導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵在運(yùn)算

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(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué) 新疆烏魯木齊 830002)

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導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵在運(yùn)算

●徐波

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué) 新疆烏魯木齊 830002)

以往認(rèn)為解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵是分類討論.根據(jù)多年的研究和實(shí)踐，文章提出解決此類問題的關(guān)鍵是運(yùn)算.整個(gè)解題的進(jìn)程和解題方案的形成背后其實(shí)都是受運(yùn)算進(jìn)程支配，運(yùn)算在其中起著決定性作用.

導(dǎo)數(shù)壓軸題;運(yùn)算；最值；極值

文獻(xiàn)[1]中提出解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵是分類討論的觀點(diǎn)，筆者根據(jù)多年來研究高考試題和參加高三模考命題的實(shí)踐，切身體會(huì)到解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵是運(yùn)算.每當(dāng)碰到運(yùn)算不下去或者運(yùn)算的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)才需要分類討論，整個(gè)解題的進(jìn)程和解題方案的形成背后其實(shí)都是受運(yùn)算進(jìn)程支配，運(yùn)算在其中起著決定性作用.

《高考大綱》指出：“運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.”[2]這些對(duì)運(yùn)算能力的要求貫穿于解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的全過程中，運(yùn)算求解能力、推理論證能力、創(chuàng)新意識(shí)等綜合體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸題的求解過程中，以達(dá)到對(duì)考生進(jìn)行深層次考查的目的[3-4].

筆者選擇了近幾年新疆烏魯木齊市高三診斷性測試題作為素材來展開論述.在分析試題的解題思路時(shí)，筆者嘗試將思路形成過程記錄下來，希望收到更加真實(shí)、親切、自然的效果.為了增加實(shí)用性，在每道例題分析之后，增加一道相應(yīng)的練習(xí)題，希望能對(duì)廣大師生有所幫助.

例1已知函數(shù)f(x)=ex+ln(x+1)．

1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥ax+1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第一次診斷性測驗(yàn)數(shù)學(xué)理科試題第21題)

分析1)按常規(guī)套路去做.由題意得

f(0)=e0+ln(0+1)=1，

于是y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為

y-1=2(x-0)，

即

y=2x+1.

第1)小題為第2)小題埋下了伏筆，既然曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x+1，按照幾何直觀得知曲線y=f(x)在切線y=2x+1的上方，也就是當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥2x+1恒成立.現(xiàn)在要想使得當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥ax+1恒成立，只要直線y=ax+1比切線y=2x+1“壓得還低”就行了，也就是a≤2即可，這時(shí)已經(jīng)“猜”到了答案.

h′(x)>0，

于是函數(shù)y=h(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，即

h(x)≥h(0)=2，

亦即

g′(x)≥2-a.

①當(dāng)a≤2時(shí)，2-a≥0，g′(x)≥0,從而函數(shù)y=g(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，于是g(x)≥g(0)=0.此時(shí)，對(duì)任意x≥0，f(x)≥ax+1成立.

②當(dāng)a>2時(shí)，a-1>1，由于x≥0,從而

當(dāng)x∈(0,ln(a-1))時(shí)，

ex+1-a<0，

即

g′(x)<0，

從而函數(shù)y=g(x)在(0,ln(a-1))上為減函數(shù)，于是當(dāng)0

g(x)

因此，f(x)

綜上所述，對(duì)任意x≥0，f(x)≥ax+1成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線x-2y+1=0平行，求a的值；

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第一次診斷性測驗(yàn)數(shù)學(xué)文科試題第21題)

2)試討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第二次診斷性測驗(yàn)數(shù)學(xué)理科試題21題)

當(dāng)-10，從而

g′(x)≥0，

此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，于是

g(x)≤g(0)=0，

2)要討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，必須先摸清楚這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和極值情況.

①當(dāng)m=1時(shí)，x1=x2=0，由式(1)得

從而當(dāng)x>-1時(shí)，1+x>0，x2≥0，于是

f′(x)≥0.

此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù),因此當(dāng)-1

f(x)

當(dāng)x>0時(shí)，

f(x)>f(0)=0，

函數(shù)y=f(x)在x>-1上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=0.

圖1

(2)

構(gòu)造函數(shù)k(x)=lnx-x+1(其中x>0)，則

當(dāng)01時(shí)，k′(x)<0，從而函數(shù)y=k(x)的增區(qū)間為(0，1],減區(qū)間為(1,+∞)，于是

k(x)≤k(1)=0，

即

lnx≤x+1,

從而

即

故

(4)

由式(3)和式(4)知

(5)

圖2

綜上所述,當(dāng)01時(shí)，函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)y=f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

2)當(dāng)m≤1時(shí)，試討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第二次診斷性測驗(yàn)數(shù)學(xué)文科試題第21題)

導(dǎo)數(shù)壓軸題，關(guān)鍵在運(yùn)算.在平常的教學(xué)中講解習(xí)題或者試卷的時(shí)候，每當(dāng)碰到運(yùn)算不下去或者運(yùn)算的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)，教師要停下來，把學(xué)生“卡”在那里，讓他們左沖右突、嘗盡苦頭，然后再適時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥，提煉出解決問題的關(guān)鍵思路和技術(shù).

這里常常借助函數(shù)的泰勒展開式或者麥克勞林展開式，將一個(gè)超越函數(shù)用一個(gè)有理函數(shù)去取代，有時(shí)還需要做一些變量代換，以獲得我們所需要的形式.整個(gè)題目的探究進(jìn)程和解題方案的形成背后其實(shí)都是受運(yùn)算進(jìn)程的支配，運(yùn)算在其中起著決定性作用.希望大家在運(yùn)算的實(shí)踐中不斷地磨煉和提升，積累體驗(yàn)，獲取經(jīng)驗(yàn)，把導(dǎo)數(shù)壓軸題解好.

[1] 龍正武，譚國文.怎樣更好地做好導(dǎo)數(shù)大題的答題準(zhǔn)備[J].中國數(shù)學(xué)教育:高中版，2012(1/2)：67-83．

[2] 教育部考試中心.2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015：50-53.

[3] 教育部考試中心.2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明[M].北京：高等教育出版社，2015：131-132.

[4] 教育部考試中心.高考理科試題分析[M].北京：高等教育出版社，2015:135-138.

2017-03-15；

2017-04-16

徐 波(1964-)，男，四川大竹人，新疆自治區(qū)特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

：A

：1003-6407(2017)07-30-04