確立目標(biāo) 經(jīng)歷過程 剖析本質(zhì)

【摘要】“去括號”是整式加減運(yùn)算的基礎(chǔ)，但從實際的教學(xué)效果來看，學(xué)生掌握的情況并不樂觀.通過對“去括號”教學(xué)的目標(biāo)定位，設(shè)計合適的教學(xué)方案，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“去括號”知識的形成過程，并剖析“去括號”知識“去”的實質(zhì)與關(guān)鍵屬性，力圖完善教學(xué)環(huán)節(jié)，優(yōu)化教學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生對“去括號”的理解與運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】去括號；教學(xué)情境；形成過程；思考

1問題提出

兩道易錯題：（1）-（a-b）=-a-b，（2）-（a-b+c）=-a-b+c.以上算式學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常容易出現(xiàn)錯誤，問題的關(guān)鍵是對“去括號”的理解與應(yīng)用.仔細(xì)分析出現(xiàn)問題的原因，是教師強(qiáng)調(diào)的不夠、還是知識過于復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)生掌握的不好？實際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)的問題，往往與教師的教學(xué)行為相關(guān)，因為學(xué)生知識的獲得渠道主要來自于課堂.在教學(xué)過程中，教師若沒有讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的形成過程、理解“去括號”的實質(zhì)及抓住“去括號”的關(guān)鍵屬性，必然會導(dǎo)致學(xué)生問題的發(fā)生.

2基本認(rèn)識

2.1確立目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[1]（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)》（2011年版））指出：“理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，能進(jìn)行簡單的整式加法和減法運(yùn)算.”由此可見，《課標(biāo)》（2011年版）對“去括號”有較明晰的要求.在教材體系中，“去括號”為滬科版《數(shù)學(xué)》（七年級上冊）第2章“整式加減”的教學(xué)內(nèi)容.本章是學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)后，體會數(shù)的范圍由非負(fù)有理數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)的必要性，進(jìn)而給出有理數(shù)的概念，并經(jīng)歷有理數(shù)的運(yùn)算過程，初步體驗學(xué)習(xí)有理數(shù)是社會生產(chǎn)、生活的需要.在“整式加減”這一章中，學(xué)生感悟“用字母表示數(shù)”、“列代數(shù)式”及“整式加減”的問題背景，經(jīng)歷從具體的數(shù)字抽象到一般的字母，即從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，在認(rèn)知上是一個較大的跨越.在之前的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算基本都是圍繞著具體的數(shù)而展開的；在本章中，需要學(xué)生初步認(rèn)識字母也可以參與運(yùn)算，而“去括號”是解決“整式加減”問題的重要工具.如計算：（2xy+x2-y2）-（x2-y2-3xy），解題的核心是對“去括號”的認(rèn)識與理解.

2.2去括號的情境引入

教學(xué)情境是指在課堂教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容，為落實教學(xué)目標(biāo)所設(shè)定的，適合學(xué)習(xí)主體并作用于學(xué)習(xí)主體，產(chǎn)生一定情感反應(yīng)，能夠使其主動積極建構(gòu)性學(xué)習(xí)的具有學(xué)習(xí)背景、景象和學(xué)習(xí)活動條件的學(xué)習(xí)環(huán)境.知識是人類從實踐活動中得來的，是對實際事物及其運(yùn)動和變化發(fā)展規(guī)律的反映.對于學(xué)生來說，“去括號”知識是抽象和陌生的，而知識本身是具有豐富生動的實際內(nèi)容.這就要求學(xué)生不論學(xué)習(xí)什么知識，都要透過語言文字、符號圖表把它們所代表的實際事物想清楚，以至想“活”起來，從而真正把兩者統(tǒng)一起來.從教育心理學(xué)角度講，這樣的學(xué)習(xí)就是有意義的學(xué)習(xí).通過創(chuàng)設(shè)適宜的情境，為學(xué)生的學(xué)習(xí)設(shè)置認(rèn)知的?？奎c，經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生主動學(xué)習(xí)，有利于提高課堂的教學(xué)效果.

情境：（1）小偉有a元零花錢，爺爺又給了他（b+c）元；小明有a元零花錢，上午爸爸給了他b元，下午媽媽又給了他c元，則小偉和小明的零花錢一樣多嗎？由此你可以得到一個什么樣的等式？

（2）小偉有a元零花錢，買本子和筆共花去（b+c）元；小明有a元零花錢，買書花去b元，又買了一瓶水花去c元，此時小偉和小明的剩下的錢一樣多嗎？由此你可以得到一個什么樣的等式？

預(yù)設(shè)：（1）a+（b+c）=a+b+c；（2）a-（b+c）=a-b-c.

在這一熟悉的情境下，學(xué)生很容易得出確定的答案并寫出兩個等式；而在問題的驅(qū)動下，學(xué)生渴望知道等式從左到右變形的依據(jù)與本質(zhì).在教師的主導(dǎo)下，與學(xué)生一起經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展，“去括號”概念的呈現(xiàn)，水到渠成.

