用數(shù)學(xué)思考引導(dǎo)小學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力

雷英霞

摘 要：小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，是真正領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的魅力，這對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說是一個(gè)挑戰(zhàn)，其是需要教師的教學(xué)策略作為支撐的。用數(shù)學(xué)思考來引導(dǎo)學(xué)生推開小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大門，進(jìn)而感受數(shù)學(xué)的魅力，是有效的策略。利用小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中的動(dòng)靜置換與空間理解，可以讓學(xué)生體驗(yàn)到充分的數(shù)學(xué)思考，并在成就感的驅(qū)動(dòng)之下激活自身的數(shù)學(xué)思維，從而讓他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有更為良好的體驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思考；動(dòng)靜置換；空間理解；數(shù)學(xué)思維

小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)美麗的過程，這樣的界定可以讓自己所從事的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)變得美麗、智慧一些。這就意味著教師可以擺脫機(jī)械的知識(shí)傳遞，可以將數(shù)學(xué)美麗、智慧的一面呈現(xiàn)給學(xué)生。筆者以為，小學(xué)數(shù)學(xué)教師是應(yīng)當(dāng)有這種追求的，小學(xué)數(shù)學(xué)教師歷來都是教學(xué)改革、課程改革的弄潮兒，解讀當(dāng)前活躍在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上的那些名師們，可以發(fā)現(xiàn)他們課堂上所綻放出來的智慧，是一般的數(shù)學(xué)課堂所不具有的。而從學(xué)生的角度來看，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程如何變得有趣且有收獲，如何綻放出數(shù)學(xué)課堂應(yīng)有的韻味，這是需要有效的學(xué)習(xí)策略作為支撐的。在筆者看來，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思考，可以幫學(xué)生推開小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的這扇大門，從而讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的有趣，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)所包含的智慧。

一、數(shù)學(xué)思考體現(xiàn)在動(dòng)靜轉(zhuǎn)換處

思考是人作為人的素養(yǎng)體現(xiàn)之一，數(shù)學(xué)思考是用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行思考，數(shù)學(xué)思考的價(jià)值，對(duì)于小學(xué)生來說，是將形象的事物進(jìn)行適當(dāng)?shù)某橄?，以讓其在大腦中形成的形象更為清晰與簡(jiǎn)潔。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考理論上是無處不在的，但更多的其實(shí)只是一種自然情境下的思考，而真正的數(shù)學(xué)思考的意蘊(yùn)，往往是需要教師努力去發(fā)掘的。

動(dòng)靜關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較常見的關(guān)系，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換常?？梢源龠M(jìn)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。動(dòng)靜理解在小學(xué)數(shù)學(xué)中可以是思維的動(dòng)與知識(shí)的靜，可以是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的動(dòng)與知識(shí)構(gòu)建的靜，可以是學(xué)生的動(dòng)與教師的靜，但無論是哪種動(dòng)與靜，只要很好地實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)換，就能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

如在“三角形三條邊的關(guān)系”（新人教版，下同，四年級(jí)下冊(cè)）的教學(xué)中，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三條邊之間的約束關(guān)系，教師可以在教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候確定這樣的三對(duì)動(dòng)靜關(guān)系：第一對(duì)，呈現(xiàn)一個(gè)固定的三角形，并讓學(xué)生猜想三角形三邊的長(zhǎng)度之間是否存在某種關(guān)系——這是形的靜與思維的動(dòng)；第二對(duì)，給出兩根已知長(zhǎng)度的小棒，如分別是10厘米與6厘米，如果需要提供第三根小棒構(gòu)建一個(gè)三角形（可以給出若干長(zhǎng)度的小棒讓學(xué)生去選擇），那這第三根小棒的長(zhǎng)度是否要滿足某個(gè)要求——這是數(shù)學(xué)活動(dòng)（實(shí)驗(yàn)）的動(dòng)與三角形三邊關(guān)系理解的靜；第三對(duì)，還是提供10厘米與6厘米的兩根小棒，如果將其中一根折斷并與另一根構(gòu)成三角形，那如何折是否有技巧——這是變式的動(dòng)與三角形三邊關(guān)系理解的靜。

