由貝特朗概率悖論得到的一個(gè)有趣現(xiàn)象

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(溫州華僑職業(yè)中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 浙江溫州 325000)

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由貝特朗概率悖論得到的一個(gè)有趣現(xiàn)象

●徐新

(溫州華僑職業(yè)中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 浙江溫州 325000)

文章通過(guò)對(duì)貝特朗概率悖論分析，發(fā)現(xiàn)這樣的概率模型，其樣本空間可以是一維直線的區(qū)間，也可以是二維平面的區(qū)域.究其原因，是因?yàn)殡S機(jī)變量函數(shù)具有特殊的性質(zhì)，構(gòu)造出類(lèi)似的隨機(jī)變量函數(shù)，可以得到類(lèi)似的概率模型.

貝特朗概率悖論；幾何概型；隨機(jī)事件；樣本空間

貝特朗概率悖論(下文簡(jiǎn)稱(chēng)悖論)由貝特朗于1889年提出，它說(shuō)明這樣一個(gè)原理：解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，必須建立無(wú)歧義的概率模型[1].事實(shí)上，因?yàn)樵撱Ｕ搶?duì)問(wèn)題的表述含糊，從而造成理解上的歧義，所以其本身并不能直接求解.為此，我們必須先將其含糊的表述加以明確，得到確定的隨機(jī)試驗(yàn)，從而建立無(wú)歧義的概率模型，再對(duì)相應(yīng)的概率模型進(jìn)行求解.

通常對(duì)“在圓內(nèi)任作一弦”進(jìn)行明確，可得到多種不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)[2].筆者討論以下兩種情況的概率模型：1)弦的兩個(gè)端點(diǎn)都是在圓周上隨機(jī)地??；2)弦的一個(gè)端點(diǎn)固定在圓周上，另外一個(gè)端點(diǎn)在圓周上隨機(jī)地取.

圖1 圖2

解如圖1所示，依據(jù)圓的參數(shù)方程，設(shè)A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，其中α,β∈[0,2π],從而樣本空間為[0,2π]×[0,2π].由題意，

對(duì)應(yīng)區(qū)域是圖2中的陰影部分.由幾何概型的定義，得

解法1依據(jù)圓的參數(shù)方程，設(shè)A(cosα0,sinα0)，B(cosβ,sinβ)，α0是區(qū)間[0,2π]上取定的值.由點(diǎn)B的隨機(jī)性，知β∈[0,2π]，因此樣本空間是[0,2π]．此時(shí)，

下面根據(jù)β的取值范圍求解:

圖3 圖4 圖5

模型2的解法1與模型1的解法形成比較，表述較為復(fù)雜，下面給出模型2的簡(jiǎn)潔解法.

圖6

在模型1的解法中，記

η=f(α,β)是隨機(jī)變量，α,β是[0,2π]上均勻分布的隨機(jī)變量.類(lèi)似模型1的求解，可求得其概率分布函數(shù)

在模型2的解法中，記

不難看出，上述兩個(gè)概率分布函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

因此，如果在悖論中將“在圓內(nèi)任作一弦”明確為“在圓周上取兩點(diǎn)任作一弦”，就可以得到確定的概率模型，即下面的模型3.

模型3有兩種解法：1)參照模型1的解；2)參照模型2的解.如果把悖論中“在圓內(nèi)任作一弦”錯(cuò)誤地理解為“在圓周上取兩點(diǎn)任作一弦”，那么就會(huì)認(rèn)為該悖論有解.這就使悖論更具迷惑性.

值得注意的是：所得概率值相同，并不意味著概率模型一定可以放到兩個(gè)不同維數(shù)的樣本空間上.

模型4甲和乙兩人相約在上午8～9點(diǎn)之間在某地見(jiàn)面，問(wèn)甲、乙到達(dá)某地的時(shí)間差的絕對(duì)值落在區(qū)間(20,40)上的概率.

圖7

如果在區(qū)間[0,60]上任意取定一個(gè)值x0，y依然是[0,60]上的均勻隨機(jī)變量，則得到下面的模型4′.

模型4′ 甲和乙兩人相約在上午8～9點(diǎn)之間在某地見(jiàn)面，現(xiàn)已知甲在x0時(shí)刻到達(dá)了某地，問(wèn)甲、乙到達(dá)某地的時(shí)間差的絕對(duì)值落在區(qū)間(20,40)上的概率.

事實(shí)上，在上述模型4中，只要甲、乙到達(dá)某地的時(shí)間差的絕對(duì)值所在區(qū)間關(guān)于30對(duì)稱(chēng)，那么相應(yīng)的隨機(jī)事件在模型4和模型4′中，計(jì)算所得的概率值相等.如果時(shí)間差的絕對(duì)值所在的區(qū)間不關(guān)于30對(duì)稱(chēng)，比如(10,40)，那么相應(yīng)的隨機(jī)事件在模型4和模型4′中，計(jì)算所得的概率值就不會(huì)相等.在模型4中，令z=|x-y|(其中x,y∈[0,60])，那么可得到其概率分布函數(shù)是

在模型4′中，令

x0是[0,60]上取定的一個(gè)值，則可得到其概率分布函數(shù)是

顯然，這兩者的概率分布函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).因此，盡管計(jì)算所得的概率值相同，但模型4的樣本空間只能是區(qū)域[0,60]×[0,60]，模型4′的樣本空間只能是區(qū)間[0,60].

兩個(gè)模型中的概率分布函數(shù)是

同樣，在離散的情況下也有類(lèi)似現(xiàn)象.

模型6將一枚色子投擲兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為α，第二次得到的點(diǎn)數(shù)為β，求g(α,β)=-||α-β|-3|+3的值大于1的概率.

樣本空間是我們所熟知的36個(gè)數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合，對(duì)應(yīng)的概率分布列如表1所示.

表1 36個(gè)數(shù)對(duì)構(gòu)成的樣本空間所對(duì)應(yīng)的概率分布列

(注：這里的分式?jīng)]化成最簡(jiǎn)分式，是為了與下面的分布列作比較.)

2017-04-09；

2017-05-10

徐 新(1979-)男，江西鄱陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122

：A

：1003-6407(2017)07-24-04