提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力
——《數(shù)表中的數(shù)學(xué)問題》教學(xué)反思

舒愛武

【教學(xué)過程】

一、觀察數(shù)表 發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：仔細(xì)觀察這個(gè)數(shù)表，這些數(shù)是怎么排列的？你發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？

（板書：發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

生：2、4、6、8、10……都是雙數(shù)，其他的都是單數(shù)。

生：都是連續(xù)的自然數(shù)，橫著看，每個(gè)數(shù)都比前面一個(gè)數(shù)多1。

師：說明相鄰的數(shù)相差幾？

生：1。

生：豎著看，相鄰的上下兩個(gè)數(shù)相差8，因?yàn)橛?列。

師：同學(xué)們很認(rèn)真，發(fā)現(xiàn)了許多規(guī)律，這張數(shù)表中肯定會(huì)有更多的規(guī)律。今天我們就來探討數(shù)表中的數(shù)學(xué)問題。

（板書課題）

二、提出問題 解決問題

（如圖：在數(shù)表中畫上這樣一個(gè)十字框）

師：你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生：這五個(gè)數(shù)的和是多少？

生：這個(gè)框中，橫著的三個(gè)數(shù)和是多少？豎著的三個(gè)數(shù)的和是多少？

生：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

師：對(duì)啦！還有沒有思維更開闊一些的？

生：這五個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？

師：這個(gè)問題非常好！數(shù)學(xué)就是研究數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的學(xué)科。

師：現(xiàn)在提出了問題，那接下來該干什么？

生：解答問題。

（板書：解決問題）

師：我們先來解決“5個(gè)數(shù)的和是多少？”把方法用算式寫在作業(yè)紙上。

師：老師把你們的方法抄在黑板上，還有不同的方法嗎？

（板書：①2＋9＋10＋11＋18）②（2＋18）＋（9＋11）＋10③20×2+10 ④30×2－10）

師：還有不同的方法嗎？

生：10×5＝50。

（板書⑤10×5＝50）

師：看著這個(gè)算式，有沒有疑問？上面只有一個(gè)10？

生：把11拿一個(gè)給9，就是3個(gè)10，然后從18拿8到2這里也就是5個(gè)10。

師：這種方法可以取個(gè)什么名字？

生：移多補(bǔ)少。

（板書：移多補(bǔ)少）

師：還有方法嗎？

生：我把中間那個(gè)數(shù)看作a，它左面的數(shù)就是a-1，右邊的數(shù)是a+1，上面的數(shù)是a-8，下面的數(shù)是a+8，一共是5a，就是5乘10等于50。

（板書：a+a-1+a+1+a-8+a+8＝5a）

師：這位同學(xué)講得非常清楚，剛好解釋了第五種方法，為什么可以用10×5來求五個(gè)數(shù)的和。

師：我們會(huì)求這五個(gè)數(shù)的和了。你能提出類似的問題嗎？

生：框出的5個(gè)數(shù)是5、12、13、14、21，這五個(gè)數(shù)的和是多少？

師：剛才同學(xué)的提問，是告訴大家框中的五個(gè)數(shù)分別是多少，其實(shí)，你用不著每個(gè)數(shù)都告訴，就能求出五數(shù)的和。

師：你會(huì)選擇告訴大家哪一個(gè)數(shù)就能求出來？

生：中間數(shù)是13，五個(gè)數(shù)和是多少？

生：13×5=65。

師：5個(gè)13哪里來的？

生：14移 1給 12，21移 8個(gè)給5，得到5個(gè)13。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：中間數(shù)就是平均數(shù)。

