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    求解非線性方程組的新的信賴域方法①

    2017-05-18 13:23:00唐江花
    關(guān)鍵詞:線性方程組收斂性信賴

    唐江花

    (安徽新華學(xué)院通識(shí)教育部,安徽合肥230088)

    求解非線性方程組的新的信賴域方法①

    唐江花

    (安徽新華學(xué)院通識(shí)教育部,安徽合肥230088)

    通過將信賴域技巧與Levenberg-Marquardt算法有效結(jié)合到一起,進(jìn)而提出新的信賴域方法,進(jìn)而證明了新方法的全局收斂性,并且在局部誤差界等條件下得到該算法的收斂階為2δ2+δ,其中δ∈(1/2,1)并且給出了數(shù)值結(jié)果,在證明新方法的相關(guān)收斂性結(jié)果時(shí),同時(shí)進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn),并驗(yàn)證了新的信賴域方法的可行性.

    非線性方程,全局收斂性,新的依賴域方法

    0 前言

    考慮非線性方程組

    F(x)=0,

    (1)

    其中F(x):Rn→Rm是連續(xù)可微的函數(shù).文中定義X*作為F(x)的非空解集,‖·‖代表2-范數(shù),F(xiàn)(x)具有非線性特點(diǎn).

    Levenberg-Marquardt(LM)方法[1-5]在求解非線性方程組的方法中是比較經(jīng)典的一種方法,其迭代步為

    (2)

    將它當(dāng)作是Guass-Newton方法的一種修正,將參數(shù)λk進(jìn)行引入,進(jìn)而克服Guass-Newton法中矩陣J(x*)必須滿秩的要求.

    Fang[6-8]兩步牛頓法的啟示下,同時(shí)為了節(jié)約雅克比矩陣的計(jì)算,提出了一種改進(jìn)的LM算法(MLM),該算法的提出,不僅可以對經(jīng)典的LM步進(jìn)行計(jì)算,還可以對近似LM步進(jìn)行計(jì)算.

    (3)

    此種算法由于局部誤差階條件的原因擁有3階收斂性.

    與此同時(shí),Yang[7]在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)之上,為了使雅克比矩陣的計(jì)算更加節(jié)約以及擁有更快的收斂速度,提出了一種高階的LM算法(HMLM),又添加了一步接近于LM步.

    (4)

    此種算法受到局部誤差階條件,擁有4階收斂性.

    Chen[9]為了可以有效地掌控步長,對Fan和Yank的研究思想進(jìn)行整合后提出了一種高階的修正LM算法.

    (5)

    受此啟示,在求解非線性方程組時(shí)為了減少更多的Jacobi矩陣計(jì)算,本文將在文獻(xiàn)[9]研究思想之上再增添一步近似LM步,

    (6)

    進(jìn)而得出一種新的Levenberg-Marquardt算法.

    1 非線性方程組的改進(jìn)信賴域算法的提出

    式(1)的目標(biāo)函數(shù)為

    Φ(x)=‖F(xiàn)(x)‖2.

    (7)

    提出了一個(gè)信賴域半徑趨于0的信賴域算法.對于下面的子問題通過迭代進(jìn)行求解.

    (8)

    得出試探步.

    下文為文獻(xiàn)[10]中的信賴域算法.

    算法1 (1)設(shè)x1∈Rn,00,M》C4μ1,Δ1=‖F(xiàn)1‖δ,k:=1.

    計(jì)算Δk+1=μk+1‖F(xiàn)k+1‖δ.

    (4)令k=k+1由此轉(zhuǎn)到第二步.

    此種算法是全局收斂的,它的收斂速度在局部誤差有界的條件下為2δ.

    本文提出的新的信賴域算法是在Levenberg-Marquardt方法的啟示上所提出來的,新的信賴域算法在每次迭代中首先對下面的子問題進(jìn)行求解

    (9)

    得到dk,令yk=xk+dk,進(jìn)行求解

    (10)

    (11)

    Predk=‖F(xiàn)k‖2-‖F(xiàn)k+Jkdk‖2+‖F(xiàn)(yk)‖2-‖F(xiàn)(yk)+Jkdk‖2,

    (12)

    而將實(shí)際下降量和預(yù)估下降量之間的比值rk定義為

    (13)

    新的信賴域的算法如下所示.

    算法2 (1)設(shè)x1∈Rn,00,M》C4μ1,Δ1=μ1‖F(xiàn)1‖δ,k:=1.

    (14)

    (3)取

    (15)

    計(jì)算

    Δk+1=μk+1‖F(xiàn)k+1‖δ.

    (16)

    (4)令k:=k+1并且轉(zhuǎn)到第(2)步.

    (17)

    通過上面計(jì)算的結(jié)果得出下面的引理.設(shè)dk為式(9)的解,則預(yù)估下降量有如下估計(jì)

    (18)

    2 新Levenberg-Marquardt算法的全局收斂性的驗(yàn)證

    接下來對新算法的全局收斂性進(jìn)行討論,為了得到全局收斂性結(jié)果,做出如下情形假設(shè):

    情形1F(x)是連續(xù)可微的,且F(x)和Jacobian矩陣J(x)是Lipschitz連續(xù)的,也就是說,存在正常數(shù)L1和L2使得

    ‖J(y)-J(x)‖≤L1‖y-x‖, ?x,y∈Rn

    (19)

    ‖F(xiàn)(y)-F(x)‖≤L2‖y-x‖, ?x,y∈Rn.