2.3去括號的法則與本質(zhì)

《荀子·王制》：“本正教，正法則.”法則，指法度、規(guī)范、方法、辦法.去括號的法則是：（1）如果括號前面是“+”號，去括號時括號內(nèi)的各項都不改變符號.（2）如果括號前面是“-”號，去括號時括號內(nèi)的各項都改變符號.如+（a-b+c）=a-b+c，-（a-b+c）=-a+b-c.原式+（a-b+c），括號前是正號，括號內(nèi)有三項，去括號連同括號前的符號，根據(jù)法則括號內(nèi)每一項的符號都不改變；原式-（a-b+c），括號前是負(fù)號，括號內(nèi)有三項，去括號連同前面的符號，根據(jù)法則要改變括號內(nèi)每一項的符號，把a(bǔ)改為-a、-b改為+b、+c改為-c.法則的依據(jù)，可利用學(xué)生在小學(xué)里學(xué)習(xí)的乘法分配律進(jìn)行解釋，理由如下：+（a-b+c）=+1·a+（+1）·（-b）+（+1）·c=a-b+c；-（a-b+c）=-1·a+（-1）·（-b）+（-1）·c=-a+b-c.

2.4去括號的再認(rèn)識

建構(gòu)主義認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的建構(gòu)活動，教學(xué)時要著重分析學(xué)生已經(jīng)知道了什么，并以此展開教學(xué).回顧學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程，在初中階段學(xué)生在學(xué)習(xí)“去括號”時，雖已經(jīng)學(xué)習(xí)了“有理數(shù)”，但接觸初中數(shù)學(xué)尚處于起步階段，積累的數(shù)學(xué)知識也很有限，而仔細(xì)梳理教學(xué)內(nèi)容與環(huán)節(jié)，其實我們可以找到“去括號”的“存在感”.

有理數(shù)的加法法則表述為：（1）同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加.（2）異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.（3）一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).這一法則“指導(dǎo)”著有理數(shù)的運(yùn)算，如（+4）+（+5）=+（4+5）=+9，（-4）+（-5）=-（4+5）=-9，（+5）+（-4）=+（5-4）=+1，（-5）+（+4）=-（5-4）=-1；把以上四個算式稍作變形，可得：+（4+5）=+4+5，-（4+5）=-4-5，+（5-4）=+5-4，-（5-4）=-5+4.換個角度看，所得的四個式子，其實表達(dá)的含義不就是“去括號”嗎？正是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村.”由此出發(fā)，教師稍作引申、拓展、拔高、提煉，“去括號”知識自然生成.

弄清“去括號”知識的來龍去脈，有助于真正理解法則，并能認(rèn)同其合理性，但是對于-（a-b）=-a-b，初學(xué)者在學(xué)習(xí)時會經(jīng)常犯這樣的錯誤.教師為了糾正學(xué)生的錯誤也是反復(fù)講、反復(fù)練，但學(xué)生暴露的問題和顯現(xiàn)的錯誤并沒有明顯改變.為什么教師花較長的時間去強(qiáng)調(diào)法則，但是學(xué)生還是經(jīng)常出錯呢？剖析原因可能有很多，如學(xué)生進(jìn)入初中學(xué)習(xí)時間較短，在漫長的小學(xué)學(xué)習(xí)里，數(shù)是沒有符號的（非負(fù)有理數(shù)）.而到了初中，數(shù)由絕對值和符號兩部分組成，學(xué)生對“符號”認(rèn)識自然不深，“符號感”感悟也不強(qiáng).而筆者以為除此以外還有一個重要的原因，學(xué)生對“去括號”的理解出現(xiàn)偏失.因為“去括號”的目標(biāo)指向的是“去掉括號”，學(xué)生片面理解為把括號去了就完成了變形，忽視了括號前面的符號也要去掉.所以-（a-b）=-a-b的錯因并不是學(xué)生在去括號時忘記將-b改變符號，而是學(xué)生只將括號去掉了.雖a改變?yōu)?a是正確的，但這并不是學(xué)生變化操作的，a前的“-”號其實是去掉了括號后遺留下的括號外的符號.因此在教學(xué)“去括號”時，要著重向?qū)W生講清“去括號不僅是去括號”，還應(yīng)將括號前的符號去掉，并分清是“+”號還是“-”號，教師可呈現(xiàn)如右操作圖示，幫助學(xué)生直觀理解“去括號”法則.

去括號時應(yīng)將括號前的符號連同括號一起去掉.要注意括號前面是“-”號時，去掉括號后，括號內(nèi)的各項均要改變符號，不能只改變括號內(nèi)第一項或前幾項的符號，而不改變其余的符號.若括號前是數(shù)字因數(shù)時，可利用乘法分配律先將數(shù)與括號內(nèi)的各項分別相乘再去括號，以免發(fā)生錯誤.如-2（a-b）=-（2a-2b）=-2a+2b；若出現(xiàn)若干個相同的去括號形式運(yùn)算，可利用整體思想方法，將括號內(nèi)的整式看作是一個整體先進(jìn)行合并同類項，再進(jìn)行去括號，可降低運(yùn)算繁度.如-2（a+b）-3（a+b）+4（a+b）=（-2-3+4）（a+b）=-（a+b）=-a-b；遇到多層括號一般由里到外，逐層去括號；也可由外到里，數(shù)“-”號的個數(shù).如-{-[-（a-b）}=-（a-b）=-a+b.而對于有些運(yùn)算，雖然從形式上看，是將括號去了，但并不屬于“去括號”.如對于（a+b）2的運(yùn)算，利用冪的意義（a+b）2可以理解為（a+b）（a+b），然后將a+b看作一個整體，利用乘法分配律可得（a+b）a+（a+b）b，再利用乘法分配律得，a·a+ab+ab+b·b，最后綜合利用冪的意義和乘法分配律得a2+2ab+b2.

