(3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的精確解和守恒律①

李 玉 李立群 李會會 劉希強(qiáng)

(1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059;2.山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，山東濟(jì)南250100)

(3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的精確解和守恒律①

李 玉1李立群2李會會1劉希強(qiáng)1

(1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059;2.山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，山東濟(jì)南250100)

利用待定系數(shù)法得到了(3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的對稱、單參數(shù)群和約化方程. 結(jié)合冪級數(shù)展開法和tanh函數(shù)展開法以及Riccati輔助函數(shù)的應(yīng)用, 我們得到了該方程的一些新精確解, 包括行波解、有理函數(shù)解、周期解、三角函數(shù)解等.最后,基于所求對稱和該方程伴隨方程的解, 得到了方程的守恒律.

Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程,對稱約化,精確解,守恒律

1 研究背景

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和人們對自然現(xiàn)象的不斷深入了解, 對于非線性發(fā)展方程精確解的研究一直都是物理、化學(xué)、數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域關(guān)注的重要課題. 因此越來越多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家致力于精確解的研究,并且提出了許多著名有效的方法, 包括指數(shù)函數(shù)展開法[1],F-函數(shù)展開法[2],B?cklund變換法[3,4],經(jīng)典李群方法[5,6]和非經(jīng)典李群方法,Jacobi橢圓函數(shù)展開法[7,8], 齊次平衡法[9,10]以及tanh函數(shù)展開法[11,12]等. 利用這些方法得到許多豐富的精確解, 包括孤子解、三角函數(shù)解、緊致類解等. 尤其是經(jīng)典李群方法, 可以系統(tǒng)地研究方程的群變換解及守恒律，是研究精確解的有力工具之一.

(3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程形式

ut+auux+buxxx+c(uxyy+uxzz)+duxx=0，

(1)

其中a,b,c和d是任意常數(shù).

取d=0, 方程(1)變?yōu)?3+1)維Zakharov-Kuznetsov方程

ut+auux+buxxx+c(uxyy+uxzz)=0.

20世紀(jì)80年代末,Zakharov和Kuznetsov在描述磁化等離子體德爾演化過程中首次導(dǎo)出該模型. 也就是說Zakharov-Kuznetsov方程是最早描述非線性離子聲波的模型, 同時它也是描述二維KdV方程的最好模型之一, 在物理學(xué)的許多領(lǐng)域中不斷出現(xiàn), 并且取得了很多研究成果.

取a=6,b=1,c=3,d=0, 結(jié)合Wronskian形式展開法, 求得了雙孤子解、雙三角函數(shù)解、Complexiton解、Matveev解和Jacobi橢圓函數(shù)解[15].

取c=0, 方程(1)變?yōu)镵dV-Burgers方程

ut+auux+buxxx+duxx=0.

(2)

KdV-Burgers方程目前已取得了大量研究成果. 文獻(xiàn)[16]在引入典型無擾動任意次廣義KdV-Burgers方程扭狀孤立波解的基礎(chǔ)上, 研究了擾動方程的具有任意精度的近似解; 文獻(xiàn)[17] 討論了一類具有阻尼和非齊次項(xiàng)的KdV-Burgers方程的概周期解存在性問題.

本文的結(jié)構(gòu): 第2部分, 利用待定系數(shù)法求得方程(1)的李點(diǎn)對稱; 第3部分, 通過求解特征方程組, 結(jié)合tanh函數(shù)展開法和冪級數(shù)展開法以及Riccati輔助方程, 得到方程(1)的約化方程和精確解；第4部分, 通過對稱和約化方程, 給出了方程的守恒律. 第5部分, 得出相關(guān)結(jié)論.

2 Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的對稱

對于非線性發(fā)展方程

F(x,y,t,u,ux,uy,ut,uxx,uxt,…)=0,

(3)

稱函數(shù)σ(x,y,t,u,ux,uy,ut,uxx,…)為方程(1)的對稱, 如果

F′(u)σ=0,

(4)

對于任意的u都成立, 其中

利用方程(4), 可以得到方程(1)的李點(diǎn)對稱σ滿足

σt+auσt+aσut+bσxxx+c(σxyy+σxzz)+dσxx=0.

