數(shù)列極限的求解及其意義

摘 要：數(shù)列的極限問題是我們高中學(xué)習(xí)的一個重要部分，同時，極限的理論也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。數(shù)列極限的問題作為微積分的基礎(chǔ)概念，其建立與產(chǎn)生對微積分的理論有著重要意義。本文通過高中數(shù)學(xué)所涉及的數(shù)列極限問題的求解與探討，展現(xiàn)了數(shù)列極限的幾種解題方法，為微積分的學(xué)習(xí)與理解打下良好的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列極限；求解

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)中一個重要的部分，是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個必不可少的環(huán)節(jié)。同時極限的思想對于分析解決一些我們中學(xué)會遇到的函數(shù)、級數(shù)、初等的微積分等都有著重要的幫助。可以說，熟練掌握數(shù)列極限的求解與思路，對于我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，以及今后對于微積分的理解都有著重要的意義。我通過對高中知識的總結(jié)，初步討論了數(shù)列極限的集中常用求解方法。

一、數(shù)列的極限

一般，我們設(shè){xn}為一個實數(shù)數(shù)列，a 為定數(shù)。若對任意的正數(shù)ε，總能夠存在正整數(shù)N，使得當(dāng) n>N 時有|xn-a|<ε，則稱數(shù)列{xn}收斂于a，定數(shù) a 就叫做數(shù)列{xn}的極限。即當(dāng)n 趨于無窮大時，{xn}的極限趨于a。反之，如果數(shù)列{xn}極限不存在，則稱數(shù)列{xn}不收斂，{xn}為發(fā)散數(shù)列。

二、數(shù)列極限的求解

（一）初等變形法

初等變形是數(shù)列求極限最為基礎(chǔ)的方法，通過數(shù)學(xué)運算，將原本較為繁復(fù)的計算式進行一定程度的化簡，轉(zhuǎn)化成為一個較簡單的數(shù)列，進而對之求極限。

例1.求 + +…+ 。

解：由數(shù)列Sn=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6

所以上述例題分子12+32+…+（2n-1）2可變形為：

（二）變量替換法

通過適當(dāng)?shù)募尤胄碌淖兞?，替換式中原有的變量，從而達到簡化計算過程的目的。靈活運用變量替換，可以很大程度上完成數(shù)列極限求解過程中的計算過程。

例2.已知-1

解：通過分析原式的已知條件，可以令a0=cos？墜，？墜∈（0，？仔），則有：

a1= = =cos

以此類推可知an=cos ，（n=1，2，…）

所以原題的計算可變?yōu)椋?/p>

（三）夾逼定理法

這個方法應(yīng)用于數(shù)列本身的極限不易直接求出的情況下，這時將所求的數(shù)列進行一定的變形，使其適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，通過求解變形之后的數(shù)列。若數(shù)列兩端的新數(shù)列的極限值相等，那么原數(shù)列的極值即他們的公共值。

例3.求n→∞時，數(shù)列 + +…+ 的極值。

解：因為存在 + +…+

通過計算可知 = =

（四）級數(shù)展開法

級數(shù)一般可以看做是一個無窮數(shù)列的和的形式，所以數(shù)列可以看做級數(shù)的一部分。通過這種方法利用級數(shù)的定理加以計算，可以非常方便簡潔的求出數(shù)列的極限。

作者簡介：胡丁群（1999-），男，漢族，河北肥鄉(xiāng)縣人，武邑中學(xué)學(xué)生。