師：所有的中間數(shù)都是它們的平均數(shù)嗎？

生：這個(gè)數(shù)在這個(gè)表中是對(duì)的。不同的數(shù)表就不一定了。

師：如果框的形狀也不同，就要觀察研究后再確定。

師：中間數(shù)是13，這個(gè)數(shù)在表中看得到。你還能大膽地提出類似問題嗎？

師：如果中間數(shù)是a，和是多少？

生：a×5＝5a。

師：中間數(shù)是★，和是多少？

生：★×5＝5★。

師：我們?cè)鯓忧?個(gè)數(shù)的和？

生：中間數(shù)×5。

（板書：中間數(shù)×5＝和）

師：非常好。剛才告訴5個(gè)數(shù)，求它們的和是多少？是順向的問題。那我們也可以提出逆向的問題嗎？你來試試。

生：如果5個(gè)數(shù)的和是145，這五個(gè)數(shù)是多少？

師：誰來分享一下，你是怎么思考的？

生：（黑板上邊板書邊講）先求中間數(shù)145÷5＝29，再左邊少1是28，右邊多1是30，上邊減8是21，下邊加8是37。

師：為什么只要求出中間數(shù)，就能通過加減來求出周圍的數(shù)？

生：左右相差1，上下相差8。

師：想不想再挑戰(zhàn)一下，數(shù)字變大了，和是160，這五個(gè)數(shù)是多少？

生：中間數(shù)是160÷5＝32，左邊是 31，右邊 33，上邊24，下邊 40。

師：講得非常完整。你們都是這樣的嗎？（學(xué)生齊答“是”）

師：只有一位同學(xué)說“不是”，你說說為什么？

生：32 后面沒有 33，33 在下面一行了。這個(gè)表格中框不出這樣的五個(gè)數(shù)。

師：想到什么問題了呢？

生：如果32的右邊是33的話，就要9列。那么它們的上下就不是相差8了，是相差9了。

師：所以呢？

生：這個(gè)問題不成立。

師：是的，這張數(shù)表中不能框出這5個(gè)數(shù)。因?yàn)?2不能作中間數(shù)。還有哪些數(shù)不能作中間數(shù)呢？

生：第一行。

師：還有嗎？

生：還有第一列，第八列。

師：怎樣用數(shù)學(xué)語言清晰地表達(dá)？

生：小于等于8的數(shù)和8的倍數(shù)都不能作中間數(shù)。

（板書：≤8）

師：8的倍數(shù)除以8，余數(shù)都是幾？

生：0。

（板書：（）÷8 余0）

生：第一列的所有數(shù)除以8余數(shù)是1。

（板書：（）÷8 余1）

師：這道題目還引發(fā)我們思考：在這個(gè)數(shù)表中，和是160的5個(gè)數(shù)是框不出來的。哪5個(gè)數(shù)的和最接近160呢？

生：把框向左平移一格，和是 155，少了 5。

師：為什么是少5？

生：向左平移一格，每個(gè)數(shù)都少了1，共少了5。

師：還有不同的解釋嗎？

生：原來中間數(shù)當(dāng)作32×5＝160，向左平移一格后，中間數(shù)變成 31，31×5＝155。

師：如果把下面這個(gè)框平移一格，那么5個(gè)數(shù)的和會(huì)發(fā)生什么變化？

（出示一個(gè)把5個(gè)數(shù)都遮住的十字框）

生：可能有四種情況：向右平移一格，每個(gè)數(shù)增加1，和增加5；向左平移一格，每個(gè)數(shù)少1，和減少5；向下平移一格，每個(gè)數(shù)增加8，和增加8×5=40；向上平移一格，每個(gè)數(shù)減少8，和減少8×5＝40。

師：你會(huì)提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，讓同學(xué)解答嗎？

生：把這個(gè)框向下平移1格，中間數(shù)是幾？

師：能不能再大膽一點(diǎn)，提出表格中沒寫出的數(shù)呢？

生：把這個(gè)框向下平移10格，中間數(shù)是幾？

生：21+8×10＝101。

師：這是一個(gè)方向平移的問題，能提出兩個(gè)方向都平移的問題嗎？

生：這個(gè)框，先向右平移2格，再向下平移5格，五個(gè)數(shù)分別是多少？

師：要知道5個(gè)數(shù)分別是多少，只要知道中間數(shù)就能推出，那我們就看誰先求出中間數(shù)。

生：向右平移2格要加上1×2，再加上向下平移5格，增加的是 5×8＝40，結(jié)果是21+2+40＝63。

（板書：21+1×2+8×5＝63）

師：大家非常迅速就解答了，那會(huì)不會(huì)提出雙向的又是逆向的問題呢？

生：框中5個(gè)數(shù)的和是235，這5個(gè)數(shù)與下面框相比，向下、向右各平移了多少格？

師：說說你的思路，我們可以課后再去計(jì)算。

生：先求出5個(gè)數(shù)的中間數(shù)。再看比10多了幾個(gè)8，就是向下平移幾格；多出幾，就是再向右平移幾格。

師：同學(xué)們的表現(xiàn)真是太棒了！如果不斷地研究下去，還會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)表中更多的數(shù)學(xué)問題。