在這樣的三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，動(dòng)靜是同時(shí)存在的，同時(shí)動(dòng)靜又是需要轉(zhuǎn)換的：在第一個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生面前所出現(xiàn)的三角形是靜態(tài)的，讓學(xué)生對(duì)著這個(gè)靜態(tài)的三角形去思考三邊可能存在的關(guān)系，意味著學(xué)生要在大腦中對(duì)該三角形進(jìn)行動(dòng)態(tài)的思考，而最佳的思考方式就是一邊不動(dòng)，另兩邊像人的兩只“腳”一樣在不動(dòng)的那個(gè)邊上“劈叉”或“立正”（有學(xué)生說立正之后是個(gè)“瘸子”，這實(shí)際上是對(duì)非等腰三角形的通俗表達(dá)），這樣就知道三角形的三邊需要滿足一定的關(guān)系了——這樣的比喻是來自于課堂上學(xué)生的發(fā)言，這說明在學(xué)生的思維中，該三角形已經(jīng)“動(dòng)”了起來，因?yàn)閷W(xué)生所做的兩個(gè)比喻，即劈叉與立正，其實(shí)都已經(jīng)不是三角形了，真正的三角形存在這兩者之間。盡管這個(gè)時(shí)候?qū)W生不能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言來描述三角形三邊的關(guān)系，但已經(jīng)大體上感覺到了兩邊之和必須大于第三邊（而兩邊之差小于第三邊是無法發(fā)現(xiàn)的）。

第二個(gè)環(huán)節(jié)需要學(xué)生實(shí)際動(dòng)手完成三角形的構(gòu)建。由于已經(jīng)有了第一個(gè)環(huán)節(jié)作為支撐，學(xué)生的思維會(huì)更“活”一些，他們不需要做出太多的嘗試就能夠感覺到第三邊的長(zhǎng)度選擇與已知兩邊長(zhǎng)度的關(guān)系。比如說有學(xué)生在同組內(nèi)其他學(xué)生選擇了最長(zhǎng)的那一根20厘米的小棒時(shí)，就立即判斷：這一根肯定不行！因?yàn)樗呀?jīng)知道其長(zhǎng)度超過了已有兩根小棒的長(zhǎng)度之和，肯定是不合適的。這里，三角形三邊的關(guān)系作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)靜靜地存在于學(xué)生的思維中，而學(xué)生的動(dòng)手操作與動(dòng)腦思考的動(dòng)，則與靜很好地呼應(yīng)，從而構(gòu)建了一個(gè)良好的動(dòng)靜共存的學(xué)習(xí)生態(tài)。

第三個(gè)環(huán)節(jié)與第二個(gè)環(huán)節(jié)類似，但從形式上來看，第三個(gè)環(huán)節(jié)與第二個(gè)環(huán)節(jié)是形異而神似的，這是一種數(shù)學(xué)變式思想的運(yùn)用。變式之變，就是一種動(dòng)，而三角形三邊關(guān)系的重復(fù)可以視作一種靜，這里仍然是一種動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，這樣的轉(zhuǎn)換類似于信息加工理論里的精加工，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的進(jìn)一步理解。

二、數(shù)學(xué)思考蘊(yùn)含在空間理解里

數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)的常態(tài)，盡管對(duì)學(xué)生不需要強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合這個(gè)概念，但需要注意的是，學(xué)生對(duì)于形的認(rèn)識(shí)其實(shí)異于數(shù)的認(rèn)識(shí)的，因?yàn)閷W(xué)生小時(shí)候是經(jīng)歷了無數(shù)次“識(shí)數(shù)”的熏陶的，但對(duì)于形的認(rèn)識(shí)則往往是自發(fā)的、自然的，因此在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師要有意識(shí)地幫學(xué)生建立對(duì)形的一種空間理解（二維空間），這個(gè)理解的過程當(dāng)然也是需要數(shù)的參與的，因此數(shù)形結(jié)合其實(shí)是空間理解的基礎(chǔ)。

例如，在數(shù)學(xué)廣角的“數(shù)與形”的研究過程中，當(dāng)教師給出1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？等式子時(shí)，學(xué)生需要通過逐步計(jì)算來發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，這只是基于數(shù)的打下本課學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的過程。其后，教師向?qū)W生呈現(xiàn)另一組圖形（如圖1）。

