探究割補法在求解拋物線內接三角形面積問題中的應用

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(開元中學 浙江杭州 310016)

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探究割補法在求解拋物線內接三角形面積問題中的應用

●陳巧

(開元中學 浙江杭州 310016)

拋物線與三角形是初中數學的核心內容，它們的有機結合可以構建綜合題和探究型的試題，特別是拋物線內接三角形面積問題,更是成為各地數學中考的熱點題型，而割補法在解決此類題型時具有明顯的優(yōu)勢.文章以一道中考復習題為例，通過靈活運用割補法來深入探究拋物線內接三角形的面積問題.

拋物線;內接三角形;割補法

拋物線內接三角形是指3個頂點都在拋物線上的三角形,它在有關二次函數的習題中經常出現,也是初中數學學習的難點之一.內接三角形的面積問題，由于涉及知識面廣、綜合性強,使得很多學生不知如何下手.筆者在長期的教學中發(fā)現，若學生能靈活掌握割補法，則能大大提高解決此類問題的正確率.所謂割補法，就是把不規(guī)則的圖形通過等面積替換，轉換位置，使不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形，以便使用公式求解的一種方法.這種數形結合的割補法，可以大大減少計算量，同時對于引導學生透過表象把握問題本質、培養(yǎng)學生舉一反三的解題能力具有一定的指導意義[1].下面，筆者通過一道中考復習題來詳細說明割補法在求解拋物線內接三角形面積問題中的實際應用.

1 引入割補法求解

例1已知二次函數y=x2-2x-3，設函數與x軸交于點A,B(其中點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，頂點為D.

1)求△BCD的面積;

2)若點P是拋物線上位于直線BC下方的一個動點，試求△BCP面積的最大值;

3)問：拋物線上是否存在點Q，使得S△BCQ=S△BCD?

本題具有典型性，整個題目都是圍繞拋物線內接三角形面積問題展開的.在第1)小題中，易求得B(3，0)，C(0，-3)，D(1，-4)，從而本題可看作是根據三角形的3個頂點坐標來求三角形的面積.由于此類三角形為非特殊三角形，不便直接使用面積公式求解，但可用割補法來解決.以下提供4種常規(guī)的割補方法：

方法1如圖1，根據S△BCD=S矩形OBNM-S△OBC-S△BDN-S△CDM即可求解.

圖1 圖2

方法2如圖2，根據S△BCD=S梯形OCDF+S△BDF-S△OBC即可求解.

圖3 圖4

方法4如圖4，易求得直線BC的方程為y=x-3,從而E(1,-2)，根據S△BCD=S△BED+S△CED即可求解.

不難看出：方法3和方法4的解題原理是一樣的，都是將一個三角形分割成兩個三角形，然后利用共有的底求解.這種割補法是比較常規(guī)的方法，學生比較容易理解，但若要將其上升到普遍規(guī)律的高度，進而得出固定的解題公式，則有點難度.

2 割補法的拓展延伸

圖5

事實上，如圖5，過△ABC的3個頂點分別作出與水平線垂直的3條直線l1,l2,l3,其中直線l2與直線AB相交于點D.記l1與l3之間的距離為△ABC的“水平寬(記作a)”，線段CD的長度為△ABC的“鉛垂高(記作h)”.在方法4中，水平寬a即為線段BO的長,鉛垂高h即為線段DE的長，從而

h=EP=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m,

圖6 圖7

h=FQ=|(n-3)-(n2-2n-3)|=|-n2+3n|，

易求得S△BCD=3，從而

在此小題中，點F不一定在線段BC上(即點F不一定在點Q上方)，故FQ=|(n-3)-(n2-2n-3)|=|-n2+3n|.事實上，當點F不在線段BC上時(如圖8)，

S△BCQ=S△BGF-S△BGQ-S△QFC=

圖8 圖9

3 割補法的解法應用

通過上述解題論證不難發(fā)現，割補法在求解拋物線內接三角形面積問題時都可以適用.

例2如圖9，拋物線的頂點坐標為C(1，4)，交x軸于點A(3，0)，交y軸于點B.

1)求拋物線的解析式和△CAB的面積.

分析1)如圖9，易得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，從而點B的坐標為(0，3)，進而可得直線AB的解析式為y=-x+3.過點C作CD∥y軸交AB于點D,得點D的坐標為(1,2).在△CAB中，水平寬a=3，鉛垂高h=2，于是

圖10

2)如圖10，因為點P在拋物線上，所以可設P(m,-m2+2m+3).過點P作PG∥y軸交AB于點G,得點G的坐標為(m,-m+3).在△PAB中，水平寬a=3，鉛垂高

h=|-m2+2m+3-(-m+3)|=|-m2+3m|，

4 結束語

數學作為一門科學，必然有其規(guī)律可循.筆者通過詳細講解割補法在求解拋物線內接三角形面積問題中的應用，目的就是尋找這種規(guī)律性.作為一線教師，在平常的教學過程中，不能滿足于向學生生硬地灌輸課本知識，而是要通過對規(guī)律的探究，使學生不僅知其然，還要知其所以然.割補法在實際應用中千變萬化，只有對其作進一步地提煉，如文中所探討的“引入‘水平寬’和‘鉛垂高’的概念”，從而將這種割補法以公式的形式固定下來.只有這樣才能使學生掌握割補法的要義，也才能使學生以不變應萬變，靈活應用，提高解題的效率和正確率.

[1] 余獻虎，邵婉.分析法——解決數形結合型幾何問題的有效策略[J].中學教研(數學)，2015(10)：37.

[2] 王漢超.與拋物線的內接三角形面積有關的中考題[J].數學大世界:初中版，2002(3)：32-33.

[3] 湯列.拋物線內接三角形面積的最大值問題的解法探究[J].數理化解題研究:初中版，2015(5)：41-42.

1)求橢圓的標準方程;

2)若k1+k2=0，求實數k的值.

從而

2)①當0

得

(16+25k2)x2-150k2x+225k2-400=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

由y1=k(x1-3),y2=k(x2-3),得

故

③當k不存在時，此時斜率k1,k2均不存在，不合題意.

通過研究筆者發(fā)現:點P正好是過右焦點作垂直于x軸的直線與曲線的交點(位于x軸上方)，而所求k正好是離心率，并發(fā)現這不是巧合.

對于第2)小題可作如下變式推廣.

解1)當0

得 (b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

又

解得

kPA+kPB=-2e.

3)當k不存在時，斜率kPA,kPB均不存在，不合題意.

解1)當0

得 (b2-a2k2)x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

又

解得

kPA+kPB=2e.

3)當k不存在時，斜率kPA,kPB均不存在，不合題意.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

于是

2k-m=-2,

即

2)當k=0時，A(0,0)，點B不存在，則kPA=-2，kPB不存在.

3)當k不存在時，斜率kPA,kPB均不存在，不合題意.

以上就是對這道賽題的一般推廣，請讀者批評指正.

參考文獻

[1] 丁龍云.2016年全國高中數學聯合競賽[J].中等數學,2016(11):21-27.

2017-03-29；

2017-04-30

陳 巧(1986-)，女，浙江杭州人，中學二級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-46-03