三、回顧總結(jié) 反思方法

師：今天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法是什么？我們有什么新收獲？

生：我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)表中的規(guī)律。我們會(huì)求框出的5個(gè)數(shù)的和是多少。

生：我們先觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出問題，再尋找方法來解決問題，在解決問題的過程中又發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。

師：總結(jié)得非常好。其實(shí)如果數(shù)表排列變了，框的形狀變了，我們都可以用這種方法進(jìn)行學(xué)習(xí)。我特別欣賞大家能自己提出問題，分析問題，并想辦法解決問題，又在解決問題的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)新的問題。數(shù)學(xué)家研究問題就是經(jīng)歷了這樣的過程，一些科學(xué)研究也是這樣的經(jīng)歷。同學(xué)們這種自主學(xué)習(xí)的狀態(tài)非常棒！

【課后反思】

一、提問，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)

本節(jié)課從頭至尾讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從中提出問題。出現(xiàn)數(shù)表后，嘗試提出問題“框出的五個(gè)數(shù)的和是多少？”“這五個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？”當(dāng)學(xué)生解決了問題，再引導(dǎo)“你能提出類似的問題嗎？”。指導(dǎo)提出問題的方法，剛才我們提的問題都是順向的，也可以反向提問；剛才我們是單向提的問題，也可以雙向提問……一節(jié)課，讓學(xué)生不斷地提出問題，解決問題，在解決問題的過程中又提出問題。課堂中舍得花這么多時(shí)間讓學(xué)生去提問題，因?yàn)樘岢鲆粋€(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要，前者需要有創(chuàng)造性的想象，而后者也許僅僅是一個(gè)技能。

二、提問，提升學(xué)生的思維能力

通過在解決問題的過程中不斷的提問，滲透培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力，模型思想及不斷推測其他的結(jié)果等。關(guān)注學(xué)生思維的品質(zhì)，如思維的敏捷，看到數(shù)表中上下相差8，馬上想到“每列都一樣嗎？”“中間數(shù)就是平均數(shù)嗎？”還有思維的深度，當(dāng)讓學(xué)生求和是160的五個(gè)數(shù)是多少？而數(shù)表中不能框出這5個(gè)數(shù)時(shí)，激起學(xué)生的質(zhì)疑，為什么不行呢？怎樣的數(shù)不能作中間數(shù)呢？一步步引入深層次的思考，讓學(xué)生經(jīng)歷問題研究的過程。取得階段性的成果，前進(jìn)中又遇到一些問題，并想辦法解決這些問題。數(shù)學(xué)家研究問題就是經(jīng)歷了這樣的過程，一些科學(xué)研究也是這樣的經(jīng)歷。

三、提問，關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系與運(yùn)用

在整個(gè)探究過程中，運(yùn)算能力、空間觀念、模型思想，融合運(yùn)用?！?個(gè)10的和是多少？”學(xué)生展示3種方法，后面又補(bǔ)充了兩種方法，共有5種方法。就求出結(jié)果來說，這些方法是沒有好壞之分的，無非就是效率的問題。但是作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)，好的方法聯(lián)系到數(shù)感、運(yùn)算能力、模型思想，因此需要花時(shí)間去討論這些好的方法?！澳男?shù)不能作中間數(shù)？”學(xué)生開始主要是根據(jù)空間位置來判斷的，回答是第一行、第一列、最后一列。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述，就出現(xiàn)了小于8的數(shù)、8的倍數(shù)，除以8余數(shù)是0，除以8余數(shù)是1?！霸鯓拥?個(gè)數(shù)和最接近160？”“平移后，五個(gè)數(shù)和會(huì)發(fā)生什么變化？”引導(dǎo)學(xué)生思維進(jìn)行空間的轉(zhuǎn)化——平移，運(yùn)算與空間有機(jī)結(jié)合。