非線性動力學教學中的混沌系統(tǒng)推廣與仿真

賈強 孫梅

摘 要：以非線性動力學中典型的洛侖茲系統(tǒng)與埃農(nóng)映射為例，通過引入各類不同的非線性，構(gòu)造出更多有趣的混沌系統(tǒng)。利用基于MATLAB的數(shù)值仿真，進一步驗證了本方法的有效性。該方法寓教于樂，有助于提升學生學習本課程的興趣，同時為混沌應用提供更多的混沌模型。

關(guān)鍵詞：混沌；MATLAB；洛侖茲系統(tǒng)；埃農(nóng)映射；仿真

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）23-0015-03

Abstract： Taking two chaotic prototypes in nonlinear dynamics， the Lorenz system and Hénon map， as examples， this work constructs diverse interesting chaotic models by introducing different nonlinearity functions. The numerical simulations based on MATLAB software further demonstrate the validity of our proposed techniques. It is conducive to the enhancement of the students' interest and presents more chaotic models for the application of chaos as well.

Keywords： Chaos； MATLAB； Lorenz system； Henon map； simulation

非線性動力學是一門面向高年級本科生和研究生的重要課程，在數(shù)學、物理、經(jīng)濟學、工程等多個學科的建模與分析中具有重要應用。大多數(shù)非線性動力學教材中，混沌的數(shù)學概念抽象而復雜，大多工科專業(yè)的學生難以理解。即便是數(shù)學專業(yè)的學生，要理解混沌的真正定義也并非易事。因而，在實際應用中用數(shù)學方法判斷是否存在混沌現(xiàn)象非常困難。

隨著數(shù)值算法的發(fā)展，基于軟件的數(shù)值仿真為判斷混沌提供了有力工具，同時為研究非線性模型并探究混沌現(xiàn)象提供了極大方便[1]。本文將枯燥的數(shù)學課程與計算機仿真相結(jié)合，寓教于樂，使學生真正參與課堂教學。著名非線性科學學者陳關(guān)榮教授曾撰文指出，若一個非線性系統(tǒng)的解有界，但不收斂也不發(fā)散，則該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)[2]。這意味著混沌系統(tǒng)一定具有混沌吸引子，其解為相空間中既不收斂到某點也不趨于無窮的雜亂曲線。依據(jù)這一特點，本文從非線性動力學常見的混沌模型出發(fā)，通過對不同非線性因素進行建模，引入非線性函數(shù)，構(gòu)建新的混沌系統(tǒng)；同時利用軟件MATLAB對新系統(tǒng)進行仿真，驗證其混沌行為。通過設(shè)計課堂教學，提升學生動手能力，提升學生的學習興趣與分析問題的能力；同時還提出更多新穎的混沌系統(tǒng)，為研究混沌理論及混沌應用提供更多的數(shù)學模型。

盡管已有不少關(guān)于混沌系統(tǒng)仿真的論文[3]，但通常只考慮經(jīng)典的連續(xù)混沌系統(tǒng)，如洛侖茲系統(tǒng)[2]等，這些系統(tǒng)多為多項式函數(shù)，仿真也較簡單。但很多實際工程問題可能包含更復雜的非線性，如時變參數(shù)、狀態(tài)延遲或分段線性等。這些常見混沌系統(tǒng)卻不能刻畫這些復雜情形。一個有意義的問題是，這些非線性因素會對已有模型的動力學產(chǎn)生何種影響，而現(xiàn)有研究對該問題的關(guān)注卻非常少。

本文將對該問題展開分析，對實際問題中不同的非線性因素進行建模，并將這些非線性引入常見混沌系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對所得新系統(tǒng)進行數(shù)值仿真。研究表明，所得新系統(tǒng)仍可能具有混沌行為。因此本文所提出的思想與新模型都值得關(guān)注。

一、實例（一）時變洛侖茲系統(tǒng)

