人教版必修5第一章 解三角形
——1．1．1正弦定理

湖北省荊州市沙市第五中學(xué) 張勝言

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解三角形中的兩類基本問(wèn)題.

（二）過(guò)程與方法

讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，猜想，比較，推導(dǎo)出正弦定理.

（三）探索的精神與創(chuàng)新的意識(shí)

通過(guò)三角函數(shù)、正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn).

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.

難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)和理解.

三、教學(xué)用具

多媒體、幾何畫板、投影儀、計(jì)算器.

四、教學(xué)過(guò)程

圖1

圖2

問(wèn)題1：在建造荊州長(zhǎng)江大橋時(shí),需預(yù)先測(cè)量橋長(zhǎng)A B,于是在江邊選取一個(gè)測(cè)量點(diǎn)C,測(cè)得CB=1502m,∠CBA=880,∠BCA=720。由以上數(shù)據(jù)，你能測(cè)算出橋長(zhǎng)AB嗎？這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?

引出：解三角形——已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程。

[設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題]

師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，三角形中與邊和角有關(guān)系的結(jié)論哪些？

生：……，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角”

師：“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？

引出課題：“正弦定理”

[設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)]

2.猜想、實(shí)驗(yàn)

（1）發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？

[設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力]

（2）研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出：

（3）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢？

請(qǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察，教師用幾何畫板演示，在此基礎(chǔ)上，師生共同得出猜想正確，即在任意三角形中，有[設(shè)計(jì)意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究意識(shí)和師生合作能力]

3.證明探究

根據(jù)直覺，猜想是正確的，但數(shù)學(xué)需要理性思維，我們能否通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明這個(gè)猜想呢？

要得到一般三角形中角與邊的數(shù)量關(guān)系是很不容易的，我們就從特殊的三角形——直角三角形開始入手.如圖2，在RtΔABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)正弦函數(shù)的定義，有，又則從而在Rt△ABC中，

問(wèn)題2：對(duì)于任意三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（2）推廣拓展，探究證明

探究1：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示“a與sinA、b與sinB”的關(guān)系呢？

探究2：能否構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題？

探究3：鈍角三角形ABC中，情況又如何呢？

分組合作，討論交流(由學(xué)生自主探究)

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

自然資源統(tǒng)一確權(quán)登記是2013年黨的十八屆三中全會(huì)審議通過(guò)的《中共中央關(guān)于全面深化改革若干重大問(wèn)題的決定》中明確規(guī)定的一項(xiàng)改革任務(wù)。2016年12月20日，中央七部委聯(lián)合印發(fā)《自然資源統(tǒng)一確權(quán)登記辦法（試行）》及附件《自然資源登記簿》、《自然資源統(tǒng)一確權(quán)登記試點(diǎn)辦法》，辦法提出：“自然資源確權(quán)登記以不動(dòng)產(chǎn)登記為基礎(chǔ)，明確對(duì)水流、森林、山嶺、草原、荒地、灘涂以及探明儲(chǔ)量的礦產(chǎn)資源等自然資源的所有權(quán)統(tǒng)一進(jìn)行確權(quán)登記?！蔽覈?guó)自然資源統(tǒng)一確權(quán)登記工作正式開展。由于此項(xiàng)工作剛剛開展，很多問(wèn)題還需要進(jìn)一步在工作中完善。

如圖3，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB=bsin A則，同理可得，從而

當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，同理可以證得

探究4：還有其它的證明方法嗎？（外接圓法，等面積法，向量法等等）

[設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題和一題多解的能力]

4.理解定理

(1)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即：

(2)理解定理

①?gòu)谋磉_(dá)式的結(jié)構(gòu)看，輪換對(duì)稱，簡(jiǎn)潔優(yōu)美，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一種和諧美.

②從方程的觀點(diǎn)看，每個(gè)等號(hào)所形成的等式中，含有4個(gè)量，顯然可以“知三求一” .

（3）解三角形

①一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.

②一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形.

5.例題分析△ABC中

例1．已知A=32.00，B=81.80，a=42.9cm，解三角形.

解：

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C=1800-(A+B)=1800-(32.00+81.80)=66.20；

根據(jù)正弦定理，得；

得

（對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器）點(diǎn)評(píng)：已知三角形任意兩角與一邊，求另兩邊.

例2.在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm,A=400解三角形（角度精確到10,邊長(zhǎng)精確到1cm）.

解：根據(jù)正弦定理得，，∴B≈64 ° 或 B ≈116°

又∵b＞ a,∴B ＞ A =40°

∴B≈64°或 B≈1 16°都滿足條件.

（1）當(dāng)B≈ 6 4°時(shí)

C=1 80°?( A+B )≈ 1 80°?( 40°+6 4°)=7 6°，

（2）當(dāng)B≈ 1 16°時(shí),

C=1 80°?( A+B )≈ 1 80°?( 40 °+1 16°)=2 4°

點(diǎn)評(píng)：已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以求出另一邊的對(duì)角的正弦值.

6.反饋練習(xí)

（1）引例（問(wèn)題1）

（2）在△ABC中，

已知求A.

探究5：（1）在△ABC中，已知兩角和一邊，三角形有幾個(gè)解？

（2）在△ABC中，已知兩邊和一邊的對(duì)角，三角形有幾個(gè)解？（利用幾何畫板演示例2，練習(xí)（2）解的情況）.

（3）怎么樣判斷三角形解的個(gè)數(shù)？（下次課再研究）

[設(shè)計(jì)意圖：留下懸念，激發(fā)學(xué)生的求知欲]

7.總結(jié)升華

（1）請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受.

利用課件展示：

（2）正弦定理可以解決兩類問(wèn)題：

①已知三角形任意兩角與一邊，求另兩邊.（只有一個(gè)解）

②已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以求出另一邊的對(duì)角的正弦值.

（要判斷三角形解的個(gè)數(shù)）

（3）注意：利用正弦定理求角時(shí)，要注意“大邊對(duì)大角”，避免漏角.

[設(shè)計(jì)意圖：充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點(diǎn)睛之筆]

8.鞏固提高

（1）課本第10頁(yè)習(xí)題1.1 A組的第1、2題.

（2）查閱《正弦定理》還有哪些證明方法？掌握你最喜歡的證明方法.

（3）（選做題）判斷滿足下列條件的三角形的個(gè)數(shù):

①a=1 1,b=2 0,B=3 0°

②b=3 9,c=5 4,B=1 20°

③b=2 6,c=1 5,C=3 0°

④a =2,b=6,A=3 0°

⑤a=1,b=,A=3 0°

⑥a=1,c=2,A=3 0°