貝塞爾函數(shù)在拋物型偏微分方程求解中的應用

程煒

【摘要】傅里葉（Fourier）變換法是處理拋物型方程定解問題的重要方法之一.考慮一個無限長圓柱形區(qū)域上的軸對稱拋物型偏微分方程的混合問題，應用Fourier變換方法、變形的貝塞爾（Bessel）函數(shù)和它的性質求出該問題的形式解.同時也處理了球形區(qū)域上的拋物型方程的混合問題.

【關鍵詞】拋物型方程；Bessel函數(shù)；應用

【基金項目】河南省自然科學基金（132300410231）.

一、引言

與常微分方程相比，偏微分方程的研究歷史相對較短.對于偏微分方程的研究可以追溯到18世紀，由瑞士數(shù)學家歐拉首次提出了弦振動偏微分方程，緊隨其后，法國數(shù)學家達朗貝爾也明確了波動方程.從18世紀中葉到今天，通過若干代人對偏微分方程有關問題的不斷研討，使偏微分方程成為現(xiàn)代數(shù)學的重要組成部分.偏微分方程與物理、生命、地球等科學在許多方面有著廣泛的聯(lián)系，例如，人口模型對應的數(shù)學模型就是一個偏微分方程.從數(shù)學專業(yè)的角度出發(fā)，我們能夠清晰地了解到，偏微分方程的應用觸角幾乎已經深入到了自然學科的各個領域.伴隨著科技的發(fā)展，人類探索實踐活動的不斷深入，我們遇到了更多的偏微分有關的問題，這些問題大都是急需要解決的問題，對這些問題的求解日益得到人們的關注，成為數(shù)學學科和工程技術領域共同研究的熱點問題之一.拋物型偏微分方程是偏微分方程的一種重要類型，當它對應的物理模型是物體的熱傳導，則被稱為熱傳導方程，如果它對應的物理模型是液體或氣體或半導體材料中雜質的擴散時，則被稱為反應擴散方程.因此，研究拋物型偏微分方程的混合問題既具有理論價值也具有實際意義.本文研究拋物型方程的混合問題.

在許多實際應用領域，最常見的設備形狀是圓柱體或球體，關于這些特殊區(qū)域上的拋物型偏微分方程的定解問題的求解，往往需要先把問題轉化為柱坐標或球坐標系下的變系數(shù)的拋物型偏微分方程的定解問題，然后再應用特殊函數(shù)求出問題解的表達式.關于Bessel函數(shù)在偏微分方程求解中的應用研究大多比較復雜，并且運算的工作量也比較大.據(jù)我們所知用分離變量方法，結合應用Bessel函數(shù)求解微分方程通解或特解的文獻較少，用積分變換法結合Bessel函數(shù)求解微分方程通解或特解的文獻更為少見.本文采用Fourier變換方法、Bessel函數(shù)及其性質解決拋物型方程的混合問題.

貝塞爾是德國著名數(shù)學家，他首次構建了貝塞爾函數(shù)的總體理論框架.據(jù)作者了解，Bessel函數(shù)在數(shù)學、物理等領域中具有廣泛的應用，例如，數(shù)學中Bessel方程解的表達式用相應的Bessel函數(shù)表示，在圓柱形波導中的電磁波傳播問題研究需要Bessel函數(shù).在柱坐標或球坐標系下，應用變量分離的方法（行波方法）求解Helmhohz方程或Laplace方程，把偏微分方程轉化成Bessel方程.由此可知，Bessel函數(shù)在雙曲型偏微分方程混合問題、橢圓型偏微分方程邊值問題和拋物型偏微分方程混合問題的求解過程中起著非常重要的作用.在文獻[1]中，周慎杰等作者把變形的Bessel函數(shù)應用到力學分析中，導出了殼體力學分析應用的形式解.在文獻[2]中，金啟勝研究了一個波動方程的混合問題.采用變量分離的求解方法、Bessel函數(shù)及其性質推導出問題的形式解.作者Cheng等在文獻[3]中采用Fourier變換方法和球形Bessel函數(shù)及其性質推導出一個熱傳導方程定解問題解的表達式.在文獻[4]中，作者孫金海利用Bessel函數(shù)求解圓柱形區(qū)域內的Laplace方程的定解問題，并且利用Legendre函數(shù)求解球形區(qū)域內的電位分布問題.本文將利用Bessel函數(shù)求解柱形區(qū)域上軸對稱的拋物型偏微分方程的混合問題，球形區(qū)域上的球對稱拋物型方程的混合問題.