洛侖茲系統(tǒng)是美國氣象學家洛侖茲教授于十九世紀六十年代建立的大氣對流模型，可用如下微分方程組表示

其中a，b，c，d為參數(shù)。給定某些參數(shù)，如a=10，c=28，b=■，d=1，該系統(tǒng)具有混沌解，意指其數(shù)值解在相空間為一個蝴蝶形狀的吸引子，如文獻[3]所研究的情況。但在很多實際問題中，由于外界的干擾，系統(tǒng)的參數(shù)并非恒定不變的。時變參數(shù)更能刻畫系統(tǒng)的真實動力學。若假定原系統(tǒng)的參數(shù)d隨時間變化，令參數(shù)d為時變函數(shù)d（t）=1+3sin2（t），可得到一個新混沌系統(tǒng)。利用MATLAB中的ode45命令求解所得時變微分方程，得到系統(tǒng)具有圖1所示混沌吸引子。與原系統(tǒng)對比發(fā)現(xiàn)，新系統(tǒng)的解軌道更加復雜。事實上，引入時變參數(shù)可使得系統(tǒng)的維數(shù)由三變?yōu)?，圖1中的三維圖形為時變洛侖茲系統(tǒng)的吸引子在三維空間的投影，因而更加復雜。

二、實例（二）含分段線性的時變洛侖茲系統(tǒng)

關(guān)于混沌的最新研究發(fā)現(xiàn)，混沌系統(tǒng)中的某些非線性項可利用分段線性函數(shù)進行替換，而由此得到的新系統(tǒng)仍具有原系統(tǒng)的混沌特性。文獻[4]表明，用分段線性函數(shù)替換一個四維超混沌系統(tǒng)中的某些交叉乘積項，所得的新系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加簡單，但其動力學依舊具有混沌行為。該方案對于簡化混沌電路的設(shè)計以及分析非線性系統(tǒng)的性質(zhì)等問題具有重要價值。

下面將該方法應用于實例（一）中的時變洛侖茲系統(tǒng)中，用簡單的符號函數(shù)替換第三個方程中乘積項的變量y，得到如下含有分段線性函數(shù)的系統(tǒng)。

由于該系統(tǒng)的符號函數(shù)sgn（y）只取正號或負號，原時變洛侖茲系統(tǒng)第三個方程中的狀態(tài)乘積項簡化為線性項 +x或-x，而所得新系統(tǒng)仍處于混沌狀態(tài)。利用MATLAB進行仿真，用函數(shù)sign（y） 即可實現(xiàn)該分段線性函數(shù)，系統(tǒng)的混沌吸引子如圖2所示。由此可見，新系統(tǒng)仍具有混沌動力學。

三、實例（三）延遲洛侖茲系統(tǒng)

延遲現(xiàn)象廣泛存在于各類工程問題，在系統(tǒng)建模中不可忽略。本文考慮如下具有延遲效應的洛侖茲系統(tǒng)

現(xiàn)有研究已表明，當c=20，d=1，？子=0時，洛侖茲系統(tǒng)具有穩(wěn)定的平衡點。在實際問題中，由于復雜環(huán)境的干擾或特意設(shè)計，系統(tǒng)中可能出現(xiàn)某個狀態(tài)的延遲。為了刻畫這一問題，建立上述含有延遲項的方程組，即第三個方程右邊的狀態(tài)x具有延遲，由此得到一個新的延遲系統(tǒng)。事實上，若系統(tǒng)沒有延遲，在前述參數(shù)下，系統(tǒng)具有穩(wěn)定解，即從任意的初始條件出發(fā)，系統(tǒng)的解將收斂到某個穩(wěn)定平衡點。新系統(tǒng)中由于存在狀態(tài)延遲，其解不再收斂到平衡點，而是表現(xiàn)為混沌吸引子。數(shù)值仿真表明存在很多延遲值，確保系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為。利用MATLAB中的dde23命令，求解上述具有常數(shù)延遲的微分方程組。上述延遲洛侖茲系統(tǒng)當？子=0.05時的混沌吸引子如圖3所示。根據(jù)泛函微分方程理論可知，該延遲系統(tǒng)為含時滯的泛函微分方程，實為一個無窮維動力系統(tǒng)，其動力學比原系統(tǒng)更加復雜。該例說明，在很多實際問題中，延遲現(xiàn)象對系統(tǒng)動力學的影響不可忽略，需要具體問題具體分析。