    (20)

    定理1在假設(shè)情形1的條件下,由算法忍.忍產(chǎn)生的迭代序列滿足

    (21)

    證明由情形1,我們可以得到

    ‖F(xiàn)(y)-F(x)-J(x)(y-x)‖≤L1‖y-x‖2, ?x,y∈Rn.

    (22)

    我們用反證法證明.假設(shè)定理結(jié)論不正確,則存在一個(gè)正常數(shù)∈>0和無窮多個(gè)k使得

    (23)

    令I(lǐng)={k|rk≥c1)}.則有

    (24)

    由(19)和(20)知

    (25)

    第一種情況,若I有限,由式(17)知,對充分大的k有μk+1=c3μk.由于c3<1,我們得到

    (26)

    第二種情況,若r無限,則由(17)知

    (27)

    (28)

    由于當(dāng)k?I時(shí),c3<1且μk+1=c3μk.所以當(dāng)I是無限時(shí),這時(shí)式中式依舊成立.即

    (29)

    由‖F(xiàn)k+1‖≤‖F(xiàn)k‖,‖dk‖≤Δk且Δk=μk‖F(xiàn)k‖δ,由式(7)和式(29)可以得到

    (30)

    此外,由式(8)和式(30)可得

    (31)

    =part1+part2+part3.

    (32)

    因此,由于part1和part2收斂到.,我們只需證明part3收斂到0.

    由于

    (33)

    3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

    表1 r(J(x*))=n-1

    [1]LevenbergK.Amethodforthesolutionofcertainnon-linearproblemsinleastsquares[J].QuarterlyofAppliedMath-matics,1944,2(1):164-168.

    [2]MarquardtDW.Analgorithmforleast-squaresestimationofnonlinearparameters[J].JournaloftheSocietyforIn-dustrialandAppliedMathematics,1963,11:431-441.

    [3]MoreJJ.TheLevenherg-Marquardtalgorithm[C].//LectureNotesinMathematics,1977,11(1):101-110.

    [4]MoreJJ.Recentdevelopmentsinalgorithmsandsoftwarefortrustregionmethods[M].SpringerBerlin:MathematicalProgrammingtheStateoftheArt, 1982.

    [5]ChenLiang.Ahigh-ordermodifiedLevenherg-Marquardtmethodforsystemsofnonlinearequationswithfourth-orderConvergence[J].AppliedMathematicsandComputation,2016,24:78-83.

    [6]FanJinyan.ThemodifiedLevenherg-Marquardtmethodfornonlinearequationswithcubicconvergence[J].MathematicsofComputation,2012,81(277):447-466.

    [7]YangXiao.Ahigher-orderLevenherg-Marquardtmethodfornonlinearequations[J].AppliedMathematics&Computa-tion, 2013,219(7):10 682-10 694.

    [8]FanJinyan.AcceleratingthemodifiedLevenherg-Marquardtmethodfornonlinearequations[J].MathematicsofComputa-tion,2014,83:1 173-1 187.

    [9]ChenLiang.AmodifiedLevenherg-Marquardtmethodwithlinesearchfornonlinearequations[J].ComputationalOptimi-zation&Applications,2016,65 (3):1-27.

    [10]FanJY.ConvergenceRateofTheTrustRegionMethodforNonlinearEquationsUnderLocalErrorBoundCondition,COAP,2006,34:215-227

    [11]FanJY.AmodifiedLevenberg-Marquardtalgorithmforsingularsystemofnonlinearequations[J].JournalofComputationalMathematics, 2003,21:625-636

    [12]FanJinyan.AcceleratingthemodifiedLevenherg-Marquardtmethodfornonlinearequations[J].MathematicsofComputa-tion, 2014,83:1 173-1 187.

    [13]ChenLiang.AmodifiedLevenherg-Marquardtmethodwithlinesearchfornonlinearequations[J].ComputationalOptimi-zation&Applications,2016,65(3):1-27.

    [14]MoreJJ,GarbowBS,HillstromKE.Testingunconstrainedoptimizationsoftware[J].ACMTransactionsonMathematicalSoftware,1981,7(1):17-41

    [15]SchnabelRB,FrankPD.Tensormethodsfornonlinearequations[J] .SiamJournalonNumericalAnalysis,1984,21(5):815-843.

    [16] 路娜. 非線性方程組的改進(jìn)信賴域算法[D].上海:上海交通大學(xué),2014.

    The New Trust Region Method for Solving the System of Nonlinear Equations

    TANG Jiang-hua

    (Department of General Education, Anhui Xinhua University, Hefei 230088,China)

    Through the combine of the new trust region technique and Levenberg-Marquardt algorithm together, it put forward a new trust region method. It proved that the global convergence of the new method, and under the local error bound condition it obtained the convergence order of the algorithm 2δ2+δ,andδ∈(1/2,1),andthenumericalresultsarepresented.Itnotonlyprovedtherelevantconvergenceresultsofthenewmethod,butalsogavethenumericalexperiments,andverifiedthefeasibilityofthenewtrustregionmethod.

    nonlinear equation,global convergence,new domain dependent method

    2016-11-06

    安徽省高等數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)(2016jxtdx03);安徽省高等數(shù)學(xué)名師工作室(2014msgzs168);安徽新華學(xué)院第八批骨干教師培養(yǎng)對象(2015xgg29);校級科研項(xiàng)目(2016zr003)資助

    褚正清,E-mail:798116049@qq.com.

    O

    A

    1672-6634(2017)01-0038-06

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