直角坐標(biāo)系中兩條直線(xiàn)的特殊位置關(guān)系的特點(diǎn)及其應(yīng)用

湖北省孝感市大悟縣四姑鎮(zhèn)中學(xué) 吳勝祥

直角坐標(biāo)系中，有兩條直線(xiàn)，設(shè)y1=ax+ m, y2=bx+n ，有時(shí)，a=b；y1⊥y2時(shí)，ab=-1。反之有：a=b時(shí)，y1Py2；ab=-1時(shí)，y1⊥y2。下面利用這些性質(zhì)解題。

一、利用一次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)相等證明兩直線(xiàn)平行

例題：已知直線(xiàn)為y=2x+3與雙曲線(xiàn)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，A在第一象限，過(guò)A作AE⊥y軸于E，過(guò)B作BF⊥x軸于F，連接EF。（1）求證：AB//EF。（2）求△ABE的面積。

解：（1）由得

∴A（1,5）

又AE⊥y軸于E，∴E（0,5）。BF⊥x軸于F，∴F0）。

設(shè)yEF=k x+b，∴b=5

∴k+b=0 ∴k=2

∴yEF=2 x+5

又2=2 ∴yEF∥yAB，

即AB||EF。若E在x軸上，F(xiàn)在y軸上，同理AB||EF。

（2）

二、利用兩個(gè)一次函數(shù)的一次項(xiàng)的系數(shù)互為倒數(shù)證明兩直線(xiàn)垂直

例題：（2015年湖南衡陽(yáng)）如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=x+1相交于A、B兩點(diǎn)，且A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，連接AM、BM。

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式.

（2）判斷△ABM的形狀，并說(shuō)明理由。

解：（1）∵A在x軸上且在直線(xiàn)y=x+1上

∴A（-1,0） 又B在直線(xiàn)y=x+1上且橫坐標(biāo)為2，則B（2,3），又拋物線(xiàn)頂點(diǎn)M在y軸上，設(shè)y=ax2+k 有

∴拋物線(xiàn)y=x2-1

（2）有y=x2-1知頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1），設(shè)yAM=k x+b過(guò)點(diǎn)M，∴b=-1，又過(guò)A（-1,0）∴-k-1=0 k=-1?！嘀本€(xiàn)yAM=-x-1。又1×（-1）=-1，∴AM⊥AB ∴△ABM是直角三角形。

三、利用兩直線(xiàn)垂直的特點(diǎn)求坐標(biāo)系中矩形折疊問(wèn)題的點(diǎn)的坐標(biāo)

例題：（2015，北海）如圖在矩形OABC中，OA=8，OC=4.沿對(duì)角線(xiàn)OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E。求點(diǎn)D的坐標(biāo)

解：∵四邊形OABC是矩形，OA=8，OC=4.

∴B（8,4） A（8,0）∴,又A與D關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)。

∴A D⊥O B。設(shè)yAD=-2x+b過(guò) A（8,0），

∴0=-2×8+b ∴b=16

∴yAD=-2x+16。

又由折疊性質(zhì)知B E=O E，設(shè)CE=x，則OE=BE=8-x。又∠OCE=900O C=4，∴(8-x)2=x2+42∴x=3∴E（3,4）?！嗔?2x+16，得。又時(shí)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為。

四、利用兩條直線(xiàn)垂直的特點(diǎn)求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)

例題：如圖，直線(xiàn)y=x+2與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6（a≠0）相交于和B( 4,m)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)做PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C。（1）拋物線(xiàn)的解析式。

（2）求△PAC以A為直角頂點(diǎn)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）∵B（4，m）在直線(xiàn)y=x+2上，∴B（4,6）

又且A、B在拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6上，

則有：

得

∴拋物線(xiàn)y=2x2-8 x+6。

（2）∵P在AB上，PC||y軸交拋物線(xiàn)于C

∴△P A C是以A點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，A B⊥A C。又yAB=x+2，設(shè)yAC=-x+b ，過(guò)∴∴b=3 ∴yAC=-x+3.令2 x2-8 x+6=-x+3得（舍去）.x2=3又x=3時(shí)，y=x+2=5，所以△PAC以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（3，5）。

五、利用坐標(biāo)系中兩直線(xiàn)平行的特點(diǎn)求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)

例題：（2016，十堰）已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c 與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），其頂點(diǎn)為M（1,4）。MA交y軸于N，連接OM。

（1）求此拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式。

（2）若P為（1）中拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)SDOAM=SDPAM時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）將（1）中的拋物線(xiàn)沿y軸折疊，使A落在點(diǎn)D處，連接MD，Q為（1）中拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)NQ與x軸交于點(diǎn)G。當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得一A、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△ADM相似？若存在，求出符合條件的Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。

解：（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M（1,4） ∴0=a (-1- 1)2+4得a=-1

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+2 x+3

（2）∵A（-1,0） M（1,4） ∴易求過(guò)O點(diǎn)作OE||AM，則∴

∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或又直線(xiàn)AM與y軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,2）∴直線(xiàn)yOE=2x關(guān)于直線(xiàn)AM對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)解析式為y=2x-4.令-x2+2 x+3=2 x+4，此時(shí)無(wú)解?！喈?dāng)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）∵點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,0），又M（1,4）∴MD⊥x軸?！唷鰽DM是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形。

當(dāng)∠AGN=∠ADM=900△ANG∽△ADM，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)O重合，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）

當(dāng)∠A N G=∠A D M=9 00時(shí)，△ANG∽△ADM，此時(shí)QG⊥AM。設(shè)，過(guò)點(diǎn)N（0，2） ∴2×0+b∴b＝2∴令x+2=-x2+2 x+3∴∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，?！喈?dāng)△ANG∽△ADM時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，

教師教書(shū)的過(guò)程也是教師對(duì)教學(xué)不斷自我總結(jié)的過(guò)程，利用兩條直線(xiàn)的特殊位置關(guān)系解題，可以少作輔助線(xiàn)，使得圖形的計(jì)算簡(jiǎn)化，公式化，通過(guò)兩條直線(xiàn)平行或垂直的特點(diǎn)可以很容易地求出另一條直線(xiàn)的解析式，然后利用直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)建立方程或方程組，從而很直觀地求出圖像中有關(guān)交點(diǎn)的坐標(biāo)。同時(shí)，也可以利用兩個(gè)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)證明兩直線(xiàn)平行或垂直。