向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何認(rèn)同研究

許雅麗

[摘要]向量在近代數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，特別是二維、三維的向量，它們既有數(shù)組的表現(xiàn)形式，又有直觀的幾何意義，因此能成為研究中學(xué)幾何問(wèn)題的有效工具。將三維向量（也稱空間向量）融入立體幾何已成為當(dāng)前立體幾何改革的重要措施。空間向量引入立體幾何，對(duì)傳統(tǒng)的教育模式以及課程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了很大的沖擊和影響，對(duì)空間向量與立體幾何結(jié)合的重要價(jià)值和作用得到了重點(diǎn)關(guān)注，因此進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)其的研究非常有必要?；诖吮疚姆治隽讼蛄坑^點(diǎn)下的高中立體幾何相關(guān)方面。

[關(guān)鍵詞]向量觀點(diǎn)下 高中 立體幾何

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]2095-3089（2017）12-0109-01

一、概述

高中向量知識(shí)的基本內(nèi)容可以從四個(gè)方面來(lái)體現(xiàn)。首先，其在三角函數(shù)中的內(nèi)容是向量的概念、向量的平移、向量的運(yùn)算及向量運(yùn)算與三角形之間的關(guān)系。其次，在解析幾何中，其內(nèi)容是直線的方向向量和法向量、兩向量的夾角與兩條相交直線的夾角、向量與平面內(nèi)距離的計(jì)算、向量運(yùn)算與軌跡求解、向量與圓錐曲線的平移。再次，其在立體幾何中的內(nèi)容是，向量運(yùn)算與平行關(guān)系的判斷與證明、向量計(jì)算與空間中距離計(jì)算、向量?jī)?nèi)積與角計(jì)算、直線的方向向量與平面的法向量。最后，在復(fù)數(shù)中，其主要內(nèi)容是向量的線性運(yùn)算與復(fù)數(shù)的加減法。

二、向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何學(xué)習(xí)的重要意義

向量是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，它的幾何意義很重要，向量可以描述線段和線段之間、直線和直線間的幾何關(guān)系。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要在描述向量的代數(shù)性質(zhì)在幾何量方面的計(jì)算上下功夫，促使學(xué)生自主總結(jié)體會(huì)，從而促使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到向量的幾何意義，從而利用向量的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題。

1.可提升學(xué)生運(yùn)算能力

作為一種代數(shù)對(duì)象，向量可以用于運(yùn)算，學(xué)生可以通過(guò)使用向量的代數(shù)運(yùn)算完成長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題，在幫助學(xué)生將其運(yùn)算難度提升運(yùn)算能力的同時(shí)，能夠準(zhǔn)確地將不同類(lèi)型的代數(shù)運(yùn)算的特征與功能展現(xiàn)在學(xué)生面前。同時(shí)，利用其自身的運(yùn)算律也能夠幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算意義的體會(huì)和構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。

2.蘊(yùn)含寶貴的思維價(jià)值

向量既是代數(shù)又是幾何的研究對(duì)象，它不僅能夠進(jìn)行運(yùn)算，也可以用于度量各種結(jié)合問(wèn)題，因此向量當(dāng)中體現(xiàn)出明顯的數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠有效培養(yǎng)和鍛煉自身的想象能力與創(chuàng)造能力、推理能力，進(jìn)而有效提升自身的解題效率。

三、向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何分析

1.明確向量幾何意義

向量的幾何意義主要表現(xiàn)為利用向量對(duì)集合對(duì)象進(jìn)行描述，比方說(shuō)ab=0的幾何意義代表著向量a與向量b呈垂直關(guān)系，有效將向量代數(shù)運(yùn)算同相應(yīng)位置關(guān)系之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而與直線關(guān)系進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系。比如說(shuō)在2016年浙江理科高考數(shù)學(xué)題已知互相垂直的平面交于直線l，若直線m，n滿足m||α，n⊥B試求l與n的位置關(guān)系一題當(dāng)中考查的正是相等向量與相反向量以及空間平行與垂直位置關(guān)系的判定，學(xué)生通過(guò)繪制出相應(yīng)的圖形并用向量將已知條件表明出來(lái)便能夠直觀地認(rèn)識(shí)到n與l為垂直關(guān)系。

