浙江試題 八方關(guān)注

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(湖州中學 浙江湖州 313000)

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浙江試題八方關(guān)注

●馮寅

(湖州中學 浙江湖州 313000)

浙江省高考數(shù)學自主命題已有14年，這14年積累了豐富的數(shù)學試題，出現(xiàn)了一批新穎的好題.這些題目都是高中數(shù)學教學的好素材，整理和分析這些題目可以幫助我們進一步了解高考，有針對性地教學與復(fù)習.

數(shù)學高考題；關(guān)注；問題本質(zhì)

2004年至今，浙江省數(shù)學高考自主命題已經(jīng)歷了 14年.在這14年中，浙江省數(shù)學高考試題得到了多方的關(guān)注，試題本身也關(guān)注了高中數(shù)學教學的許多方面：從知識到方法、從思維到能力、從熱點到冷點、從概念與理解到思考與角度等[1].筆者將從8個方面談?wù)務(wù)憬?shù)學高考試題的特點.

1 關(guān)注概念與理解

數(shù)學概念就是數(shù)學的本質(zhì)，它是學習數(shù)學的基礎(chǔ).解決數(shù)學問題應(yīng)該從正確理解概念出發(fā)，抓住概念的本質(zhì)，這樣才能幫助我們更好地制定解題策略.

例1存在函數(shù)f(x)滿足：對于任意x∈R，都有

( ) A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

分析該問題的核心是函數(shù)的概念.是否存在函數(shù)f(x)滿足條件，就是從函數(shù)的定義出發(fā)，關(guān)注定義“對任意的x，有唯一的y與它對應(yīng)”.此類問題常利用代換的方法來研究，不妨以選項C為例進行說明[2].

選項C的分析：設(shè)x2+1=t，則

從而f(x2+1)=|x+1|可轉(zhuǎn)化為

對任意的t，f(t)不唯一，因此,這樣的函數(shù)f(x)不存在.

那么，上面哪個選項通過代換能做到任意唯一呢？

同理分析選項D：設(shè)x2+2x=t，則

分析4個選項可以知道，除了選項D，其他3個選項作t的代換后都不能得到“對任意的t，有唯一確定的x”.選項D中的函數(shù)可以做到“對任意的t，f(t)唯一”，符合函數(shù)的定義.

2 關(guān)注思考與角度

數(shù)學的問題千變?nèi)f化，不同的理解和認識會得出不同的解決方案.因此，在教學中要善于觀察、善于思考，這樣才能幫助我們找到合理的途徑來解決問題、拓寬思路，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.

分析此題對|a·e|+|b·e|的理解是關(guān)鍵.從不同的角度來理解|a·e|+|b·e|，可以產(chǎn)生不同的解題策略.

角度1利用絕對值的概念.因為

|a·e|+|b·e|=

圖1

3 關(guān)注變化與確定

數(shù)學中有些量是確定的，有些量是變化的，有些量的變化按某種特定規(guī)律，有些量的變化是隨機的、不可預(yù)測的.而我們遇到的許多問題，都是在變化中進行的，若能發(fā)現(xiàn)變化中的不變量，并抓住其確定的數(shù)學本質(zhì)，就可以使問題迎刃而解.

圖2 圖3

分析在圖形變化的過程中，應(yīng)尋找確定的關(guān)系、確定的量，來體現(xiàn)直線與直線所成角的變化規(guī)律.

本質(zhì)1點B,D在AC上的投影確定.

設(shè)θ為直線AC與BD′所成的角，則

即

本質(zhì)2點D的軌跡確定.

圖4

四邊形ABCD在沿直線AC將△ACD翻折的過程中，點D的軌跡是以E為圓心、DE為半徑的圓.利用這一特點，可產(chǎn)生新的思路.

由題意，AC垂直于⊙E所在平面，作BB′垂直于⊙E所在平面，則直線AC與BD′所成的角就是直線BB′與BD′所成的角(如圖4所示).要使cos∠B′BD′最大，就是要使B′D′最小，因為點D′在⊙E上，所以B′D′的最小值為

4 關(guān)注問題與表達

數(shù)學問題的表達形式多樣，合理正確的表達使問題簡潔明確.對問題表達的正確轉(zhuǎn)化，也可使問題的本質(zhì)更清楚.問題的解決也要合適表達，明確的思路可使表達更清楚易懂.

例4已知a≥3，函數(shù)F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2}.

1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).

分析本題對“函數(shù)F(x)的表達”的理解是解決問題的起點，已知條件把分段函數(shù)的表達形式巧妙地融合在了一起，更好地展示了F(x)這個函數(shù)的特點：取兩個函數(shù)f(x)=2|x-1|和g(x)=x2-2ax+4a-2函數(shù)值小的部分.

1)等式F(x)=x2-ax+4a-2成立的x的取值范圍，就是x2-2ax+4a-2≤2|x-1|成立的x的范圍,很快求出不等式的解集為[2,2a].

2)由F(x)的含義可知，求F(x)的最小值m(a)，就是求f(x)=2|x-1|和g(x)=x2-2ax+4a-2最小值的最小值，即

m(a)=min{f(1),g(a)},

故

求F(x)的最大值M(a).需抓住函數(shù)特點，從函數(shù)值的變化進行分析，抓住兩個函數(shù)f(x),g(x)的圖像都過定點(2,2)的特征.當0≤x≤2時，

F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2);

當 2

F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=

max{2,34-8a},

故

5 關(guān)注計算與分析

數(shù)學問題的解決需要深刻的分析和仔細的計算.對所需解決的問題進行透徹分析，為后續(xù)計算提供正確的方法和簡便的計算，精確的計算也為問題的直觀分析、判斷提供了證明[3].

