借助平面直角坐標系實現(xiàn)線段長度的計算轉(zhuǎn)化

摘 要：借助平面直角坐標系，將線段長度的求法分為兩類：一是平行于坐標軸，二是不平行于坐標軸；在初中學(xué)段不允許應(yīng)用兩點間坐標公式的前提下，通過數(shù)形結(jié)合、化歸思想及類比思想，較好解決線段長度的求法應(yīng)用問題。

關(guān)鍵詞：求線段長度；平面直角坐標系；數(shù)形結(jié)合；化歸思想；類比思想

授人以魚不如授人以漁，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，作為老師，更加應(yīng)該教授給學(xué)生的是數(shù)學(xué)的魅力，而魅力之處就是數(shù)學(xué)思想方法。初中學(xué)段，要求不允許使用兩點間坐標公式，所以我們借助平面直角坐標系，將線段的位置關(guān)系作為分類標準，分為兩類，通過幾何的構(gòu)造與代數(shù)結(jié)合，從而解決線段長度的求法問題。

一、數(shù)形結(jié)合建系求線段長

一般地，我們需要知道一條線段的長度，可以采用兩種基本的方法，一是通過生活經(jīng)驗進行對比、丈量、估值；二是通過直尺等工具進行丈量。在數(shù)學(xué)計算中，如果遇到動點問題或者是有條件缺失的情況下，特別在初中學(xué)段的很多二次函數(shù)動點題中，則更加需要掌握利用數(shù)形結(jié)合的方法解決此問題了。

數(shù)形結(jié)合就是建立在數(shù)形優(yōu)勢互補基礎(chǔ)上，抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形的思想方法，其實質(zhì)就是講問題抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)結(jié)合起來進行考慮，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路的一種思想；具體而言，就是根據(jù)問題的具體情況，把具有直觀形式的圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為具有算法性質(zhì)的數(shù)量關(guān)系的問題，通過代數(shù)方法分析數(shù)量關(guān)系來探討、論證、揭示直觀圖形的性質(zhì)，從而使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，使問題得到解決。

建立平面直角坐標系，由于在平面直角坐標系中，每一個位置都可以用一對有序數(shù)對進行表達，即一個點的坐標（橫坐標、縱坐標），從而實現(xiàn)線段的長度代數(shù)化。在一個平面直角坐標系中，有無數(shù)條線段，。不難發(fā)現(xiàn)，所有的線段可以被分為兩大類，第一是平行于坐標軸，第二是不平行于坐標軸。由于一條線段有兩個端點，將線段放入平面直角坐標系后，這兩個端點就是兩個點，存在著這兩個端點各自的橫坐標、縱坐標；由此便實現(xiàn)線段的長度代數(shù)化的轉(zhuǎn)化。

分析：運用類比的思想方法。類比是一種間接推理的方法，也是一種科學(xué)研究的方法。類比是通過兩類不同對象A、B間的某些屬性的相似，而從A具有某種其他屬性便猜想B也是這種屬性。所以，黨線段AB平行于y軸時，其長度為兩點縱坐標之差，為滿足非負數(shù)的線段長度，故“上—下”。

二、化歸思想探究轉(zhuǎn)化

第二類：線段的位置關(guān)系——不平行于坐標軸

笛卡爾說過：“任何一個幾何問題都很容易化歸為用一些術(shù)語來表示，使得只要知道直線段的長度的有關(guān)知識，就足以完成它的作圖?！薄盎瘹w”是“轉(zhuǎn)化和歸結(jié)”的簡稱。化歸方法是數(shù)學(xué)問題解決的一般方法，其基本思想是：把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為易解決的另一個或一些問題，通過后者問題的解決，而獲得原問題的解決。

顯然，當線段與坐標軸平行時，我們很容易可以通過分析得到線段長度的代數(shù)坐標計算表達，可以當不平行時，情況就較為復(fù)雜啦。要考慮的問題就有許多，不平行，傾斜程度如何，有沒有什么特殊點可以構(gòu)造等。所以采用化歸思想，把不平行的位置關(guān)系想辦法轉(zhuǎn)為第一類平行時的位置關(guān)系即可。

總結(jié)，所線段AB不平行于坐標軸，則它的線段長度的代數(shù)表達仍然只有線段的兩端點坐標有關(guān)系，由此解決問題。

從數(shù)學(xué)教學(xué)角度講，一堂課往往新就新在思維過程上，高就高在思想性上，好就好在學(xué)生參與活動的深度和廣度上。有思想深度的課，給學(xué)生留下長久的心靈激蕩和對知識的深刻理解，以后即使具體的知識忘了，但數(shù)學(xué)地思考問題的方法將長存，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才具有真正的實效和長效，真正能提高人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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作者簡介：楊周榮麟，云南師范大學(xué)實驗中學(xué)數(shù)學(xué)中職教師。從教以來擔任班主任和數(shù)學(xué)教學(xué)工作，所帶班級榮獲“2015～16學(xué)年昆明市級先進班集體光榮稱號”；多次獲“優(yōu)秀班主任”、“先進教育工作者”稱號；所教班級成績優(yōu)異，數(shù)學(xué)成績經(jīng)常年級第一、第二，優(yōu)秀率較高，所教學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)。曾獲全國師范大學(xué)講課比賽二等獎；云南師大講課比賽特等獎、實驗現(xiàn)場教案設(shè)計一等獎、課件制作一等獎等。