(5)

下面利用待定系數(shù)法求方程(1)的李點(diǎn)對稱σ, 設(shè)方程(5)的解為

σ=a1ut+b1ux+c1uy+d1uz+e1u+g1,

(6)

a1=c5,b1=-ac1t+c2,c1=c3z+c4,d1=-c3y+c6,e1=0,g1=c1,

(7)

其中c1,c2,c3,c4,c5和c6為任意常數(shù). 因此, 可以得到方程(1)的李點(diǎn)對稱

σ=c5ut+(-ac1t+c2)ux+(c3z+c4)uy+(-c3y+c6)uz+c1,

(8)

由以上對稱, 可以得到生成元為

(9)

為了得到方程(1)的李點(diǎn)對稱群, 需要考慮以下初值問題

(10)

其中ε是無窮小參數(shù). 解方程(10), 可以得到單參數(shù)群gi(i=1,2,3,4,5,6)如:

g1=(t,-ac1tε+x,y,z,-c1ε+u),g2=(t,c2ε+x,y,z,u),

g3=(t,x,zsin(c3ε)+ycos(c3ε),-ysin(c3ε)+zcos(c3ε),u),

g4=(t,x,c4ε+y,z,u),g5=(c5ε+t,x,y,z,u),

g6=(t,x,y,c6ε+z,u),

其中g(shù)2,g4,g5和g6表示方程(1)解的時空不變性,g3表示方程(1)解在移動坐標(biāo)系中的伽利略變換不變性.

由單參數(shù)群gi(i=1,2…5,6)可以得到方程(14)的解的表達(dá)式

u1=-c1ε+f(t,-ac1tε+x,y,z),u2=f(t,c2ε+x,y,z),

u3=f(t,x,zsin(c3ε)+ycos(c3ε),-ysin(c3ε)+zcos(c3ε)),u4=f(t,x,c4ε+y,z),

u5=f(c5ε+t,x,y,z),u6=f(t,x,y,c6ε+z).

其中ε是參數(shù),f是方程(2)的任意已知解.

3 Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的相似約化和精確解

為了求出方程(1)的相似約化和精確解, 必須解相應(yīng)的特征方程組, 方程(1)對應(yīng)的對稱的特征方程組為

選取下述情況進(jìn)行討論.

情況1 當(dāng)c1=0,c2=0,c3=0,c4≠0,c5≠0,c6≠0時, 解相應(yīng)的特征方程組可得

u=f(ξ,η,γ),η=c4t-c5y,ξ=x,γ=c4z-c6y,

將其代入方程(1)得約化方程

(11)

下面利用tanh函數(shù)展開方法求解方程. 作行波變換f(ξ,η,γ)=f(ω),ω=lξ+kη+λγ, 代入(11)式得到

(12)

其中l(wèi),k和λ是任意非零常數(shù).利用齊次平衡法, 可得n=2, 設(shè)上式有以下形式的解

(13)

Y=tanh(μω),

(14)

將(13)式代入(12)式, 并利用(14)式, 令Y的同次冪項(xiàng)的系數(shù)為零, 可得到下面4組結(jié)果

由此, 我們可得到方程(1)的解, 如

情況2 當(dāng)c1=c3=c5=c6=0,c2=c4=1時, 解相應(yīng)的特征方程組可得u=f(ξ,η,γ),η=x-y,ξ=t,γ=z,將其代入方程(1)得約化方程

fξ+affη+(b+c)fηηη+cfηγγ+dfξξ=0,

(15)

lf′+akff′+dk2f″+((b+c)k3+ckλ2)f?=0,

(16)

其中l(wèi),k和λ是任意非零常數(shù).

以下利用冪級數(shù)展開法求解方程(16)的解, 假設(shè)方程(16)有下述形式的解

(17)

由方程(17), 可以得到

(18)

把方程(17)和方程(18)代入到方程(16), 得到

(19)

當(dāng)n=0時, 我們可以得到

(20)

一般地, 當(dāng)n≥1時, 由方程(19), 可以求得

(21)

事實(shí)上, 方程(16)的解為

(22)

因此,方程(1)的精確冪級數(shù)解為

u5=C0+C1(lt+k(x-y)+λz)+C2(lt+k(x-y)+λz)2

其中Ci(i=0,1,2,3)為任意常數(shù).