例5已知等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，設(shè){an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn．若n2(Tn+1)=2nSn，其中n∈N*，則d=______，q=______．

分析這是一個常見的等差數(shù)列和等比數(shù)列問題，可以設(shè)兩個數(shù)列的基本量來求解.因為等式n2(Tn+1)=2nSn對任意自然數(shù)n成立，所以可以讓n取不同的值得到相應(yīng)的等式.因為兩個數(shù)列共有4個基本量，故可取n=1,2,3,4得到4個等式來求a1,d,b1,q.但計算不容易！

其實，在計算之前我們應(yīng)先根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和的結(jié)構(gòu)特點來分析思考：等差數(shù)列前n項和的形式一定是

等比數(shù)列前n項和的形式一定是

根據(jù)已知條件

由等式恒成立解得

6 關(guān)注模型與應(yīng)用

數(shù)學的廣泛運用，使人們對數(shù)學的重要性有深刻的認識.中學數(shù)學是數(shù)學的基礎(chǔ)，但也和生活實際密切相關(guān).我們可以從抽象的數(shù)學問題中體會到實際背景，也可從實際問題中提煉出數(shù)學問題并加以解決.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2).

分析此題看似是一個單純的數(shù)列問題，其實它可以有多種不同的背景.例如，有一筆資金用于投資，若以后每一天的資金都比前一天翻一番且至多有2萬元的誤差，由此可得到結(jié)論：若有一天資金總值超過2萬元，那么，資金總值將以2為底的指數(shù)爆炸式增長，或永遠不超過2萬元.

數(shù)學問題可以有許多種不同的表達形式和解決方法，但它的核心是清楚的、本質(zhì)是不變的.只有抓住了問題的核心與本質(zhì)，才能使問題的解決更清楚透徹.

7 關(guān)注推理與證明

推理與證明是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程，是解決數(shù)學問題的重要手段.推理與證明相輔相成，密切聯(lián)系.探索新的結(jié)論，并提供解決問題的思路和方法，感受推理與證明在數(shù)學中的作用，可以養(yǎng)成“言之有理，論證有據(jù)”的習慣.

1)an+1

分析該問題的證明形式多樣，有等式也有不等式；證明手段多樣，可以推理證明也可歸納證明，方法眾多且各具特色.

于是

an+1

又因為a1=1，所以

因此，當n≥2時，

注：以上3個問題都可以用數(shù)學歸納法加以證明.8關(guān)注條件與轉(zhuǎn)化

數(shù)學問題的條件形式多樣，不同類型的條件有各自不同的作用：有些條件提供各種關(guān)系，有些條件提供一些數(shù)據(jù)，有些條件提供圖像的特點等等.當我們從陌生的條件中整理出熟悉的線索、在條件之間發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系時，就抓住了問題的核心，整理出來就是解決問題的思路.

例8已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且都在[0,+∞]上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)| .若a>0，則

( )

A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

分析理解函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|的表達式是問題的關(guān)鍵.其實，為了把絕對值去掉，可以進行分類討論，即可將F(x)理解為一個分段函數(shù)：

但這樣的理解很難有進一步的解決策略.

從取絕對值的分類過程，可以理解為：F(x)=2min{f(x),g(1-x)}，這樣的表達將有助于我們解決問題.該問題的本質(zhì)就是要比較F(a)與F(-a)、F(1-a)與F(1+a)的大小.

先來看看這幾個函數(shù)值的特點:

1)比較F(a)與F(-a)的大小.

因為F(a)=2min{f(a),g(1-a)},F(-a)=2min{f(-a),g(1+a)},又已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，從而

f(-a)=f(a)；

于是

F(a)=2min{f(a),g(1-a)}，

F(-a)=2min{f(a),g(1+a)}.

顯然，要比較F(a)與F(-a)的大小，只要比較g(1-a)與g(1+a)的大小.已知g(x)是偶函數(shù)，那么g(1-a)=g(|1-a|).因此，當a>0時，只要比較|1-a|與1+a的大小即可.顯然|1-a|≤1+a,那么F(-a)≥F(a).

2)比較F(1-a)與F(1+a)的大小.

根據(jù)F(a)與F(-a)的大小比較，因為

F(1-a)=2min{f(1-a),g(a)}，

F(1+a)= 2min{f(1+a),g(-a)}=

2min{f(1+a),g(a)},

而f(|1-a|)≤f(1+a)，所以

F(1-a)≤F(1+a).

數(shù)學的教學需要我們認真思考、不斷分析，既要抓住教學的重點、難點，也要關(guān)注考試的重點、方向，這樣才能使我們的教學更加有效、高效.

[1] 浙江省教育考試院.2017年浙江省普通高考考試說明[M]. 杭州：浙江攝影出版社, 2016(10):26-35.

[2] 高考數(shù)學研究組. 浙江高考數(shù)學2004一路走來[M]. 杭州：浙江大學出版社,2016.

[3] 朱偉義,曹鳳山. 大道至簡 悟者天成——2016年浙江省數(shù)學高考試題簡析及有關(guān)高考復(fù)習的思考[J]. 中學教研(數(shù)學), 2016(8):36-39.

2017-01-15；

2017-03-03

馮 寅(1962-)，男，浙江湖州人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O12

：A

：1003-6407(2017)07-42-04