此時(shí)，學(xué)生可以通過比較發(fā)現(xiàn)，三個(gè)圖形中的小正方形個(gè)數(shù)正好是1、4、9，而這個(gè)結(jié)果與剛才的運(yùn)算存在重疊的地方，這個(gè)時(shí)候教師就可以引導(dǎo)學(xué)生的思維向空間轉(zhuǎn)換：上一步中算式左邊的加數(shù)與這里的圖形之間是不是存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系？而當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式左邊的加數(shù)就是1+3，1+3+5時(shí)，學(xué)生是非常驚喜的，因?yàn)橐粋€(gè)有規(guī)律的式子與一個(gè)有規(guī)律的圖形之間竟然存在這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這對(duì)于小學(xué)四年級(jí)的學(xué)生來說，顯然是一個(gè)意外的發(fā)現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，教師可以給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)邊長(zhǎng)為4個(gè)小正方形的大正方形，讓學(xué)生寫出對(duì)應(yīng)的式子，則絕大多數(shù)學(xué)生都能夠順利地寫出1+3+5+7。其后，教師幫助學(xué)生構(gòu)建全面的空間理解：一個(gè)從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和，既可以通過寫式子的方式來呈現(xiàn)，也可以表現(xiàn)在由小正方形構(gòu)成的大正方形里……教師可以進(jìn)一步提出問題：如果給你一個(gè)現(xiàn)成的從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加的式子，你能否判斷出其對(duì)應(yīng)的大正方形的邊長(zhǎng)是由幾個(gè)小正方形構(gòu)成的呢？這個(gè)問題可以將學(xué)生對(duì)空間的理解推向一個(gè)新的高度，因?yàn)閷W(xué)生需要對(duì)前幾個(gè)圖與算式（其實(shí)就是形與數(shù)）重新進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)結(jié)果，限于篇幅，這里就不贅述了。

在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的思維圍繞空間進(jìn)行了有效的轉(zhuǎn)換，對(duì)于數(shù)與形的理解達(dá)到了一種默契的認(rèn)識(shí)，這就是數(shù)形結(jié)合的效果，也是空間理解能力的提升。在此過程中，數(shù)形以令人驚訝的對(duì)應(yīng)關(guān)系出現(xiàn)在學(xué)生的面前，激發(fā)興趣是自然的，而學(xué)生由此領(lǐng)略數(shù)學(xué)的智慧亦是必然的。

三、數(shù)學(xué)思考存在于學(xué)生思維中

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，亦是思維含量非常高的學(xué)科。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)最終也是要指向?qū)W生的思維的。數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)思考，數(shù)學(xué)思考也以數(shù)學(xué)思維為核心，因此對(duì)數(shù)學(xué)思考的研究是離不開數(shù)學(xué)思維的。

例如，教學(xué)“三角形的穩(wěn)定性”是一個(gè)非常有意思的過程，因?yàn)榉€(wěn)定性嚴(yán)格來說并不是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，但其又是三角形最基本的特征。在此教學(xué)中，最有效的策略當(dāng)然是引導(dǎo)學(xué)生去比較，即在不提三角形穩(wěn)定性的情況下給學(xué)生一個(gè)三角形、一個(gè)四邊形，然后讓學(xué)生去拉拉、搡搡，接著讓學(xué)生說出自己的感覺以及發(fā)現(xiàn)。學(xué)生自然會(huì)用生活語言說出：三角形拉不動(dòng)，而四邊形可以“變形”。那教師可以追問：如果在一個(gè)建筑中，你覺得是用三角形好還是用四邊形好呢？學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)的作用之下，自然會(huì)認(rèn)識(shí)到三角形可以讓房子更為穩(wěn)固。請(qǐng)注意，一旦學(xué)生說出類似于穩(wěn)固的詞，那教師就要引導(dǎo)學(xué)生將其向“穩(wěn)定性”過渡，這也是一個(gè)思維過程，也是用相對(duì)統(tǒng)一的語言描述三角形特征的過程。

對(duì)于思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)歷來有重點(diǎn)研究的傳統(tǒng)，這里不需要贅述。只是要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：為了讓學(xué)生真正走進(jìn)數(shù)學(xué)的大門，并窺得數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)只有圍繞學(xué)生的思維來進(jìn)行，才能彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，也就是說只有思維才能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而形成一種良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直覺，這種直覺的作用是其他的說教所無法比擬的。可以肯定地講，數(shù)學(xué)思維幾乎就是學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力的最重要的因素！