四、實例（四）含雙曲函數(shù)的洛侖茲系統(tǒng)

值得說明的是，除了符號函數(shù)外，其他很多復雜的函數(shù)如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等都可用于構(gòu)造混沌系統(tǒng)，而且這些函數(shù)都可用電子電路進行硬件實現(xiàn)。本例將雙曲正弦函數(shù)應用于洛侖茲系統(tǒng)，得到如下的新混沌系統(tǒng)。

由圖4可知，該系統(tǒng)的吸引子與以上各系統(tǒng)的吸引子具有不同的拓撲結(jié)構(gòu)，但仍為混沌吸引子。

通過以上多個實例我們知道，洛侖茲系統(tǒng)在引入不同的非線性因素后，仍可能具有混沌現(xiàn)象。這表明對實際問題中的非線性因素進行建模，可能得出不同的混沌系統(tǒng)。雖然這些新系統(tǒng)與原系統(tǒng)在數(shù)學形式上有所不同，但都具備相同的混沌特性。

以上針對洛侖茲系統(tǒng)的討論與推廣有助于學生理解混沌系統(tǒng)的概念與性質(zhì)，同時也引發(fā)他們對本門課程的強烈興趣。進一步研究表明，其他常見混沌系統(tǒng)也可進行類似的推廣，得到有趣的混沌模型。下面將對非線性動力學中的另一著名混沌系統(tǒng)——埃農(nóng)映射進行討論。

五、實例（五）時變埃農(nóng)映射

前面幾個實例考慮了連續(xù)時間系統(tǒng)，其解為相空間的連續(xù)雜亂曲線。本例考慮著名的二維離散混沌系統(tǒng)——埃農(nóng)映射，其數(shù)學表達式為

其中a，b為參數(shù)。當a=1.4，b=0.3時，該映射具有月牙形的混沌吸引子。這里考慮用時變參數(shù)an=1.1+0.1sin（n）代換原參數(shù)a，得到一個新的埃農(nóng)映射，其每步迭代中參數(shù)值與迭代次數(shù)有關(guān)。利用MATLAB中的for循環(huán)，易得該時變映射的混沌吸引子如圖5所示。可見新系統(tǒng)的吸引子與原系統(tǒng)的吸引子形狀類似，但其邊界更加模糊，表明由于時變參數(shù)的存在，系統(tǒng)的動力學行為更加復雜。

六、實例（六）分段線性的埃農(nóng)映射

類似于例（二）的方法，我們考慮在埃農(nóng)映射中引入不同的分段線性函數(shù)，如絕對值函數(shù)，進而得到如下的分段線性模型

該分段線性映射中不含高次項，形式更簡單。用MATLAB進行仿真，可得新映射系統(tǒng)在同樣參數(shù)下仍具有混沌吸引子。該吸引子與原系統(tǒng)的吸引子相比，在相空間占有較小的區(qū)域，卻沒有任何周期現(xiàn)象，如圖6所示。

本文的討論與推廣混沌系統(tǒng)的方法為非線性動力學課程的教學與研究提供了新思路，方便在課堂教學中加以利用，用于鼓勵學生自己動手建模，并利用數(shù)學軟件對混沌系統(tǒng)的性質(zhì)進行分析。這無疑有助于激發(fā)學生學習非線性動力學課程的興趣，并培養(yǎng)他們分析非線性系統(tǒng)的能力；同時本文也給出多個新的混沌系統(tǒng)，為混沌的理論與應用提供了借鑒。

參考文獻：

[1]寧桂英，霍海峰.關(guān)于MATLAB軟件在線性代數(shù)教學中的應用探討[J].科教文匯，2015（313）：49-50.

[2]陳關(guān)榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學分析、控制與同步[M]. 北京：科學出版社，2003.

[3]吳衛(wèi)華，等.Lorenz混沌系統(tǒng)的分析與電路實現(xiàn)[J].大學物理實驗，2014，27（2）：41-43.

[4]Li， C.， Sprott， J. C.， Thio， W. and Zhu H. [2014] A new piecewise linear hyperchaotic circuit，" IEEE Trans. Circuits and Syst.-II， Exp. Briefs， vol. 61， no. 2， pp. 977-981.