3幾點思考

3.1創(chuàng)設(shè)情境，經(jīng)歷知識形成過程

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實，數(shù)學(xué)過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程.”數(shù)學(xué)與實際生活緊密相連，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用性.但是鑒于七年級學(xué)生的社會生活經(jīng)驗和經(jīng)歷還比較匱乏，難以將課本中的知識與社會生活要求聯(lián)系起來，這就需要教師能根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，努力創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知水平的學(xué)習(xí)情境，促進(jìn)他們積極主動的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識.基于這種理念，在教學(xué)中，需要在教師的主導(dǎo)下，努力創(chuàng)設(shè)情境，避免單一的開門見山，直截了當(dāng)進(jìn)行課題引入.創(chuàng)設(shè)情境的學(xué)習(xí)方式基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，發(fā)展學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，符合學(xué)生“從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)、從具體到抽象、從特殊到一般”等的認(rèn)知規(guī)律，既便于建立新舊知識之間非人為的實質(zhì)性的聯(lián)系，又利于感受數(shù)學(xué)知識的形成過程、感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的擬真過程，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”[2].因而教師在教學(xué)中也基本能形成共識，通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程.但情境要真實，符合學(xué)生的現(xiàn)階段生活狀況.如“去括號”教學(xué)中，學(xué)生零花錢的支配使用問題，學(xué)生感覺比較熟悉，能盡快在課堂教學(xué)的起始階段，抓住學(xué)生的眼球，引起學(xué)生的注意力，促進(jìn)學(xué)生積極主動地投入到知識的學(xué)習(xí)過程中，也必然能促進(jìn)教學(xué)效果的提升.

3.2剖析本質(zhì)，理解知識數(shù)學(xué)特征

數(shù)學(xué)本質(zhì)是一個認(rèn)識論問題，它涉及到了經(jīng)驗知識與理論知識的關(guān)系.數(shù)學(xué)家懷特海在《數(shù)學(xué)與善》中說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究.”數(shù)學(xué)具有確定性，即數(shù)學(xué)知識有它確定性的特征.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，在宏觀認(rèn)識上，學(xué)生要具有“追根究底”的意識.“問渠哪得清如許，為有源頭活水來.”學(xué)生意識的培養(yǎng)需要一個過程，需要教師能在教學(xué)活動的組織和開展過程中，不斷滲透、不斷引導(dǎo).“去括號”法則，在課本中僅是兩行黑體字，教師要對這一法則的理論來源進(jìn)行探究，避免生硬，強(qiáng)迫學(xué)生記住結(jié)論.分析學(xué)生的已有知識儲備，學(xué)生在小學(xué)里已學(xué)習(xí)了乘法分配律，到了初中后數(shù)系擴(kuò)充到了有理數(shù)，在有理數(shù)范圍內(nèi)，運(yùn)算律仍然可用.“去括號”的數(shù)學(xué)實質(zhì)，其實就是利用乘法分配律進(jìn)行的有理數(shù)（整式）運(yùn)算.經(jīng)歷了這樣一種過程，“去括號”的神秘感降低，學(xué)生的畏難情緒被弱化，對知識有了初步的認(rèn)同感，為進(jìn)一步對知識進(jìn)行應(yīng)用作了鋪墊.

3.3抓住屬性，提升知識應(yīng)用能力

學(xué)以致用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的落腳點是對所學(xué)知識能開展應(yīng)用.在微觀上，學(xué)生需要掌握如何“去括號”.從字面來看，“去括號”是一種動賓結(jié)構(gòu)，操作指向“去”，目標(biāo)指向“括號”，但是學(xué)生如果只認(rèn)識這樣一種表象，而忽視“去括號”的屬性，必然會出錯.對“去括號”的操作要分三步走：一是要識別括號前是正號還是負(fù)號；二是將括號連同前面的符號去掉；三是考慮括號內(nèi)的每一項符號是否改變.在整個操作過程中，“去括號”的關(guān)鍵屬性是注意括號前的符號，不僅將括號去掉，更要將括號前的符號也去掉.在教學(xué)過程中，要強(qiáng)化這種操作要求，否則問題就會接踵而來.抓住屬性，必然會提高解題的正確性，提升知識的應(yīng)用能力.

參考文獻(xiàn)

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（4）.

作者簡介陳炎（1983—），男，安徽六安人，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)、教法與解題策略研究工作，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等期刊上發(fā)表文章數(shù)篇.