步過(guò)渡到借助符號(hào)來(lái)表示變量，成功地用（△+25）歲、（α+25）歲等形式表征了王芳的年齡、老師的年齡以及王芳與老師年齡之間的關(guān)系。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)量關(guān)系符號(hào)化的全過(guò)程，理解了數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)，感受并體驗(yàn)到數(shù)學(xué)符號(hào)的力量，對(duì)符號(hào)的運(yùn)用產(chǎn)生了濃厚的興趣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、方法、思維也在此運(yùn)用中得到熏陶和強(qiáng)化。

三、強(qiáng)化符號(hào)化思維，促進(jìn)學(xué)生的符號(hào)運(yùn)用

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出：“符號(hào)的使用是學(xué)生表達(dá)數(shù)學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)自覺(jué)地引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“符號(hào)化思維”，讓學(xué)生運(yùn)用符號(hào)將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)潔地表征出來(lái)，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例如：在小學(xué)低年級(jí)教學(xué)“等量代換”的問(wèn)題：2頭牛相當(dāng)于6頭豬的重量；1頭豬相當(dāng)于3只羊的重量，那么1頭牛相當(dāng)于幾只羊的重量？由于學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)方程，但運(yùn)用文字表達(dá)牛、豬、羊之間的關(guān)系比較復(fù)雜。因此，教學(xué)中筆者引領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)自主表征牛、豬、羊之間的關(guān)系。學(xué)生創(chuàng)造的符號(hào)有趣而生動(dòng)，借助于創(chuàng)造的符號(hào)，學(xué)生嘗試解決問(wèn)題。有學(xué)生這樣表示：2△=6☆、1☆=3○，即1△=3☆、1☆=3○，所以1△=9○。簡(jiǎn)易符號(hào)將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系清晰地表示出來(lái)，通過(guò)代換，學(xué)生能夠想到用“○”來(lái)代替“☆”，進(jìn)而解決問(wèn)題。這是一個(gè)運(yùn)用符號(hào)完整地解決問(wèn)題的過(guò)程：首先是主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)表征數(shù)量關(guān)系，然后是用觀察、分析、代替法對(duì)符號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，最后是形成用符號(hào)思考的結(jié)果，再還原成現(xiàn)實(shí)的數(shù)量。這樣的問(wèn)題解決過(guò)程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)思維十分有益。

到了小學(xué)高年級(jí)，我們則引領(lǐng)學(xué)生走向約定俗成的符號(hào)認(rèn)知，在常規(guī)符號(hào)的運(yùn)用中進(jìn)一步抽象思維、簡(jiǎn)約表達(dá)，在“準(zhǔn)代數(shù)式”的思考中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)分析和解決問(wèn)題。如在學(xué)習(xí)平面圖形和立體圖形的面積、表面積、體積計(jì)算中，我們就要讓學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用字母a、b來(lái)表示邊長(zhǎng)或棱長(zhǎng)，S來(lái)表示長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積甚至圓柱、圓錐的底面積，長(zhǎng)方體、正方體的表面積、底面面積，h表示各種平面、立體圖形里的高等等，這樣，學(xué)生就好像有了公認(rèn)的依照和行事準(zhǔn)則，不用擔(dān)心運(yùn)用的符號(hào)不被他人理解和接受。同時(shí)，在推導(dǎo)出的結(jié)論中，經(jīng)常進(jìn)行文字表述和符號(hào)描述間的切換，可以讓他們更好地理解符號(hào)的具體內(nèi)涵，感受符號(hào)表示的極大便利。如在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出長(zhǎng)方體的體積公式等于底面積乘高后，概括寫出符號(hào)式V=sh，然后讓學(xué)生自由用文字和字母表述，這樣，符號(hào)意識(shí)及優(yōu)越性會(huì)得到進(jìn)一步內(nèi)化。

四、結(jié)束語(yǔ)

著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茨說(shuō)：“符號(hào)的巧妙和符號(hào)的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因?yàn)樗鼈兪顾伎脊ぷ鞯玫焦?jié)約。在這里它以驚人的形式節(jié)省了思維?！笨梢哉f(shuō)，沒(méi)有符號(hào)就沒(méi)有數(shù)學(xué)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和符號(hào)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。但學(xué)生符號(hào)意識(shí)和符號(hào)思維的形成不是一朝一夕的事情，它是一項(xiàng)長(zhǎng)期而系統(tǒng)的工程，需要教師耐心、細(xì)致和持久的指導(dǎo)。教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)盡可能地貼合學(xué)生的實(shí)際，讓學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)符號(hào)、表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)，進(jìn)而創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張海青.培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí) 提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng) [J]. 小學(xué)教學(xué)參考，2015，（11）.

[2]吳志健.數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)有效生成探究[J]. 教學(xué)與管理，2016，（2）.endprint