二、理論基礎

在本部分，我們給出相應的理論知識.下面先給出Fourier變換的主要性質：

微分性質：若函數(shù)f′（x）的Fourier變換存在，則

三、應用舉例

在文獻[6]中，作者Evans詳細介紹了Fourier變換.Fourier變換法是處理橢圓、拋物和雙曲型方程定解問題的重要方法之一.該方法的思想就是化偏為常，目的是把難度大的問題轉化為容易的問題，從而解之.Fourier變換法求解拋物型方程，事實上是先對拋物型方程做傅里葉變換，達到化偏為常的目的，然后求出轉化后的問題的解，最后對所有的象函數(shù)做Fourier逆變換，求出原問題解的表達式.在實際問題中，最常見的設備形狀是圓柱體或球體，在這樣特殊區(qū)域上的拋物型偏微分方程有關問題的求解，通常需要先把問題轉化為柱坐標或球坐標系下的變系數(shù)的拋物型偏微分方程的問題，然后再應用特殊函數(shù)求出問題解的表達式.下面我們采用Fourier變換方法、Bessel函數(shù)及性質求解拋物型偏微分方程的混合問題.

例1半徑為R無窮長均質圓柱體，在傳熱過程中，該物體內部沒有熱源，而邊界溫度保持為g（r），初溫度為零，圓柱體內的溫度分布只與r有關，其中的r表示圓柱體內的點到軸心的距離，求此圓柱體內各點的溫度分布.

分析假設圓柱體的軸與柱坐標系z軸重合，圓柱體內部任意一點P的溫度為u（r，t）.根據(jù)問題的物理意義知 limr→0u（r，t）是有界的，再結合問題中給出的其他已知條件可知，在柱坐標系下，函數(shù)u（r，t）滿足的數(shù)學模型為

表達式（12）即為圓柱體內各點溫度變化規(guī)律.

例2均質球體的半徑為a，球體內部沒有熱源，初溫度為零，在熱傳導過程中，球體邊界溫度保持為f（r），且球體內的溫度分布只與r有關，r表示球體內的點到球心的距離.求這個球體內各點的溫度分布.

分析由于球體內的溫度只與r有關，所有問題為球對稱，也被稱為徑向對稱.假設球心在球坐標系的原點，函數(shù)u（r，t）表示球體內部任意一點的溫度分布.根據(jù)問題的物理意義可知 limr→0u（r，t）是有界的，再結合問題中給出的其他已知的條件可知，在球坐標系下，函數(shù)u（r，t）滿足的數(shù)學模型為

四、結論

Fourier變換法通常被用來處理偏微分方程定解問題，該方法不僅具有理論價值，而且有實際意義.本文采用Fourier變換方法，并利用Bessel函數(shù)的性質求出柱形區(qū)域和球形區(qū)域上拋物型偏微分方程的混合問題的形式解.貝塞爾函數(shù)還能用于處理柱形區(qū)域上雙曲或橢圓型方程的定解問題.

【參考文獻】

[1]周慎杰，張思炎，孫樹圃.力學分析中應用的特殊函數(shù)[J].山東大學學報工學版，1994，24（4）：306-311.

[2]金啟勝.利用Bessel函數(shù)求解波動方程的定解問題[J].齊齊哈爾大學學報，2014，30（4）：89-91.

[3]W Cheng，C L Fu，Z Qian.A modified Tikhonov regularization method for a spherically symmetric three-dimensional inverse heat conduction problem[J].Mathematics and Computers in Simulation，2007（75）：97-112.

[4]孫金海.數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]王元明.數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]Lawrence C Evans.Partial differential equations[M].American Mathematical Society，Providence，Rhode Island，1997.

[7]柳重堪.正交函數(shù)及其應用[M].北京：國防工業(yè)出版社，1982.

[8]M Abramowitz，I A Stegun.Handbook of mathematical functions.Dover Publications Inc.，New York，1972.