2.運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法

在高中數(shù)學(xué)向量的學(xué)習(xí)中要運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法進(jìn)行理論知識(shí)的學(xué)習(xí)。比如：許多的向量知識(shí)比較抽象，不易于理解和學(xué)習(xí)，所以我們可以運(yùn)用數(shù)字運(yùn)算和畫(huà)出圖形進(jìn)行分析的方法進(jìn)行向量題目的運(yùn)算，直觀化、形象化的進(jìn)行向量知識(shí)的學(xué)習(xí)。比如：在向量平移、兩向量夾角運(yùn)算、向量與圓錐曲線平移等內(nèi)容學(xué)習(xí)中，運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法，可以更好地把握向量的運(yùn)算規(guī)律和向量與這些知識(shí)內(nèi)容的關(guān)系點(diǎn)，有利于相關(guān)題目的解決。同時(shí)，運(yùn)用數(shù)字圖形相結(jié)合的方法還有利于我們意識(shí)上的正向遷移，縮短解決問(wèn)題的時(shí)間，有利于數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)和探究能力的形成，對(duì)我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的作用

3.實(shí)際應(yīng)用

（1）利用向量的夾角公式求解解析幾何的軌跡方程

在非共線的情況下，如何利用向量的夾角公式來(lái)完成相關(guān)解析幾何問(wèn)題的求解，進(jìn)而提高解題速率。

題目：0點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），OP為△OMN的一條角平分線，求直線OP的直線方程。

解答過(guò)程：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，v），可知=（2，1），=（1，2），=（x，v）。OP為△OMN的一條角平分線，可知∠MOP=∠NOP，且cos∠MOP=cos∠NOP，引入向量的夾角公式，可知，對(duì)這一式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，化簡(jiǎn)后x=y，即為OP的直線方程。

向量的夾角公式，把解析幾何中平面幾何特征和代數(shù)運(yùn)算結(jié)合，引入了轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思路，復(fù)雜的解題過(guò)程簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，尤其是對(duì)于更為復(fù)雜的圓錐曲線的應(yīng)用，極易造成學(xué)生無(wú)從下手的困境。向量的夾角公式提供了一個(gè)便捷的解題思路，運(yùn)算簡(jiǎn)潔。且這種方法還可以應(yīng)用到線性規(guī)劃、立體幾何等方面。

（2）利用向量的方向特征求解解析幾何的軌跡方程

向量的方向特性決定了兩個(gè)向量平行或者共線的時(shí)候，二者具有一定的比例關(guān)系，即，λ不為0。根據(jù)向量的方向特征可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的平面幾何關(guān)系式，也可以將解析幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。

題目：動(dòng)點(diǎn)M是拋物線y=4×2，定點(diǎn)N坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)0在線段NM上，MO=30N，求點(diǎn)O的軌跡方程。

解答過(guò)程：設(shè)點(diǎn)0坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，4m2），由于MO=30N，且點(diǎn)O在線段NM上，故和共線且，將=（m-x，4m2-y）和=（x+1，v）帶入上式。可得（m-x，4m2-y）=3（x+l，v），消去m后可得到點(diǎn)O的軌跡方程為y=（4x+3）2。

從本節(jié)例子中，向量共線或者平行已經(jīng)很好地將解析幾何圖形的位置和代數(shù)關(guān)系進(jìn)行有機(jī)融合，通過(guò)建立向量坐標(biāo)，直接建立相應(yīng)的向量運(yùn)算代數(shù)關(guān)系式，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

總之，向量在高考中的分量越來(lái)越重，向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，越來(lái)越被同學(xué)們所重視。向量是連接代數(shù)和幾何的中介，也是重要的數(shù)學(xué)應(yīng)用模型。應(yīng)用向量知識(shí)能夠很好地理解線性代數(shù)、泛函分析及抽象代數(shù)、幾何等基本的數(shù)學(xué)模型。本文主要分析了向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何認(rèn)知，以期提供一些借鑒。