情況3 當(dāng)c1=c2=c5=0,c3≠0,c4≠0,c6≠0時, 解相應(yīng)的特征方程組可得

將其代入方程(1)得約化方程

利用Riccati輔助方程求解上述約化方程. 做行波變換f(ξ,η,γ)=f(ζ),ζ=lξ+kη+λγ, 代入上式得到以下變系數(shù)方程

(24)

通過平衡(24)式中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng), 可得(24)式應(yīng)有滿足下式的解

f=q0(λ)+q1(γ)ψ(ζ)+q2(γ)ψ(ζ)2,

(25)

其中ψ=ψ(ζ)滿足Riccati方程

ψ'=h0+h1ψ+h2ψ2,

(26)

2)當(dāng)h0=1,h1=0,h2=1時,ψ3=tan(ζ), 則原方程的解為

3)當(dāng)h0=-1,h1=0,h2=-1時,ψ4=cot(ζ), 則原方程的解為

4 Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的守恒律

守恒律被廣泛地應(yīng)用于非線性數(shù)學(xué)物理科學(xué)中. 特別是對于非線性物理量的穩(wěn)定性和存在唯一性的分析起著非常重要的作用. 以下利用方程(1)的伴隨方程和對稱(8)來研究方程(1)的守恒律. 經(jīng)計算, 得到方程(1)的共軛方程為

vt+auvx+bvxxx+c(vxyy+vxzz)+dvxx=0,

(27)

最高階拉氏量為

L=v(ut+auux+buxxx+c(uxyy+uxzz)+duxx).

(28)

定理1 每個李點(diǎn)對稱、李貝克隆變換和方程(1)的對稱(8)都給出了(3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程及其共軛方程的一個守恒律, 且守恒向量(Cx,Cy,Ct,Cz)由下式給出

(29)

由對稱(8), 取W=-1+atux, 可得C1=(-1+atux)v,C2=-atv(ut+auux+buxxx+c(uxyy+uxzz)+duxx)+(atux-1)(auv-dvx+bvxx+cvyy+cvzz)+atuxx(dv-bvx)+abtvuxxx,C3=(-1+atux)cvxy,C4=(-1+atux)cvxz.守恒向量(Cx,Cy,Ct,Cz)包含共軛方程(27)的任意解v, 因此上式給出了方程(1)的無窮多個守恒律.

5 結(jié)論

本文利用待定系數(shù)法求出了(3+1)維Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的對稱和單參數(shù)群, 并且得到了該方程的相似約化方程, 再借助于tanh函數(shù)展開法和冪級數(shù)展開法以及Riccati輔助方程, 求出了原方程的一些新精確解, 有行波解、有理函數(shù)解、周期解、三角函數(shù)解等. 最后, 通過對稱和共軛方程給出了該方程的守恒律. 這些精確解在很多工程技術(shù)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域起著不可或缺的作用, 同時也表明了李群方法是求解非線性發(fā)展方程一種非常有用的方法, 值得我們做進(jìn)一步的努力進(jìn)行研究.

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Exact Solutions and Conservation Laws of the (3+1) Dimensional Zakharov-Kuznetsov-Burgers Equation

LI Yu1LI Li-qun2LI Hui-hui1LIU Xi-qiang1

(1.School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China;2.Shandong Agriculture and Engineering University, Jinan 250100,China)

By applying undetermined coefficient method, the classical Lie symmetry and reduced equation of the (3+1) dimensional Zakharov-Kuznetsov-Burgers equation were obtained. At the same time, a great many of solutions are derived by solving the reduction equations with power series expansion method and the tanh function expansion method and Riccati auxiliary equation, including travelling wave solutions, the rational function solutions, hyperbolic function solutions, the trigonometric function solutions and so on. Finally, the conservation laws of the equation are obtained by using the symmetry and adjoint equations.

Zakharov-Kuznetsov-Burgers equation，symmetry reduction，exact solutions, conservation laws

2016-11-20

國家自然科學(xué)基金和中國工程物理研究院聯(lián)合基金項(xiàng)目(11076015)資助

劉希強(qiáng)，E-mail:liuxiq@sina.com.

O175.2

A

1672-6634(2017)01-0010-08